精品解析：浙江省杭州市临平职业高级中学（临平区技工学校）2022-2023学年高三上学期期中数学试卷

杭州市临平职业高级中学（临平区技工学校）2022-2023学年第一学期高三年级数学周考 时间：120分钟 满分：150 一､选择题（本大题共20小题，1~10小题每题2分，11~20题每题3分，共50分） 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，命题：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式的整数解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则函数图象是（ ） A. 线段 B. 直线 C. 射线 D. 离散的点 5. 已知实数a､b，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知100张奖券中有4张中奖券，现从中任抽2张，则2张都是中奖券的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列比较大小，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知角，若将角终边绕原点顺时针旋转后得到的角是第（ ）象限角. A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 9. 正弦函数在时，函数值y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 关于指数函数和对数函数，下列说法正确的是（ ） A. 指数函数的定义域是 B. 对数函数的图象恒过点 C. 指数函数图象与y轴有且仅有一个交点 D. 对数函数的值域是 11. 设函数，函数，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 12. 向量的起点为原点，终点为，则与向量平行的直线斜率是（ ） A. B. C. D. 13. 下列函数在区间上为单调递增的是（ ） A. B. C. D. 14. 沪杭城际高速铁路（沪杭客运专线），连接上海与杭州两地，是中国“四纵四横”客运专线网络中，沪昆客运专线的一个组成部分，设计时速高达小时，总投资276亿人民币.工程自2009年2月26日动工，2010年10月26日正式通车营运，中间停靠“松江南､金山北､嘉善南､嘉兴南､桐乡､海宁西､余杭南”共7个站.为此，铁路部门在整条线路上应准备（ ）种不同的车票. A. 72 B. 42 C. 36 D. 21 15. 已知等差数列满足，，则过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 16. 下列命题正确的是（ ） A. 经过空间任意三个点有且只有一个平面 B. 若直线a垂直于平面，则直线a垂直于平面内的任何直线 C. 若直线a平行于平面，则直线a平行于平面内的任何直线 D. 过互相垂直的两条直线有且只有一个平面 17. 调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因.为此，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时，血液中酒精含量不得超过.某人喝酒后，血液中酒精含量迅速上升到，在他停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 18. 函数的最小正周期和最大值是（ ） A. B. C. D. 19. 中，已知边，，三角形面积为，则边a为（ ） A. B. 或 C. D. 或 20. 如图，在直三棱柱中，，，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 化简的结果为___________. 22. 已知函数，则函数定义域为___________.（请用区间表示结果） 23. 已知球的体积为,则该球的表面积为____________. 24. 已知三个数成等比数列，三个数积为8，首末两数和为5，则公比为___________. 25. 已知数，则的最小值为___________. 26. 圆锥的侧棱与底面所成的角为，圆锥的侧面积和底面积之比为___________. 27. 如图，已知圆柱的高为，底面圆的半径为，AB､CD分别是两底面的直径，AD､BC是母线.若一只小虫从A点出发，在圆柱侧面上爬行到达C点，则小虫爬行的最短路线的长度是___________. 三､解答题（本大题共8小题，共72分）（解答应写出文字说明及演算步骤） 28. 计算：. 29. 已知角终边在第三象限，且满足，求： （1）的值； （2）的值. 30. 如图，在平面内，用三个火柴棒可以搭建一个三角形（左起第一个图形），在此三角形基础上，向右加二个火柴棒，可以搭建二个三角形（左起第二个图形），在第二个图形基础上，再向右加二个火柴棒，可以搭建三个三角形（左起第三个图形），可知按图示规律，向右不断添加火柴棒，可以得到更多三角形，求： （1）搭建第2019个图形，需要多少个火柴棒； （2）搭建好前十个图形，共需多少个火柴棒？ 31. 已知展开式的常数项为，求： （1）常数的值； （2）展开式中二项式系数最大的项. 32. 中若，，D为的中点，面积为，求： （1）的大小； （2）求的值. 33. 如图，棱长为a的正方体中，求： （1）点C到平面的距离； （2）二面角平面角的余弦值. 34. 等差数列中，若，. （1）求等差数列的通项公式. （2）若，求数列的前项和. 35. 某蔬菜基地种植西红柿，通过分析历年市场行情得知，在每年2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系为；同时，西红柿种植成本与上市时间的关系，可以用二次函数图像的局部加以表示（如图）.求： （1）种植成本关于上市时间的函数解析式； （2）现规定“市场售价-种植成本”为纯收益y，问：t为多少时，纯收益y最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市临平职业高级中学（临平区技工学校）2022-2023学年第一学期高三年级数学周考 时间：120分钟 满分：150 一､选择题（本大题共20小题，1~10小题每题2分，11~20题每题3分，共50分） 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元一次不等式将集合进行化简，再利用交集的运算即可得解. 【详解】，解得. 所以. 所以. 故选：. 2. 已知命题：，命题：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的概念即可求解. 【详解】因为，， 又因为，， 所以是必要不充分条件. 故选：B. 3. 不等式的整数解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有绝对值不等式的解法求出解集后取整数即可. 【详解】由， 可得， 即， 解得， 所以的解集为. 因为取整数有. 则不等式的整数解集为. 故选：D. 4. 已知函数，则函数图象是（ ） A. 线段 B. 直线 C. 射线 D. 离散的点 【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数的图像结合定义域即可得解. 【详解】因为函数为一次函数，图像是一条直线. 又因为，所以图像是一条射线. 故选：. 5. 已知实数a､b，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项根据不等式的基本性质进行判断；B选项举实例判断；C选项根据对数函数的单调性进行判断；D选项根据指数函数的单调性进行判断. 【详解】对于A，若，则，A选项错误； 对于B，若，即当，时，此时，B选项错误； 对于C，若，已知对数函数在内是单调递减的函数， 由于a、b是任意实数，对数可能没有意义，C选项错误； 对于D，若，已知指数函数在R上是单调递增的函数， 则有恒成立，D选项正确. 故选：D. 6. 已知100张奖券中有4张中奖券，现从中任抽2张，则2张都是中奖券的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本期考查简单事件概率，根据古典概率公式，即可求得结果. 【详解】根据概率的求解公式，, 故选：C. 7. 下列比较大小，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用诱导公式化简，再相合正弦、余弦函数单调性及正弦、余弦三角函数符号逐一作出判断即可. 【详解】对于选项A，因，，又，函数在上是增函数，，即，故选项A正确； 对于选项B，，故选项B错误； 对于选项C，， 故C选项错误； 对于D选项， ，， 即，所以，故D选项错误. 故选：A 8. 已知角，若将角终边绕原点顺时针旋转后得到的角是第（ ）象限角. A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 【答案】A 【解析】 【分析】求出旋转后的角的度数，再判断所在象限即可得解. 【详解】已知角，若将角终边绕原点顺时针旋转，旋转后的角为. 因为终边在第四象限，所以为第四象限角. 故选：. 9. 正弦函数在时，函数值y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦函数的图像及性质即可求解. 【详解】由正弦函数，当，值域为 故选：B 10. 关于指数函数和对数函数，下列说法正确的是（ ） A. 指数函数的定义域是 B. 对数函数的图象恒过点 C. 指数函数图象与y轴有且仅有一个交点 D. 对数函数的值域是 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数图象和性质即可求解. 【详解】对A：指数函数的定义域为R，故A项错误； 对B：对数函数的图象恒过点，故B项错误； 对C：指数函数图象与y轴的交点有且仅有一个为，故C项正确； 对D：对数函数的值域为，故D项错误. 故选：C. 11. 设函数，函数，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将代入的解析式中，再将的函数值代入的解析式中求值即可. 【详解】已知， 且， 所以， 所以. 故选：D. 12. 向量的起点为原点，终点为，则与向量平行的直线斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求出斜率，根据两条直线平行斜率相等即可得解. 【详解】向量的起点为原点，设向量的终点为. 所以直线的斜率为. 所以与与向量平行的直线斜率为. 故选：. 13. 下列函数在区间上为单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意逐选项进行分析，即可得出结果. 【详解】A: 该函数为对勾函数，，故A选项错误, B: 该函数为抛物线,在处有最小值，在上递减,故B选项错误. C:由正弦函数图像可知,函数在区间上单调递增,C选项正确. D: 该函数是一个开口向下的抛物线，在处有最大值，在上先递增后递减，故D选项错误. 故答案为：C 14. 沪杭城际高速铁路（沪杭客运专线），连接上海与杭州两地，是中国“四纵四横”客运专线网络中，沪昆客运专线的一个组成部分，设计时速高达小时，总投资276亿人民币.工程自2009年2月26日动工，2010年10月26日正式通车营运，中间停靠“松江南､金山北､嘉善南､嘉兴南､桐乡､海宁西､余杭南”共7个站.为此，铁路部门在整条线路上应准备（ ）种不同的车票. A. 72 B. 42 C. 36 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】1个起始站，1个终点站，7个中间停靠站，每两个站需要来回两种不同的车票，9个站选任选2个站进行排列即可. 【详解】根据已知该专线由上海到杭州，中间停靠7个站，可知列车从是始发站到终点站共9个车站， 即车票种类为每两个车站就有两种来回不同的车票， 故9个车站任选2个的排列数，即种车票. 故选：A. 15. 已知等差数列满足，，则过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据等差数列的前项和公式，求出，然后根据斜率公式求出直线的斜率， 再应用点斜式写出直线方程，最后化为一般式即可得出答案. 【详解】由等差数列满足，， 可得，即， 所以， 则直线方程上的两点分别为，， 可得斜率， 将点，代入点斜式方程中， 可得， 所以直线方程为. 故选：D. 16. 下列命题正确的是（ ） A. 经过空间任意三个点有且只有一个平面 B. 若直线a垂直于平面，则直线a垂直于平面内的任何直线 C. 若直线a平行于平面，则直线a平行于平面内的任何直线 D. 过互相垂直的两条直线有且只有一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面性质的基本公理及推论，以及线面平行、线面垂直的定义进行判断即可. 【详解】选项A中，经过不共线三点确定一个平面，故错误； 选项B中，由线面垂直的定义可知，若直线a垂直于平面，则直线a垂直于平面内的任何直线，正确； 选项C中，若直线a平行于平面，则直线a平行于平面内的无数条直线，错误； 选项D中，经过两条相交或平行直线有且只有一个平面；若两条直线异面垂直时（即不相交），则经过这两条直线显然不能确定一个平面，错误. 故选：B. 17. 调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因.为此，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时，血液中酒精含量不得超过.某人喝酒后，血液中酒精含量迅速上升到，在他停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】设个小时后才可以驾车，根据题意可知，每单位时间内酒精下降的量成等比数列，进而可得方程，求得. 【详解】设个小时后才可以驾车， 由题得， 即，， 所以至少要经过8小时后才可以驾驶机动车. 故选：C. 18. 函数的最小正周期和最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据二倍角公式与辅助角公式化简成的形式，再根据周期公式，和的值即可求出最小正周期和最大值. 【详解】由，根据 可得，令 则. 所以最小正周期为，最大值为. 故选：A. 19. 中，已知边，，三角形面积为，则边a为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形面积公式求出得值，再利用同角三角函数得基本关系求出，最后由余弦定理即可求得a的值. 【详解】因为，，三角形面积为， 即， 所以，则， 当时，根据余弦定理可得： ， 解得， 同理，当时，. 故选：B. 20. 如图，在直三棱柱中，，，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找出与平面所成角，通过几何关系求出正切值即可得解. 【详解】 如图所示，取的中点为，连接与. 因为，所以，又因为在直三棱柱中， 所以平面平面，且平面平面. 因为平面，. 所以平面. 因为平面，所以. 则与平面所成的角为. ，. . 故选：. 二､填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 化简的结果为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式，即可求得结果. 【详解】, 故答案为：. 22. 已知函数，则函数定义域为___________.（请用区间表示结果） 【答案】 【解析】 【分析】由分母不等于零及被开方数为非负数列出方程组即可得解. 【详解】要使函数有意义. 则 解得. 所以定义域为. 故答案为：. 23. 已知球的体积为,则该球的表面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由球的体积公式求出球的半径,再由表面积公式计算即可． 【详解】设球的半径为. 由球的体积公式可得. 解得. ∴球的表面积． 故答案为:. 24. 已知三个数成等比数列，三个数积为8，首末两数和为5，则公比为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设这三个数分别为， 则，解得， 又首末两数和为5，即， 解得或. 故答案为：或. 25. 已知数，则的最小值为___________. 【答案】7 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为7. 故答案为：7. 26. 圆锥的侧棱与底面所成的角为，圆锥的侧面积和底面积之比为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的母线与底面所成角，找出母线与底面半径的关系，求出侧面积与底面积即可. 【详解】由题意可知，圆锥的母线、底面半径与高构成的直角三角形中，母线与底面半径所成角， 可知母线与底面半径的比， 圆锥侧面积,圆锥的底面积, . 故答案为： 27. 如图，已知圆柱的高为，底面圆的半径为，AB､CD分别是两底面的直径，AD､BC是母线.若一只小虫从A点出发，在圆柱侧面上爬行到达C点，则小虫爬行的最短路线的长度是___________. 【答案】 【解析】 【分析】要求一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，小虫爬行的最短路线，利用在圆柱展开图中，线段的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，， ， 故答案为：. 三､解答题（本大题共8小题，共72分）（解答应写出文字说明及演算步骤） 28. 计算：. 【答案】. 【解析】 【分析】根据指数幂的运算，对数的运算，诱导公式及组合数的计算进行化简求值即可得解. 【详解】原式. 29. 已知角终边在第三象限，且满足，求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式可得，据此可求解； （2）根据同角三角函数的基本关系，可求得，再利用两角和的余弦公式可求解. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 因为角终边在第三象限，且满足， 所以， . 30. 如图，在平面内，用三个火柴棒可以搭建一个三角形（左起第一个图形），在此三角形基础上，向右加二个火柴棒，可以搭建二个三角形（左起第二个图形），在第二个图形基础上，再向右加二个火柴棒，可以搭建三个三角形（左起第三个图形），可知按图示规律，向右不断添加火柴棒，可以得到更多三角形，求： （1）搭建第2019个图形，需要多少个火柴棒； （2）搭建好前十个图形，共需多少个火柴棒？ 【答案】（1）4039 （2）120 【解析】 【分析】（1）根据题意，搭建三角形需要的火柴棒数量成等差数列，利用等差数列的通项公式即可求解； （2）根据等差数列的前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 由题可知，搭建三角形需要的火柴棒数量成等差数列， 则，所以， 所以， 则， 所以搭建第2019个图形，需要4039个火柴棒 【小问2详解】 由（1）可知，，， 所以， 所以搭建好前十个图形，共需120个火柴棒. 31. 已知展开式的常数项为，求： （1）常数的值； （2）展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）求出展开式的通项公式，利用常数项为，列出方程即可得解. （）根据二项式系数的性质，得出第四项二项式系数最大，代入通项公式中即可得解. 【小问1详解】 已知展开式的通项公式为：. 令解得. 所以常数项为. 解得. 【小问2详解】 因为为偶数，所以第四项的二项式系数最大. . 32. 中若，，D为的中点，面积为，求： （1）的大小； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式与余弦定理求解即可. （2）根据正弦定理求解即可. 【小问1详解】 由，得， 由余弦定理可知，， . 【小问2详解】 在中由正弦定理得， ，. 33. 如图，棱长为a的正方体中，求： （1）点C到平面的距离； （2）二面角平面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建系，然后求平面的法向量，最后根据向量内积求出距离即可. （2）根据已知条件和第（1）问条件，求得另一平面的法向量，再根据两法向量夹角公式即可求得二面角余弦值. 【小问1详解】 以为轴，以为轴，以为轴建系，连接， 所以， 所以，，， 设为平面的一个法向量， ，不妨令，则可得，此时， 所以. 【小问2详解】 易知平面的一个法向量为， 所以， 故二面角平面角的余弦值为：. 34. 等差数列中，若，. （1）求等差数列的通项公式. （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）设出等差数列的首项与公差，根据题意列出方程组，即可求出等差数列的通项公式. （）求出数列的通项公式，利用错位相减法求出前项和即可得解. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为. 因为若，. 所以. 解得 所以. 【小问2详解】 因为. . . . 整理得. 整理得. 所以. 35. 某蔬菜基地种植西红柿，通过分析历年市场行情得知，在每年2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系为；同时，西红柿种植成本与上市时间的关系，可以用二次函数图像的局部加以表示（如图）.求： （1）种植成本关于上市时间的函数解析式； （2）现规定“市场售价-种植成本”为纯收益y，问：t为多少时，纯收益y最大？ 【答案】（1） （2）t为50时，纯收益y最大. 【解析】 【分析】（1）根据局部的二次函数图象，通过待定系数法即可求得函数的解析式； （2）根据“市场售价-种植成本=纯收益”列式，再通过二次函数的性质，分段讨论即可求解. 【小问1详解】 由题可知：种植成本关于上市时间的函数可以用二次函数表示， 由图可知，函数图象顶点为，且过点 则设函数解析式为， 所以，解得， 所本关于的函数解析式为. 【小问2详解】 因为市场售价-种植成本为纯收益为y， 则， 整理得， 当时，则时，y取最大值， 最大值为， 当时，其图象为为开口向下的抛物线，对称轴为， 所以时，当时，y取最大值， 最大值为， 综上所述：t为50时，纯收益y最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $