精品解析：浙江省衢州中等专业学校2022-2023学年高二(预科班)上学期期中考试数学试题

衢州中等专业学校2022-2023学年第一学期高二（预科班）数学 期中考试 本试题卷共三大题.全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分） 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件可以确定一个平面的是（ ） A. 两条直线 B. 一点和一条直线 C. 三个不共线的点 D. 两个点和一条直线 4. 已知平面平面，且，，则直线，的位置关系是（ ） A. 异面 B. 平行或异面 C. 平行 D. 相交 5. 若直线与平面平行，则（ ） A. 直线与平面内无数多条直线平行 B. 只与平面内一条直线平行 C. 与平面内所有直线都异面 D. 直线与平面内所有直线平行 6. 已知向量与共线，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 下列命题正确的是（ ） A. 正三棱锥的侧面是正三角形 B. 直棱柱和正棱柱的侧棱长等于高 C. 底面是正方形的棱锥是正棱锥 D. 各条侧棱与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥 8. 球的半径为2，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 9. “”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 与一个平面成等角的两条直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或相交或异面 11. 在正方体的所有面对角线中，与成异面直线且与成的有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 8条 12. 已知，，，那么的值是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 13. 在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一面的距离的倍，那么这个二面角的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 14. 圆经过点，圆心在原点，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 15. 下列错误的命题有个（ ） ①平行与同一平面的两个平面平行； ②垂直与同一个平面的两个平面平行； ③平行与同一直线的两个平面平行； ④垂直与同一直线的两个平面平行 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 17. 圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，母线长为2，则它的侧面积为（ ） A. B. C. D. 18. 到直线的距离为2的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 19. 正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为5，则它的高为是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 20. 若直线与圆相交于、两点，是坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 正方体的棱长为2，以它的对角线为直径的球的体积为______. 22. 已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为______. 23. 过圆内一点作弦，弦长最大值为______. 24. 在中，已知，则______. 25. 在正方体中，和平面所成的角是______. 26. 已知，则的最大值为______. 27. 若正四棱柱的底面边长为6cm，且体积为，则它的体对角线长为_____cm. 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤. 28. 若点是角终边上的一点，且，求和的值. 29. 已知圆柱的底面半径为3，且轴截面的面积为24，求： （1）圆柱的表面积； （2）圆柱的体积. 30. 在如图所示的四面体中，已知，，，. （1）证明； （2）求平面与平面所成的二面角的大小. 31. 在等差数列中，已知，点在直线上.求： （1）等差数列的通项公式； （2）数列的前项和的最小值. 32. 正方体的棱长为，、分别是正方形和的中心. （1）求线段的长； （2）求与平面所成的角. 33. 已知圆心为的圆与直线相切 （1）求圆的标准方程； （2）求轴被圆所截得的弦长. 34. 如图所示，圆锥的母线，底面半径为，为正三角形，求： （1）的侧面积与体积； （2）二面角的大小. 35. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数关系，且时，；时，. （1）求一次函数的表达式； （2）若该商场获得利润为元，问单价为多少时，获得最大利润，最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衢州中等专业学校2022-2023学年第一学期高二（预科班）数学 期中考试 本试题卷共三大题.全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分） 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集的定义即可解得 【详解】由题，， 则， 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，中，列不等式组可求解. 【详解】要使函数有意义，则满足 ，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 3. 下列条件可以确定一个平面的是（ ） A. 两条直线 B. 一点和一条直线 C. 三个不共线的点 D. 两个点和一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】通过确定一个平面的条件，进而确定答案. 【详解】选项 A 中的两条直线如果不相交且不平行，则不能确定一个平面, 选项 B 中的点在直线上时不能确定一个平面, 选项 C 中的三个不共线的点可以确定一个平面, 选项 D 中的两个点确定直线与已知直线不相交且不平行时不能确定一个平面. 故选：C. 4. 已知平面平面，且，，则直线，的位置关系是（ ） A. 异面 B. 平行或异面 C. 平行 D. 相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中两平面平行的性质即可解得 【详解】平面平面，直线，直线， 若在与两平面相交的同一平面上时，, 若不在与两平面相交的同一平面上时，两直线异面. 故选：B 5. 若直线与平面平行，则（ ） A. 直线与平面内无数多条直线平行 B. 只与平面内一条直线平行 C. 与平面内所有直线都异面 D. 直线与平面内所有直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的性质逐一进行判断即可 【详解】对于AB，若直线与平面平行，则平面内存在无数条平行的直线与之平行，故A选项正确，B选项错误； 对于C，若直线与平面平行，则平面内有与之平行的直线，也有与之异面的直线，故C选项错误； 对于D，若直线与平面平行，则平面内有与之异面的直线，故D选项错误. 故选：A. 6. 已知向量与共线，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示可求解. 【详解】因为向量与共线， 所以， 解得. 故选：A 7. 下列命题正确的是（ ） A. 正三棱锥的侧面是正三角形 B. 直棱柱和正棱柱的侧棱长等于高 C. 底面是正方形的棱锥是正棱锥 D. 各条侧棱与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱锥与棱柱的特点进行一一判断即可. 【详解】正三棱锥的侧面是等腰三角形，不一定是正三角形，A选项错误； 直棱柱、正棱柱的侧棱均垂直于底面，所以直棱柱和正棱柱的侧棱长都等于高，B选项正确； 底面是正多边形，顶点在底面的投影是底面中心的棱锥为正棱锥，C选项错误； 各条侧棱与底面所成角都相等的棱锥只能说明侧棱相等，底面不一定是正多边形，所以不一定是正棱锥，D选项不正确. 故选：B. 8. 球的半径为2，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的表面积公式计算即可. 【详解】已知球的半径， 其表面积. 故选：C. 9. “”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判定. 【详解】当时，得到或，故“” “”. 而“”时，设定，无法得到“”，故“” “”. 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 10. 与一个平面成等角的两条直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或相交或异面 【答案】D 【解析】 【分析】在正方体中，以与平面，与平面，与平面为例，可得结论. 【详解】 如图，在正方体中， 直线与平面所成的角相等（都为），此时两直线平行； 直线与平面所成的角相等（都为），此时两直线相交； 直线与平面所成的角相等（都为），此时两直线异面； 综上所述，与一个平面成等角的两条直线的位置关系是平行或相交或异面. 故选：D 11. 在正方体的所有面对角线中，与成异面直线且与成的有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 8条 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的性质找到以为边的等边三角形，进而确定与其成异面直线且成60°的面对角线条数. 【详解】如图所示，是等边三角形，所以每个内角都为， 所以面对角线中，与平行或与平行的直线都与成角，故异面的有2条， 又也是等边三角形，同理满足条件的有2条， 综上，与成异面直线且与成的有4条. 故选：C. 12. 已知，，，那么的值是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，依次令，可得，，. 【详解】在中 令，可得， 令，可得， 令，可得. 故选：D 13. 在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一面的距离的倍，那么这个二面角的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据二面角的定义即可求得. 【详解】如图， 由题意得，，而，且， ，又平面，平面. 故平面，即. 即这个二面角的平面角为，且， 所以， 因为，且在直角三角形内，为锐角， 所以. 故选：C. 14. 圆经过点，圆心在原点，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式，求出与原点的距离，即半径，据此可得圆的方程. 【详解】因为圆经过点，圆心在原点， 所以圆的半径， 圆的方程为. 故选：B 15. 下列错误的命题有个（ ） ①平行与同一平面的两个平面平行； ②垂直与同一个平面的两个平面平行； ③平行与同一直线的两个平面平行； ④垂直与同一直线的两个平面平行 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由平行平面的传递性可知，①正确；根据面面平行的判定可知，④正确；垂直与同一个平面的两个平面可以相交，平行与同一直线的两个平面也可以相交，故②③错误. 【详解】由平行平面的传递性可知，平行与同一平面的两个平面平行，故①正确； 垂直与同一个平面的两个平面可以相交，如正方体相邻的三个面就不成立，故②错误； 平行与同一直线的两个平面可以相交，故③错误； 根据面面平行的判定可知，垂直与同一直线的两个平面平行，故④正确. 正确的有：①④. 故选：B 16. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线斜率，再求出直线倾斜角即可 【详解】由题可知，直线斜率, 设倾斜角为，则， 解得， 故选：B 17. 圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，母线长为2，则它的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据圆锥轴截面的特征可知，底面圆的直径为，据此，根据圆锥的侧面积公式可求解. 【详解】因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，母线长为2， 所以等腰直角三角形的直角边为2，斜边为. 即圆锥的底面圆的直径为. 所以侧面积. 故选：A 18. 到直线的距离为2的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线之间的距离公式求解. 【详解】设：直线方程为， ， 解得，或， 所以直线方程为或. 故选：B. 19. 正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为5，则它的高为是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在正三棱锥中，作平面，垂足为O点，连接AO，则O点是正三角形的中心，从而可得，据此，在中可求解. 【详解】 如图，在正三棱锥中，作平面，垂足为O点，连接AO， 因为棱锥是正三棱锥，所以O点是正三角形的中心. 因为底面边长为，所以. 在中，， 所以高. 故选：A 20. 若直线与圆相交于、两点，是坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式求出弦长，然后求出原点到直线的距离得到三角形的高，利用三角形面积公式即可求解. 【详解】由知圆心，半径， 又有直线， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长， 又因为原点到直线的距离为， 所以. 故选：B. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 正方体的棱长为2，以它的对角线为直径的球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先解出正方体对角线的长，再根据球的体积公式即可解得. 【详解】由题正方体棱长为， 则对角线为， 球的半径， 故球的体积. 故答案为：. 22. 已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可设直线的方程为，将点代入可求解. 【详解】由题可设直线的方程为， 因为直线经过点， 所以, 解得， 故直线的方程为. 故答案为： 23. 过圆内一点作弦，弦长最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】过圆内一点作弦，最长弦为直径，求出圆的直径长即可. 【详解】由可得， 由于过圆内一点作弦，最长弦为直径， ， 所以弦长最大值. 故答案为：. 24. 在中，已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系即可解得 【详解】由题角是的内角，又知， 则, 故， 故答案为： 25. 在正方体中，和平面所成的角是______. 【答案】 【解析】 【分析】由线面角的概念可知，为和平面所成的角，在中可求解. 【详解】 如图，正方体中，平面， 所以在平面内的射影为， 即为和平面所成的角. 在中，， 所以. 故答案为： 26. 已知，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求出. 【详解】因为，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最大值为. 故答案为：. 27. 若正四棱柱的底面边长为6cm，且体积为，则它的体对角线长为_____cm. 【答案】9 【解析】 【分析】设正四棱柱的高为，根据正四棱柱的体积公式，可求得高，再利用体对角线公式可求解. 【详解】设正四棱柱的高为，由题可得 ，解得， 所以它的体对角线长. 故答案为：9 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤. 28. 若点是角终边上的一点，且，求和的值. 【答案】， 【解析】 【分析】先由正切值求解m的值，再由点P即可求解和的值. 【详解】因为点是角终边上的一点，且， 所以，解得， 所以P点到点O的距离为， 所以，， 综上，. 29. 已知圆柱的底面半径为3，且轴截面的面积为24，求： （1）圆柱的表面积； （2）圆柱的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由圆柱的表面积及体积公式求解即可. 【小问1详解】 设圆柱的半径为，母线长为，由已知得，， 解得，所以圆柱的表面积为 【小问2详解】 圆柱的半径为，母线长为 所以圆柱的体积 30. 在如图所示的四面体中，已知，，，. （1）证明； （2）求平面与平面所成的二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过条件证明线面垂直平面，进而利用线面垂直的性质即可证明； （2）通过条件可确定即为所求二面角，再由已知条件求得中的两条直角边，通过正切值即可得到角的大小. 【小问1详解】 因为， 所以，又平面，， 所以平面， 又平面，则， 又因为，平面，， 所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以平面与平面的平面角为， 在中，，，得， 在中，，，得， 在中，，得， 所以平面与平面所成的二面角为. 31. 在等差数列中，已知，点在直线上.求： （1）等差数列的通项公式； （2）数列的前项和的最小值. 【答案】（1） （2）最小值为 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质和等差数列的通项公式即可解得. （2）根据第（1）问求出的数列写出其前项和公式，再利用对应函数单调性即可解得最小值. 【小问1详解】 由题点在直线上， 故即， 故是公差的等差数列，又知， 则. 【小问2详解】 由等差数列前项和公式，得， 将可看做一元二次函数，开口向上，在对称轴处取得最小值， 故最小值为. 32. 正方体的棱长为，、分别是正方形和的中心. （1）求线段的长； （2）求与平面所成的角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在三角形中，为三角形的中位线， 根据中位线的性质即可求解. （2）根据线面角的概念和正方体的性质即可求解 【小问1详解】 连接，， 是正方体， 是的中点，是的中点， 在中，为中位线. 且， 正方体棱长为， ， . 【小问2详解】 ， 、与平面所成的角相等. 平面， 与平面所成的角为， 与平面所成的角为. 33. 已知圆心为的圆与直线相切 （1）求圆的标准方程； （2）求轴被圆所截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线与圆相切，求解圆心到直线的距离，即圆的半径，由圆的圆心和半径确定方程即可. （2）令求得圆与轴交点的坐标，从而得解. 【小问1详解】 由题意可得圆心到直线的距离，即是圆的半径， 故， 所求圆的方程为； 【小问2详解】 令可得，，解得， 所以圆与轴交点的坐标分别为， 故轴被圆所截得的弦长为. 34. 如图所示，圆锥的母线，底面半径为，为正三角形，求： （1）的侧面积与体积； （2）二面角的大小. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解三角形得到圆锥的高，再根据圆锥侧面积和体积公式即可解得. （2）找到二面角的平面角再解三角形即可. 【小问1详解】 由题是圆锥的高， 故，, 侧面积 体积 【小问2详解】 取中点，连结 为正三角形， 为二面角的平面角, , 二面角的大小为 35. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数关系，且时，；时，. （1）求一次函数的表达式； （2）若该商场获得利润为元，问单价为多少时，获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1），. （2）当单价为90元时，获得最大利润900元. 【解析】 【分析】（1）根据已知将分别代入函数关系式即可解得. （2）根据销售单价与销售量，成本的关系表示出利润的函数关系式，再根据二次函数图象开口方向及对称轴求最值即可. 【小问1详解】 由题代入得， 解得 故函数表达式为，. 【小问2详解】 由题可列式，， 因为抛物线开口向下，对称轴为， 故当时，利润最大， 即当单价为元时，获得最大利润，最大利润是元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $