专题2.1 等式性质与不等式性质（考点精练）-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题2.1 等式性质与不等式性质 1．若，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3. 已知，，则（    ） A． B． C． D．P，Q的大小与x有关 4．已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 5．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 6. 如果，那么 ，（填入“>”或“<”） 7．给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若a，b是非零实数，且，则； ④若，则 其中正确的命题是 ．（填对应序号即可） 8．若，，，则，的大小关系是 . 9．（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 10．已知为正实数．求证：. 11．（1）设，，比较，的大小； （2）若，根据性质“如果，，那么”，证明：. 12．已知，，求及的取值范围． 1．已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．设，已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5. 已知下列四个命题: ①若,,则; ②若且,则,同号; ③“,”是“”的充要条件; ④“”是“”的充要条件. 其中正确的命题是 .（填写所有正确的命题的序号） 6．设，，，则，，，的大小顺序是 ． 7．若已知，，则实数的取值范围为 . 8．，求证：． 9．已知均为正实数，且． (1)比较与的大小； (2)比较和的大小． 10．阅读材料： （1）如图图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，用a代替溶质，b代替溶液，c代替添加的溶质并证明.    在氯化钠能全部溶解的情况下：氯化钠加的越多，溶液越咸 （2）结合（1）中的不等式关系与，，则有的不等式性质． 解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 1.（2023年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）已知实数，则下列结论正确的是（ ） A． B. C. D. 2.（2022年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）函数在同一直角坐标系中的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 3. （2021年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）已知实数,则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 等式性质与不等式性质 1．若，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于选项ABD通过举反例即可判断；对于选项C，由不等式得性质即可判断. 【解析】对于A，令，则不成立，故A错误； 对于B，令,则，故不成立，故B错误； 对于C，由，根据不等式性质可乘性得，故C正确； 对于D，令，则不存在，故D错误. 故选：C. 2. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值判断A、D，利用指数函数的性质判断B，利用幂函数的性质判断C. 【解析】对于A：若，满足，但是，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递减，当时，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递增，当时，故C正确； 对于D：当时，故D错误. 故选：C 3. 已知，，则（    ） A． B． C． D．P，Q的大小与x有关 【答案】D 【分析】利用作差法比较大小即可. 【解析】由题意可得， 当即或时，，当即时，， 当即时，，故P、Q的大小与x有关. 故选：D. 4．已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先用和表示，再根据条件的范围，求解的范围. 【解析】设， 得，解得：， 所以， 因为，，所以，， 所有的范围是. 故选：C 5．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 【答案】C 【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小. 【解析】甲购买猪肉的平均单价为：， 乙购买猪肉的平均单价为：， 显然， 且， 当且仅当时取“=”， 因为两次购买的单价不同，即， 所以， 即乙的购买方式平均单价较大. 故选：C. 6. 如果，那么，（填入“>”或“<”） 【答案】> 【分析】由不等式的基本性质即可判断大小． 【解析】：因为， 所以， 又， 所以． 故答案为：． 7．给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若a，b是非零实数，且，则； ④若，则 其中正确的命题是 ．（填对应序号即可） 【答案】③④ 【分析】若，判断①不成立；根据不等式性质判断②不成立；根据不等式的性质，判断③④成立. 【解析】对①，当时，结论错误，故①错误； 对②，当时，即，故结论错误； 对③，因为是非零实数，所以，所以即，故③成立； 对④因为，所以即；即，所以，故④正确. 故答案为：③④ 8．若，，，则，的大小关系是 . 【答案】 【分析】直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符号即可判断大小. 【解析】由,有，， 则，故, 故答案为：. 9．（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）（2）利用作差法和不等式的性质证明； 【解析】（1）， 因为，， 所以，所以， 所以； （2）， 因为，， 所以， 所以， 所以，即. 10．已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 【解析】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 11．（1）设，，比较，的大小； （2）若，根据性质“如果，，那么”，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法求解即可. （2）利用不等式的性质证明即可. 【解析】（1）， 所以. （2）因为，，所以， 所以，即. 又因为，所以. 12．已知，，求及的取值范围． 【答案】，. 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围即可. 【解析】由，得，又，所以； 由，，得，，所以. 1．已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特值说明判断A；作差比较大小判断BC；利用不等式性质推理判断D. 【解析】对于A，取，得，A错误； 对于B，，则，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 2．设，已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作差即可判断. 【解析】时，， ， 故. 故选：B. 3．若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由x的范围，通过指数函数的图像与性质得到三个数的大致范围，再利用作商法比较与，即可得到三个数的大小关系. 【解析】，，下面比较与： 作商法比较：，，，故，即 所以 故选：C 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明对于，均有，即可判断. 【解析】对于，均有证明如下： 因为，所以，， 所以 ， 所以，， 又，所以. 故选：B 5. 已知下列四个命题: ①若,,则; ②若且,则,同号; ③“,”是“”的充要条件; ④“”是“”的充要条件. 其中正确的命题是 .（填写所有正确的命题的序号） 【答案】② 【分析】利用特殊值举反例即可判断①，对②作差通分即可判断，对③作差因式分解即可判断，对④根据可判断出，即可判断. 【解析】，①错； ，，，，,②对； 或， 所以“,”是“”的充分不必要条件; ③错； ，所以“”是“”的充分不必要条件；④错. 故答案为：②. 6．设，，，则，，，的大小顺序是 ． 【答案】 【分析】方法一：利用特殊值法，方法二：作差法，两两作差比较大小. 【解析】方法一：特殊值法  取，，，， 则，，，，则． 方法二：作差法 因为，，，所以， 所以， 所以． 因为，，， 所以，， 所以，，所以． 或，所以． ，所以． 所以． 故答案为： 7．若已知，，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知条件可得，转化成不等式组求解即可. 【解析】由，得. 因为，所以， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 8．，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作差，分与两种情况讨论，得到，同理得到，，累加即可证明结果. 【解析】因为， 当时，，又，所以， 当时，，又，所以． 综合上两式，， 同理可得，， 累加得，， 取等号时，故不等式得证． 9．已知均为正实数，且． (1)比较与的大小； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小，即得答案； （2）结合指数函数以及对数函数的单调性，分类讨论的取值范围，即可得答案. 【解析】（1）， 均为正实数，， ； （2）当时，函数为增函数；当时，函数为减函数． ①当时，，则， 若，则； 若，则； ②当时，； ③当时，，则， 若，则； 若，则． 综上所述，当或时，； 当时，； 当或时，. 10．阅读材料： （1）如图图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，用a代替溶质，b代替溶液，c代替添加的溶质并证明.    在氯化钠能全部溶解的情况下：氯化钠加的越多，溶液越咸 （2）结合（1）中的不等式关系与，，则有的不等式性质． 解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）假定，，再根据作差法证明即可； （2）结合（1）与三角形三边性质可得，同理，，再根据，，则有证明即可. 【解析】（1）依题意，得，， 要证“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，即证成立， 即证成立，整理得，即证， ，显然成立，不等式成立，即“氯化钠加的越多，溶液越咸”. （2）因为a，b，c是三角形的三边，则， 由材料（1）知，， 同理，，由材料（2）得： ，，所以原不等式成立． 1.（2023年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）已知实数，则下列结论正确的是（ ） A． B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，所以，即，答案选B 2.（2022年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）函数在同一直角坐标系中的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由指数函数图像知，对数函数图像，故，答案选A 3. （2021年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）已知实数,则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，由不等式性质知故答案选D 12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$