第二章《实数》单元练习 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

第二章《实数》 章末综合练习 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．在﹣10，，，0.3这四个数中，属于无理数的是（　　） A．﹣10 B． C． D．0.3 2．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．的平方根是±8 C．无限小数都是无理数 D．若a＜0，﹣1＜b＜0，则ab＞ab2 3．下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简的结果是（　　） A．a B．﹣a C．3a﹣2b D．﹣3a+2b 5．若x，y为实数，且，则的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 6．的平方根是（　　） A．4 B．±4 C．±2 D．2 7．估计的值应在（　　） A．7与8之间 B．9与10之间 C．8与9之间 D．10与11之间 8．按如图所示程序框图计算，若输入的值为m＝81，则输出结果为（　　） A． B． C．3 D． 9．若用[x]表示任意正实数的整数部分，例如：[2.5]＝2，[2]＝2，，则式子 的值为（　　） （式子中的“+”，“﹣”依次相间） A．22 B．﹣22 C．23 D．﹣23 10．设S1＝1，S2＝1，S3＝1，…，Sn＝1，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．比较大小：　 　﹣1（填“＞”、“＝”或“＜”） 12．计算的结果为 　 　． 13．已知5x﹣2的立方根是﹣3，则x+69的算术平方根是　 　． 14．把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是　 　． 15．已知x1，y1，则x2﹣5xy+y2+6＝　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③﹣（﹣32），④0.1010010001…（两个1之间的0逐渐增加），⑤﹣3.2，⑥，⑦． 整数集合：{ 　 　…}； 负分数集合：{ 　 　…}； 正有理数集合：{ 　 　…}； 无理数集合：{ 　 　…}． 17．（1）计算：； （2）求未知数的值： ①（x﹣1）2＝4； ②25x2﹣1＝0． 18．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （1）表格中x＝　 　；y＝　 　； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知3.16，则　 　； ②已知1.8，若180，则a＝　 　； （3）拓展：已知，若，则z＝　 　． 19．已知2a﹣1的算术平方根是3，a+b﹣1的立方根是2，c是的整数部分．求的平方根． 20．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 21．小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出　 　； （2）化简； （3）若，请按照小明的方法求出a3﹣11a2+9a+1的值． 22．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简； 　 　． 　 　． （2）矩形的面积为，一边长为，求这个矩形的周长． （3）当a＞b＞0时，化简：． 23．数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的整数部分是 　 　． （2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． （3）已知，x为的整数部分，y为的小数部分， 求的值． 24．【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是 　 　． 【知识应用】 （2）若，求（a+b）2024的值． 【拓展应用】 （3）若，求a﹣20232的值． 25．下而是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． （1）任务一：的小数部分为 　 　． （2）任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． （3）任务三：，其中x是整数，且0＜y＜1，求2x﹣y的相反数． 答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．CDBDA． 6-10．CBACA． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．＜． 12．6． 13．8． 14． 15．7． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：整数集合：②③． 负分数集合：⑤⑦． 正有理数集合：③⑥． 无理数集合：①④． 17．解：（1）原式＝﹣8+8+2﹣5 ＝﹣3； （2）①由原方程得：x﹣1＝±2， 则x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， 解得：x＝3或x＝﹣1； ②原方程整理得：x2， 则x＝±． 18．解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10； （2）①31.6，a＝32400，故答案为：31.6，32400； （4）z＝0.012，故答案为：0.012． 19．解：∵9的算术平方根是3，8的立方根是2， ∴2a﹣1＝9，a+b﹣1＝8， 解得a＝5，b＝4． ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴c＝3． ∴a+2b+c＝5+8+3＝16， ∴． ∴的平方根．． 20．解：由数轴可知，5＜a＜10， ∴a﹣4＞0，a﹣11＜0， ∴ ＝a﹣4﹣（11﹣a） ＝a﹣4﹣11+a ＝2a﹣15． 21．解：（1） ， 故答案为：； （2） ＝﹣1+2； （3）∵， ∴， ∴，即（a﹣5）2＝26， ∴a2﹣10a＝1，a3＝a+10a2， ∴a3﹣11a2+9a+1 ＝a+10a2﹣11a2+9a+1 ＝﹣a2+10a+1 ＝﹣（a2﹣10a）+1 ＝﹣1+1 ＝0． 22．解：（1），33； 故答案为：，33； （2）另一边长为：6﹣2， 所以2（2+6﹣2）＝16﹣2， 答：这个矩形的周长为16﹣2； （3）当a＞b＞0时， ． 23．解：（1）∵， ∴的整数部分为3， 故答案为：3； （2）∵a为的小数部分，b为的整数部分， ∴a2，b＝1， ∴2+11； （3）∵，其中x是一个正整数，0＜y＜1， ∴x＝8+1＝9，， ∴原式＝2×9+（）2023 ＝18+（﹣1）2023 ＝18﹣1 ＝17． 24．解：（1）因为， 所以a≥0． 故答案为：a≥0． （2）由得， ， 解得， 所以（a+b）2024＝（﹣2+1）2024＝（﹣1）2024＝1． （3）因为， 所以a﹣2024≥0， 则a≥2024， 所以2023﹣a＜0， 则原方程可化为：a﹣2023， 所以， 则a＝20232+2024， 所以a﹣20232＝2024． 25．解：（1）∵， 即， ∴的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：； （2）∵，即， ∴的小数部分， ∵， 即， 的整数部分b＝3， ∴； （3）∵， 即， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∴， 又∵， ∴， ∵x是整数，且0＜y＜1， ∴， ∴， ∴2x﹣y的相反数。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$