第61讲 平面向量实际背景及基本概念（两大高频题型5考点）-【中职数学】2025年高考百练必刷题

中职数学高考百练考点61——平面向量实际背景及 基本概念 1、 【考点深度剖析】 应知应会 考题方向 平面向量实际背景及 基本概念 1.平面向量的概念与表示 2.向量的模 3.零向量与单位向量 4.相等向量 5.平行向量（共线向量） 2、 【高频考点突破】 题型一、零向量、单位向量与相等向量概念 1.（山东省汶上县高级职业技术学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题）下列命题正确的是（ ） A.零向量没有方向 B.两个单位向量相等 C.方向相反的两个向量互为反向量 D.方向相同或相反的两个向量称为平行向量 题型二、向量的模 2.（山东省汶上县高级职业技术学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题）已知向量的最大值是（ ） A.2 B.3 C.5 D.8 3.（山东省济南市2024届中职学校高三二模数学试题）” 是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 三、【考点反馈演练全覆盖】 【考点1】平面向量的概念与表示 1. 下列说法正确的个数是（   ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量； （2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数； （4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 2. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3. 关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 4. 下列说法不正确的是（   ） A．向量的模是一个非负实数 B．任何一个非零向量都可以平行移动 C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 【考点2】向量的模 5. 下列说法错误的是（ ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 6. 下列说法错误的是（    ） A． B．、是单位向量，则 C．两个相同的向量的模相等 D．单位向量均相等 7. 若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 8. 已知平面向量，，满足，设向量，向量，则（    ） A． B．2 C． D． 9. 命题：向量的长度与向量的长度相等为 （填写：真命题、假命题） 10. 已知，若，则 . 11. 若、为相反向量，且，，则 ， 【考点3】零向量与单位向量 12. 下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 13. 下列结论错误的是（    ） A．零向量与任一向量共线 B．零向量与任一向量的数量积为0 C．方向相反的两个向量是相反向量 D．模长等于1个单位长度的向量称为单位向量 14. 下列命题正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则 C．零向量没有方向 D．模为0的向量与任意非零向量共线 15. 模为0的向量叫做零向量，记作： . 【考点4】相等向量 16. 下列说法正确的是（    ） A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则 C．若，则 D．共线向量方向必相同 17. 如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 18. 如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 19. 下列说法正确的是（    ） A．若  则 B．若, 则 C．若,  则 D．若 则 20. 如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是 ． 21. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.    【考点5】平行向量（共线向量） 22. 下列命题正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意向量共线 23. 已知两个向量与共线，下列说法正确的是（    ） A．与平行 B．或 C．与方向相同 D．存在实数，使得 24. 已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 25. 下列命题正确的是（    ） A．与共线，与共线，则与也共线； B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； C．向量与不共线，则与都是非零向量； D．有相同起点的两个非零向量不平行． 26. 如图，和是在各边的处相交的两个全等的三角形，设的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则： （1）与相等的向量有； （2）与共线，且模相等的向量有． 27.是不共线的两个向量，但与是共线向量，则 ． 28. 三点共线 （答案不唯一）. 29. 已知，为非零不共线向量，向量与共线，则 ． 29. 在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：    (1)共线向量？ (2)相反向量？ (3)相同的向量？ (4)模相等的向量？ 若存在，分别写出这些向量． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中职数学高考百练考点61——平面向量实际背景及 基本概念 1、 【考点深度剖析】 应知应会 考题方向 平面向量实际背景及 基本概念 1.平面向量的概念与表示 2.向量的模 3.零向量与单位向量 4.相等向量 5.平行向量（共线向量） 2、 【高频考点突破】 题型一、零向量、单位向量与相等向量概念 1.（山东省汶上县高级职业技术学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题）下列命题正确的是（ ） A.零向量没有方向 B.两个单位向量相等 C.方向相反的两个向量互为反向量 D.方向相同或相反的两个向量称为平行向量 【答案】D 【解析】零向量有方向，只是方向不确定，故A错；单位向量模相等，但不一定是相等向量,B错；互为反向量是指模相等方向相反的向量，故C错；D正确 题型二、向量的模 2.（山东省汶上县高级职业技术学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题）已知向量的最大值是（ ） A.2 B.3 C.5 D.8 【答案】C 【解析】因为，故答案选C 3.（山东省济南市2024届中职学校高三二模数学试题）” 是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，两向量是相等向量，故，所以充分性成立；当时，不一定有，如也成立。故必要性不成立。答案选A 三、【考点反馈演练全覆盖】 【考点1】平面向量的概念与表示 1. 下列说法正确的个数是（   ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量； （2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数； （4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误； 对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误； 对于（3），零向量的模为0，不是正数，故（3）错误； 对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误； 故选：A． 2. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度. 故选：C. 3. 关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【答案】B 【解析】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确； 速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误； 零向量方向任意，D错误. 故选：B 4. 下列说法不正确的是（   ） A．向量的模是一个非负实数 B．任何一个非零向量都可以平行移动 C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 【答案】D 【解析】根据向量的有关概念易判断，D项错误． A、向量的模是指向量的长度，因此向量的模是一个非负实数，故该选项说法正确； B、任何一个非零向量都可以平行移动，故该选项说法正确； C、方向相反的两个向量一定是共线向量，故该选项说法正确； D、两个有共同起点且共线的向量其终点不一定相同， 如图，与有共同的起点且共线，但终点不同，故该选项说法错误. 故选：D. 【考点2】向量的模 5. 下列说法错误的是（ ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【答案】C 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，是单位向量，则，故B正确； 对于C，若，则不能比较大小，故C错误； 对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确. 故选：C. 6. 下列说法错误的是（    ） A． B．、是单位向量，则 C．两个相同的向量的模相等 D．单位向量均相等 【答案】D 【解析】对于A：因为，又互为相反向量的两个向量的模相等，所以，故A正确； 对于B：因为、是单位向量，所以，故B正确； 对于C：两个相同的向量的模相等，故C正确； 对于D：单位向量的模相等均为，由于无法确定方向是否相同，故单位向量不一定相等，故D错误. 故选：D 7. 若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【解析】 四边形中，则其为平行四边形， 若同时满足，即邻边相等，就是菱形， 最后，即对角线相等，就满足了矩形的条件. 于是三项都满足的四边形为正方形，故A，B，D正确，C错误. 故选：C. 8. 已知平面向量，，满足，设向量，向量，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D 9. 命题：向量的长度与向量的长度相等为 （填写：真命题、假命题） 【答案】真命题 【解析】根据向量模的定义，可得， 所以命题：向量的长度与向量的长度相等是正确的. 故答案为：真命题. 10. 已知，若，则 . 【答案】 【解析】由勾股定理可知，，即. 故答案为：. 11. 若、为相反向量，且，，则 ， 【答案】 【解析】因为、为相反向量，且，，则，， 因此，，. 故答案为：；. 【考点3】零向量与单位向量 12. 下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【解析】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 故选：C 13. 下列结论错误的是（    ） A．零向量与任一向量共线 B．零向量与任一向量的数量积为0 C．方向相反的两个向量是相反向量 D．模长等于1个单位长度的向量称为单位向量 【答案】C 【解析】A：零向量与任意向量共线，故A正确； B：零向量与任意向量的数量积都等于0，故B正确； C：相反向量的概念是方向相反且长度相等的两个向量，故C错误； D：单位向量的概念是模为1个单位长度的向量，故D正确. 故选：C 14. 下列命题正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则 C．零向量没有方向 D．模为0的向量与任意非零向量共线 【答案】D 【解析】对于A，单位向量的方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B，取非零向量，此时满足，但不成立，故B错误． 对于C，零向量有方向，其方向任意，故C错误； 对于D，模为的向量为零向量，零向量与任意非零向量共线，故D正确； 故选：D． 15. 模为0的向量叫做零向量，记作： . 【答案】 【解析】由零向量的定义及表示可知：零向量记为. 故答案为： 【考点4】相等向量 16. 下列说法正确的是（    ） A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则 C．若，则 D．共线向量方向必相同 【答案】A 【解析】对于A，相等向量必是共线向量，A正确； 对于B，与是平行向量，如为非零向量，而，显然，B错误； 对于C，模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即不一定成立，C错误； 对于D，共线向量的方向可以相反，D错误. 故选：A 17. 如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】四边形中，，则且， 所以四边形是平行四边形； 则有，故A错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确； 由图可知，C错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误． 故选：B． 18. 如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 所以，，，，故ABD错误，C正确. 故选：C. 19. 下列说法正确的是（    ） A．若  则 B．若, 则 C．若,  则 D．若 则 【答案】C 【解析】对于A，由不能确定的方向，故得不到，即A错误； 对于B，当时，满足,，但得不到的位置关系，故B错误； 对于C，因平面向量是自由向量，故由,可得，即C正确； 对于D，当时，，但得不到，故D错误. 故选：C. 20. 如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是 ． 【答案】, 【解析】因为P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，所以，, 因为方向相同，大小相等的向量为相等向量，所以与相等的向量为，. 故答案为：，. 21. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.    【答案】2 【解析】由题意∥AB可知，，所以，所以. 因为，所以，， 所以，，所以. 又M，O，N三点共线， 所以，，故相等向量有2对. 故答案为：2. 【考点5】平行向量（共线向量） 22. 下列命题正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意向量共线 【答案】D 【解析】对于A：单位向量的模都为，但是方向无法确定，故不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误； 对于C：平行向量即是共线向量，故C错误； 对于D：模为的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故D正确. 故选：D 23. 已知两个向量与共线，下列说法正确的是（    ） A．与平行 B．或 C．与方向相同 D．存在实数，使得 【答案】A 【解析】选项A：与共线，则与平行，A说法正确； 选项B：与共线，且模长相等时，满足或，B说法错误； 选项C：与共线，则与方向相同或相反，C说法错误； 选项D：与共线，当是非零向量时，存在实数，使得，D说法错误； 故选：A 24. 已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 【答案】A 【解析】因为向量与是两个不平行的向量，且且， 所以等于， 故选：A 25. 下列命题正确的是（    ） A．与共线，与共线，则与也共线； B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； C．向量与不共线，则与都是非零向量； D．有相同起点的两个非零向量不平行． 【答案】C 【解析】对于A：当是零向量时，与不一定共线，故选项A错误； 对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误； 对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确； 对于D：平行向量可能在同一条直线上且共起点，故选项D错误． 故选：C. 26. 如图，和是在各边的处相交的两个全等的三角形，设的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则： （1）与相等的向量有； （2）与共线，且模相等的向量有． 【答案】 、、、、、 【解析】（1）由图可知，与相等的向量有、； （2）由图可知，与共线，且模相等的向量有、、、、， 故答案为：、；、、、、. 27.是不共线的两个向量，但与是共线向量，则 ． 【答案】或. 【解析】由题意设， 因为是不共线的两个向量， 所以，解得或. 故答案为：或. 28. 三点共线 （答案不唯一）. 【答案】（答案不唯一） 【解析】解： 三点共线∥， 或者 三点共线∥. 故答案为： 29. 已知，为非零不共线向量，向量与共线，则 ． 【答案】 【解析】因为向量与共线，且，为非零不共线向量， 所以， 故，解得， 故答案为： 29. 在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：    (1)共线向量？ (2)相反向量？ (3)相同的向量？ (4)模相等的向量？ 若存在，分别写出这些向量． 【答案】(1)向量与共线，向量与共线 (2)向量与是相反向量 (3)不存在相同的向量 (4) 【解析】（1）向量与共线，向量与共线，所以存在共线向量； （2）向量与是相反向量，所以存在相反向量； （3）不存在相同的向量； （4），，， 所以存在模相等的向量，即为，，. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$