第五单元 简易文号大单元备课（教学设计）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

授课题目 方程的意义 授课 时间 授课类型 新课 授课课时 第一课时 教学目标 1.初步理解方程的意义，明确方程与等式的关系，会写出简单的方程。 2.经历从具体问题情境中抽象出方程的过程，在观察、分类、抽象中感受方程的思想方法，发展数学抽象思维能力和符号意识。 3.感受方程与实际生活的密切联系，激发学习数学的兴趣和动力。 教学 重点 难点 重点 理解和掌握方程的意义 难点 明确方程与等式的关系 教学 方法 预习 讲解 讨论 教具与 学具 课件 天平图片 学习单 教学活动设计 一、创设情境，激发兴趣 ( 【 教学提示 】 教师适当引导与总结，对有不同想法的同学要予以鼓励和赞赏。 )1.故事激趣。 师：同学们，你们听过“曹冲称象”的故事吗？ 播放“曹冲称象”的视频。 师：谁能说说曹冲为什么能称出大象的质量？ 【学情预设】学生会说是因为曹冲用石头代替大象去称质量。 师：同学们都跟曹冲一样聪明呀！因为古代科学技术不发达，所以测量很重的物体的质量就比较麻烦，而现在我们有很多的测量物体质量的工具。今天，我们就先来认识其中的一种：天平。 【设计意图】借助故事激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，为后面的学习做好铺垫。 2.介绍天平各部分部件。 课件展示天平图片，向学生介绍天平各部件的名称。 师：你们知道怎样用天平测量物体质量吗？ 【学情预设】预设1：把物品放在托盘上，看指针的刻度。 预设2：把物品放在左边的托盘里，右边的托盘放砝码，天平平衡时，砝码的质量就是物体的质量。 预设3：指针指在正中间就表示天平是平衡的。 …… 师：说得好！大家知道吗？天平除了可以测量物体的质量，还可以用来判断两个物体的质量是否相等。 二、实践交流，合作探究 1.认识等式。 课件出示教科书P62示意图1。 师：大家仔细观察图中天平的状态是怎样的？ 【学情预设】学生们会说天平处在平衡状态。 师：平衡状态说明了什么？ 【学情预设】说明两边物体的质量相等。 师：可以用一个算式来表示这样的平衡状态吗？ 【学情预设】50+50=100或者50×2=100。（教师适时板书） 师小结：这里的等号表示左边和右边相等。在数学上，左右两边相等的式。 就叫作等式。 2.课件出示教科书P62示意图2、3。 师：观察图2，你知道了哪些信息？ 【学情预设】空杯子重100g。 师：如果往杯中加上一些水，天平会怎样？（如图3） 【学情预设】天平就不平衡了。 师：这个时候的天平状态又怎样用式子表示呢？ 学生先独立思考，再小组讨论。 【学情预设】预设1：杯子的质量+水的质量=一杯水的质量。 预设2：可以知道现在一杯水的质量大于100g。 …… 师：杯中加的水的质量我们知道吗？ 【学情预设】不知道。 师：数学中不知道的量可以怎样表示？ 【学情预设】可以用未知数x表示。 师：好！看天平左边（强调左边），我们可以怎样用式子表示？ 【学情预设】100+x。 师：那再看右边，右边是多少？ 【学情预设】100。 师：天平现在是平衡的吗？ 【学情预设】不是。 师:看天平状态说明天平哪边重一些? 【学情预设】左边。 师：左边重可以怎样用式子来表示？ 根据学生回答板书式子：100+x>100。 3.进一步探究方程的意义。 师：那怎样才能使天平两边平衡呢？ 课件出示教科书P62示意图4。 师：如果在右边的托盘上依次增加1个100g的砝码，增加2个100g的砝码，天平仍然不平衡，你们能试着用式子去分别表示天平的状态吗？ 学生试写，教师巡视指导并引导学生写出式子：100+x>200,100+x<300 教学活动设计 师：天平还是不能平衡，同学们想象一下，怎样才能使天平平衡呢？ 【学情预设】预设1：天平右边换一个轻一点的砝码，比如说50g的。 预设2：在左边托盘上放一个轻一些的砝码，慢慢调整。 引导学生用式子来表示天平平衡的状态：100+x=250，100+x+50=300。（板书） 【设计意图】方程是含有未知数的等式，学习方程的概念要从认识等式开始。通过课件中天平的演示，说明天平平衡的条件是左右两边所放物体的质量相等，从而引出等式。接着更换物品，得出一只空杯正好100 g，再向杯中倒入水，并设水重x g，通过逐步尝试、调整，得出杯子和水共重250 g。这样由数的等式到含未知数的等式，并通过相等与不相等的比较，为引入方程概念奠定了较为丰富的感性认识基础。 三、归纳提炼，导入课题 师：请同学们观察黑板上的式子。 50+50=100 100+x＞100 100+x＞200 100+x＜300 100+x=250 100+x+50=300 师：这些式子有什么不同？ 【学情预设】预设1：有的式子有字母，有的式子没有字母。 预设2：有的式子有等号，有的式子没有等号。 师：刚才我们学了等式的概念，那这里面哪些是等式，哪些不是等式呢？把不是等式的式子画掉。（教师适时完善板书） 师：观察剩下的等式，这些等式也有不同，你们能找出来吗？ 【学情预设】有些等式含有未知数，有些等式不含未知数。 师：请同学们把不含未知数的等式也画掉。我们观察剩下的式子，这些式子有什么特点？（教师适时完善板书） 【学情预设】预设1：是一个等式。 预设2：含有未知数。 师小结：像100+x=250、100+x+50=300这样，含有未知数的等式叫作方程。 师：这就是我们今天要学习的内容。（板书课题：方程的意义） 【设计意图】通过观察、对比、分类、排除，逐步让学生总结方程的两个重要特征：含有未知数、是一个等式。同时渗透数学有序思维，培养学生的逻辑推理能力。 四、巩固练习，强化概念 教学活动设计 1.完成教科书P63“做一做”第1题。 （1）师生交流，进行判断。 师：判断一个式子是不是方程，你的依据是什么？ 【学情预设】先看这个式子是不是一个等式，然后再看等式里是否含有未知数。 （2）讨论方程和等式的关系。 师：同学们观察得真仔细！上面这些等式中有的是方程，有的不是方程，那么方程和等式之间有关联吗？ 【学情预设】预设1：有关联。因为方程一定是等式，所以方程一定要在等式里找。 预设2：方程包含在等式里面，它是在等式的基础上多了“未知数”这个条件。 预设3：方程是一种特殊的等式。 师:“特殊”这个词用得好，特殊在哪? 【学情预设】特殊在方程含有未知数。 师：真是爱思考的孩子！老师为你们点赞！等式包含了方程，方程属于等式。弄清楚它们之间的关系，可以更好地帮助我们分析和判断。 【设计意图】进一步明确方程的两个重要条件：“等式”“含有未知数”，两个条件缺一不可。学生用方程的意义去判断哪些式子是等式，哪些式子是方程，在判断的基础上进行分类整理，让学生清楚地表达出了方程与等式的包含关系，深化了对方程意义的理解。 2.试写方程。 师：刚才我们判断了一个式子是不是方程，同学们能否自己写出一些方程呢？ 学生试写，然后展示汇报，请其他同学判断是否正确，并说明理由。 3.完成教科书P63“做一做”第2题。 学生独立完成后汇报展示，集体订正。 4.课件出示习题。 要求学生说明判断的理由，进一步明确“方程”这一概念的内涵。 5.完成教科书P66“练习十四”第2题。 学生独立完成，集体订正。 6.完成教科书P66“练习十四”第3题。 学生独立完成，集体订正。 【学情预设】学生可能列出不同的方程，但如果学生列出用已知数表示未知数的方程或除数为未知数的方程，如第3题第（3）小题列成： 2.8÷7＝s或2.8÷s＝7，则有必 教学活动设计 要在肯定其正确的同时，建议学生将它们改成乘法形式的方程：7s＝2.8。教导学生“ 以乘代除”的优 点：一是解方程更简便，二是多数情况下列乘法形式的方程更容易思考，且思路更统一。当然这些都需要在以后的学习中慢慢体会。 7.介绍数学文化。 全班阅读教科书P63“你知道吗？”。 师：读了这段文字，大家有什么感受？ 【学情预设】预设1：方程的作用很大。 预设2：方程的历史很悠久。 【设计意图】数学文化介绍了方程的产生背景和发展历程，有助于拓展学生的视野，激发学生进一步学习方程的欲望。 五、课堂小结 师：同学们，学习完今天的数学课，你们有哪些收获呢？ 作业设计 课后作业 一、下面哪些式子是等式？哪些是方程？(填序号) ①6x×3 ②2a=16 ③m=0 ④x-9>6 ⑤1.6y+3=12 ⑥6(x-0.6)=12 ⑦3.8+6=9.8 ⑧4.5a<21 二、根据图中的数量关系写出三个不同的方程。 板书设计 课后反思 授课题目 等式的性质 授课 时间 授课类型 新课 授课课时 第二课时 教学目标 1.在具体情境中初步理解等式的基本性质。 2.通过对天平保持平衡的探索和研究，渗透一个量的变化引起另一个量的变化的初步函数思想。 3.培养观察与对比、比较与分析、概括与归纳的能力。 教学 重点 难点 重点 理解和掌握等式的性质。 难点 体会化归思想 教学 方法 讨论 自主学习 教具与 学具 课件 学习单 教学活动设计 课件出示习题。 学生自主判断并说明理由。 师：同学们在刚才的练习中复习了等式的概念，知道等式的两边完全相等。这节课我们继续用天平来研究等式的其他内容。（板书课题：等式的性质） 二、探索新知 1.探索等式的性质1。 （1）课件出示教科书P64示意图1第一个天平图。 师：通过观察示意图，你知道了什么？ 【学情预设】1个茶壶的质量＝2个茶杯的质量。 ( 【 教学提示 】 逐步引导学生把天平的平衡状态用含有字母的等式来表示，培养学生的方程意识。 )师：如果用a表示1个茶壶的质量，b表示1个茶杯的质量，那这个等式又该怎么写？ 【学情预设】a＝2b。 师：如果在天平的两边各放1个茶杯,大家觉得天平会发生什么变化? 【学情预设】天平仍然平衡。 师:为什么呢? 【学情预设】因为两边加的质量一样多。 课件出示教科书P64示意图1第二个天平图。 师小结：实验证明：1个茶壶的质量+1个茶杯的质量＝3个茶杯的质量。 用字母表示：a+b＝2b+b。 师：这个等式成立的原因是什么？ 【学情预设】因为等式两边同时加了一个相同的数。 师：如果天平两边同时放1个茶壶或者2个茶杯，天平能平衡吗? 课件演示，引导学生根据天平的状态，写出用字母表示的等式：a+a＝2b+a，a+2b＝2b+2b。 师：观察刚才我们得到的这些等式，大家发现了什么规律？ 【学情预设】天平两边都放上同样重的物体，天平仍然保持平衡。 （2）课件出示教科书P64示意图2第一个天平图。 让学生观察天平状态。 师：用a表示一个花盆的质量，b表示一个花瓶的质量，这时的天平状态如何用等式表示？ 教学活动设计 【学情预设】a+b＝4b。 师：如果两边托盘上都拿走一个花瓶，天平还平衡吗？ 【学情预设】天平保持平衡。 师：那这时的等式又该怎样表示？ 师：我们一起来看看。（课件呈现教科书P64示意图2第二个天平图） 【学情预设】左右两边仍然一样重，天平还是平衡的。1个花盆与3个花瓶同样重。可以列出等式：a+b-b = 4b-b。 师：你有什么发现？ 【学情预设】天平两边都拿走同样重的物体，天平仍然保持平衡。 （3）总结归纳。 师：通过这几个实验，你发现了什么？ 【学情预设】预设1：平衡的天平两边同时加上相同的物品，天平仍然保持平衡；两边同时减去相同的物品，也还保持平衡。 预设2：平衡的天平的两边加上或者减去相同的质量，天平仍然平衡。 师：如果把天平的平衡状态看成一个等式，可以怎么表达呢？ 师生交流，总结并板书等式的性质1：等式的两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 （4）验证等式的性质1。 师：刚才发现了等式的基本性质，那我们来验证一下好吗？下面有三个等式，你们可以选择其中一个等式，在等式的两边加上或者减去一个相同的数，看看结果是否相等。 10＝10 20+30＝50 6×8＝24+24 2.探索等式的性质2。 （1）引导学生做出进一步的数学猜想。 师：等式的性质1告诉我们，等式的两边加上或减去相同的数，等式左右两边仍然相等。（重点强调：加减）是不是说只能加或者减呢？同学们，你们觉得还可以怎样变化也能使等式两边都相等呢？ 学生互相讨论交流，小组汇报。 【学情预设】预设1：等式两边乘一个相同的数，等式仍然相等。 预设2：等式两边除以一个相同的数，等式仍然相等。 教学活动设计 课件演示天平两边的变化过程。 （2）操作演示，验证猜想。 让学生观察天平状态。 师：用a表示一瓶墨水的质量，b表示一个铅笔盒的质量，这时的天平状态如何用等式表示？ 引导学生用等式表示：a＝b a×2＝b×2 a×3＝b×3 师：这些等式说明同学们的猜测是正确的，即等式的两边同时乘一个相同的数，左右两边仍然相等。 课件继续演示天平的变化过程：天平两边的物品都平均分成2份，各去掉一份，天平仍然平衡。 让学生观察天平状态。 师：用a表示一个排球的质量，b表示一个皮球的质量，这时的天平状态如何用等式表示？ 引导学生用等式表示其过程：2a＝6b 2a÷2＝6b÷2 师：大家能总结一下这一组等式的意思吗？ 【学情预设】等式两边同时除以一个相同的数，左右两边仍然相等。 （3）总结归纳。 师：同学们能把上面两句话合在一起说吗？ 【学情预设】等式的两边同时乘或者除以一个相同的数，左右两边仍然相等。 师：教科书上是怎么说的?请同学们阅读教科书P65的内容，你们发现了什么？ 【学情预设】书上说“除以同一个不为0的数”。 师：能用大家以前学的知识说明为什么要强调“除以一个不为0的数”吗？ 【学情预设】因为0不能作除数。 师生交流并板书：等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【设计意图】让学生通过课件的演示，感悟到天平保持平衡的变化规律。课件中一定要保留每次试验的初始状态和结果状态的图片，便于学生观察、比较前后什么变了、 什么没变。有了等式的性质1的基础，等式的性质2可以放手让学生自己总结，如果学生漏了除数不能为0，可以通过阅读教科书上的相关文字或追问“除数是任何数都可以吗？”予以提醒。 教学活动设计 三、巩固拓展 1.完成教科书P66“练习十四”第4题。 引导学生看左图。 师：要使天平保持平衡，右边应该添加什么？ 【学情预设】右边加一个圆柱。 师：这里运用了等式的哪个性质？ 【学情预设】运用了等式的性质1。 引导学生看右图。 师：要使天平保持平衡，右边应该添加什么？ 【学情预设】预设1：右边加两个同样的球。 预设2：右边加两个同样的长方体。 预设3：加一个球和一个长方体。 师：同学们真棒！想出了这么多方案，这些方案利用了等式的哪个性质呢？ 【学情预设】因为球和长方体的质量是一样的，所以右图中添加物品的几种方案都可以看成是同时乘3，运用了等式的性质2。 2.完成教科书P66“练习十四”第5题。 师：你是根据等式的哪个性质填写的？ （1）学生独立在教科书上填一填。 （2）展示交流。 3.课件出示课外习题。 学生口答，教师适时点拨。 四、课堂小结 师：同学们，今天的数学课你们有哪些收获呢？ 师生共同小结等式的性质。 作业设计 一、在里填上适当的运算符号，在( )里填上适当的数，使天平平衡。 二、如果x=y，根据等式的性质填空。 板书设计 课后反思 授课题目 解方程（1） 授课 时间 授课类型 新课 授课课时 第三课时 教学目标 1.初步理解“方程的解”与“解方程”的含义以及“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。 2.经历利用等式的性质1解简易方程的步骤和过程，掌握解方程的方法。 3.在解方程过程中通过由具体到一般的抽象概括过程，培养代数思想和符号意识。 教学 重点 难点 重点 运用等式的性质1解方程。 难点 理解解形如a±x＝b的方程的原理，掌握正确的解方程格式以及检验方法。 教学 方法 教具与 学具 教学活动设计 一、情境导入 师：同学们，我们来玩一个游戏（课件出示一个不透明的盒子），大家猜一猜，里面可能有几个排球？ 【学情预设】学生们纷纷发言猜测盒中排球的个数。 师：大家能确定自己的答案一定是正确的吗？ 【学情预设】不能确定，不知道盒子里面排球的实际个数，它是一个不确定的数。 师：这种情况下，不确定的数字可以用什么来表示？ ( 【 教学提示 】 对学生的不同想法教师要给予鼓励，但是要适时引导学生选择最优答案。 )【学情预设】可以用x来表示。 师：这里面到底有几个排球呢？下面就让我们借助其他信息一起来探究吧！ 教师继续出示课件补充条件（出示教科书P67例1情境图）。 师：从图中大家知道了哪些信息？ 【学情预设】盒子里面的排球的个数和外面的3个排球，一共是9个排球。 师：你能用方程来表示吗？ 【学情预设】预设1：x+3＝9。 预设2：9-3＝x。 预设3：9-x＝3。 师：一般来说，方程都是把未知数x写在等式左边。从图中的信息可以看出，方程x＋3＝9是最符合图意的。今天我们就来研究这类方程的解法。[板书课题：解方程（1）] 【设计意图】学生根据情境或者生活经验去经历列方程的过程，使学生进一步体会方程和实际生活的联系。 二、探究新知 1.探究解法。 师：刚才同学们根据图中的信息列出方程，那x的值是多少呢？说一说你的想法。 【学情预设】我想6+3=9，所以x=6。 师：这样想也不错！上节课我们学习了等式的性质，方程也是等式，那同学们能根据等式的性质来求出x的值吗？ 课件出示教科书P67第一个天平示意图。 教学活动设计 师：我们用小方块代替排球，一个小方块表示一个排球，那么x+3＝9就可以用这样的天平来表示。 师：仔细观察天平，你发现了什么？怎样做可以知道x的值是多少？ 【学情预设】把左边3个小方块拿走，要使天平保持平衡，右边也要拿走3个小方块。这样左边就只剩下x，右边就剩下6个小方块，我们就知道了x=6。 师：这位同学的思路非常清晰！告诉大家，你这样做的目的是什么？应用了哪个性质？ 【学情预设】目的是把3消去，应用了等式的性质1。 师：说得好！但是这个想法是在天平上操作的，在方程中该怎样表示这个操作过程呢？ 同桌之间互相讨论，全班交流。 【学情预设】两边都拿走了3个小方块，表示方程的两边都减去3，x+3-3＝9-3。 师：为什么要减3呢？ 【学情预设】等式左边减3后就只剩下x了，这样就得出x的值了。 师小结：这里求出x=6是根据等式的性质1：等式两边减去同一个数，左右两边仍然相等。 2.深化理解。 师：同学们真棒！借助天平求出了未知数的值。我们再来一起看看这个过程。 课件演示第二、三个天平示意图，让学生感受消去3的过程。 3.认识方程的解和解方程。 师：刚才我们利用等式的性质1求出方程中的未知数x＝6，只有当x＝6时，方程左右两边才相等。 师总结并板书：使方程左右两边相等的未知数的值，我们把它叫作“方程的解”。 师：也就是说，x＝6就是方程x+3＝9的解。 师总结并板书：求方程的解的过程叫作解方程。 师：同学们能用自己的话说一说，什么是方程的解，什么是解方程？它们有什么区别吗？ 学生自己阅读课本后思考，想好后跟同桌互相说一说。 小组交流汇报，教师适当点评。 师小结：“方程的解”中的“解”是指能使方程两边相等的未知数的值，是一个 教学活动设计 数值，是一个名词。“解方程”中的“解”是求方程中未知数的值的过程，是一个动词。一个是结果，一个是过程。 4.规范书写格式。 师：我们一起来把刚才求解的过程完整、规范地写一遍。 用课件展示解方程的步骤： 师：x＝6是不是正确答案呢？我们怎么去检验呢？同学们可以看看教科书P67的方法。 【学情预设】可以把x＝6代入到方程的左边算一算，看看结果是不是等于方程的右边。 教师演示检验过程：方程左边 ＝x+3 ＝6+3 ＝9 ＝方程右边 所以，x=6是方程的解。 【设计意图】这个环节让学生通过看书自学和交流，明确“方程的解”和“解方程”这两个概念，并小结检验的思路：代入原方程，看左右两边是否相等。这样做的依据，就是“方程的解”的意义。 三、巩固练习 1.完成教科书P67“做一做”第1题。 学生尝试解答，教师指名板演，巡视指导。 师：做第（1）小题的同学能给大家说一说自己解方程的思路吗？ 【学情预设】把100和x交换位置，然后根据等式的性质1，方程两边都减100，这样就可以得到方程的解。 师：你的想法真棒！把100和x交换位置后，方程就变成了跟例题一样的类型。大家看出来了吗？ 师：我还想请做第（3）小题的同学给大家说一说自己解方程的思路，好吗？ 【学情预设】为了把63消去，可以在方程两边同时加63，这样就得到方程的解是x＝99。 师：做得好，但是别忘了求出方程的解后一定要检验哦！。 教学活动设计 师小结：这三个小题的共同点是解答依据相同，都是利用等式的性质1；解答思路相同，都是为了得到x的值(这是解方程的目标)。 【设计意图】小结这两点有利于凸显用等式的性质解方程的优点:不用再去区分未知的是加数还是被减数，也不用再去回忆它们各自的关系式。 2.完成教科书P67“做一做”第2题。 学生独立思考后，写出检验过程。注意提示学生：代入检验是判断方程的解的好方法。 课件展示学生成果,展示检验过程的规范写法。 【设计意图】当堂检测学生是否掌握本节课的知识要点，是提升课堂教学效果的一个重要过程，根据学生掌握的实际情况适时调整后面的教学策略和教学步骤，从而做到有针对性地进行教学。 3.课件出示习题。 学生独立思考后汇报交流。 师：解方程的依据是什么？ 【学情预设】依据是等式的性质1。 4.课件出示习题。 学生口答，并说明判断的理由。 四、课堂小结 师：同学们，这节课你们学到了什么知识？有哪些收获？ 师生共同总结： 1.解方程的依据是等式的性质。 2.使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.求方程的解的过程叫作解方程。 作业设计 一、解方程，填一填。 1. x+16=32 解：x+16-( )=32-( ) x=( ) 2. x-6.8=7.2 解：x-6.8+( )=7.2+( ) x=( ) 二、解下列方程并检验。 18+x=32 x-13.4=6.8 x+6.8=13.6 x-9=24 三、用方程表示下面的等量关系，并求出方程的解。 1.x减去3.6的差是7.4。 2.4.8加上x等于9。 四、小聪在解方程x-=28.4时，由于粗心，把“-”看成了“+”，得到的解是x=22.7。请你求出这个方程正确的解。 板书设计 课后反思 授课题目 解方程（2） 授课 时间 授课类型 新课 授课课时 第四课时 教学目标 1.经历灵活运用等式的性质解方程的步骤和过程，掌握解方程的方法。 2.进一步掌握解方程的书写格式和解方程的策略。 3.在解方程过程中积累数学活动经验，感受解方程的思维过程和数学转化思想，发展抽象思维能力。 教学 重点 难点 重点 灵活运用等式的性质解方程。 难点 利用等式的性质解不同难度的方程的策略和步骤。 教学 方法 讨论 自主学习 教具与 学具 课件 学习单 教学活动设计 一、复习导入 课件出示习题。 让学生口述解方程的过程，教师适时点评。 【设计意图】通过复习让学生回忆解方程的过程，为后面的学习打基础。 二、探索新知 1.解形如ax＝b的方程。 （1）课件出示教科书P68例2天平图。 师：同学们仔细观察这幅图，大家能列出方程吗? 【学情预设】学生观察后，根据图意写出方程：3x＝18。 师：今天我们继续研究怎样解方程。［板书课题:解方程（2）］ ( 【 教学提示 】 突出“转化”思想，将新问题转化为已经学会如何解决的旧问题。 )（2）尝试解答。 师：大家能用刚才复习题中解方程的经验来解这个方程吗？ 学生自主解答，教师巡视指导，规范解答过程。 教师根据学生汇报，板演解答过程。 3x＝18 解：3x÷3＝18÷3 x＝6 师：为什么方程两边要同时除以3？ 【学情预设】两边同时除以3可以消去3这个因数，这样左边就只剩下x了。 师：这是根据什么来解方程的？ 【学情预设】根据等式的性质2，等式两边除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 课件演示小方块消去的过程，帮助学生理解两边同时除以3。 师：谁来检验一下这个方程的解是否正确呢？ 学生独立书写检验过程，指名学生板演，集体订正，教师指导出示完整的检验过程。 【设计意图】教科书P68例2以3x＝18为例，讨论形如ax＝b的方程的解法：运用等式的性质2解方程。在教学中凭借天平演示的图示，展现解方程的完整思考过程。交流时让学生先说自己是怎样想的，用天平演示验证后，再说验算过程并请学生自己检验，最后教师展现完整的检验过程，让学生加深印象，规范格式。 教学活动设计 2.解形如a-x＝b的方程列式 （1）课件出示教科书P68例3。 学生自己尝试解答。 师：大家遇到了什么困难？ 【学情预设】预设1：不知道20-x＝9两边要怎么做。 预设2：两边“+20”或者“-20”都发现做不下去，解不了。 预设3：两边同时“+x”后不知道怎样继续解答。 （2）分析交流，探讨解法。 教师根据学生的困惑引导学生思考下面的问题： ①等式两边加上同一个数，加上的这个数是不是一定是一个已知数？ ②两边“+x”后方程左右两边有什么变化？后面又应该怎么做？ ③这个方程能不能转化为形如x+a=b的方程呢？ 学生再次尝试解方程。 师：谁愿意上台展示一下？（指名板演） 20-x＝9 解： 20-x+x＝9+x（等式的性质1） 20＝9+x 9+x＝20（等式左右两边交换位置） 9+x -9＝20-9（加法交换律，等式的性质1） x＝11 教师根据板演的情况适当指导并规范解答过程。 【设计意图】让学生感受当未知数在运算符号后面的时候，灵活运用等式的性质进行方程变式，深入体会解方程的策略，同时也渗透了数学转化的思想。 3.归纳方法。 师：同学们真了不起！这么复杂的方程我们也会解了，那在解方程的过程中要注意什么？ 学生独立思考，小组交流汇报。 【学情预设】预设1：我们要灵活运用等式的性质来解方程，两边同时消去一个数时，这个数也可以是未知数。 教学活动设计 预设2：当运算符号是“-”或“÷”时，要消去运算符号后面的那个数，使方程逐步简化。 预设3：解方程要先写“解：”，等号要对齐，还要检验是否正确。 师：同学们的思维很严密，总结得很完整！ 三、巩固提高 1.完成教科书P68“做一做”第1题。 学生独立试做，教师巡视指导，把学生有代表性的解答进行投影展示，积累解方程的经验。 【学情预设】学生不知道如何解答2.1÷x＝3时，教师进行引导，使学生明确通过两边同时乘x把除法的方程转化为乘法的方程，这样就方便了后面的解答。 2.完成教科书P68“做一做”第2题。 学生自主解答后集体订正。 3.课件出示习题。 学生口答，集体订正。 4.完成教科书P70“练习十五”第4题。 学生独立完成，集体订正。本题是用文字语言来表示等量关系，列方程的过程其实就是数学语言的翻译过程，解题时提示学生读题要仔细。 四、课堂小结 师：同学们，这节课你们学到了哪些知识？有哪些收获？ 师生共同总结：1.解方程要灵活运用等式的性质。 2.当运算符号是“-”或者“÷”时，要消去运算符号后面的那个数。 3.消去的数可以是已知数，也可以是未知数。 作业设计 一、解方程。(带*的要检验) 8x=154 40-x=31.5 *x÷3.8=2.5 *4.8÷x=2.4 二、、不计算，把下列每组方程中代表数值最小的字母圈出来。 三、在里填上适当的数，使每个方程的解都是x=10。 板书设计 课后反思 授课题目 解方程（3） 授课 时间 授课类型 新课 授课课时 第五课时 教学目标 1.巩固运用等式的性质解方程的步骤和方法，学会解形如ax±b＝c和a（x±b）＝c类型的方程。 2.进一步熟悉解方程的策略和书写格式，提升解方程的能力。 3.在解方程过程中通过由具体到一般的抽象概括过程，培养代数思想和符号意识。 教学 重点 难点 重点 综合运用等式的性质解方程。 难点 明确把方程中的哪个式子看作一个整体。 教学 方法 讨论法 自主学习 讲解 教具与 学具 课件 学习单 教学活动设计 一、复习导入 课件出示复习题。 学生自主练习，集体订正时让学生说说是怎么做的，强调解方程过程中书写格式的规范。 师：上节课学习的知识，同学们掌握得不错。这节课我们继续来学习解方程。［板书课题：解方程（3）］ 二、互动新授 1.课件出示教科书P69例4情境图。 ( 【 教学提示 】 提醒学生尽量不要用算术的思维，而主要是根据图中的数量关系去列方程。 )师：观察情境图，你们知道了哪些信息？ 【学情预设】预设1：3盒同样的铅笔，每盒有x支。 预设2：3盒同样的铅笔，加上外面的4支铅笔，一共是40支。 师：大家能根据图意列出方程吗？试着写一写。 【学情预设】预设1：3x＋4＝40。 预设2：40－4＝3x。 预设3：40－3x＝4。 预设4：x＋x＋x＋4＝40。 师：你们认为哪一个方程最符合图意？为什么？ 小组讨论交流，再进行汇报。 ( 【 教学提示 】 通过实际操作，让学生更加直观地感受把 3 x 看作一个整体。 )在学生的交流中教师适时点拨和评论，最后明确：第一个和第四个方程是最符合图意的，也最容易理解，但第一个方程写法更简洁。 【设计意图】让学生充分交流自己的想法和思考过程，并且在教师引导下对有争议的问题或者有多个答案的问题进行优化，最后形成共识：写方程要顺着题意写。与以前的算术方法思维不一样，从而让学生逐渐形成方程意识。 师：那你们会解答这个方程吗？ 小组讨论，尝试解答，教师巡视，把有代表性的解答展示出来，并让小组代表说一说是如何解答的。 【学情预设】3x+4＝40 解：3x+4-4＝40-4 师：老师有个疑问，你们为什么要先两边同时“-4”呢？ 【学情预设】预设1：先把单出来的4消去，方程会变得简单些。 教学活动设计 预设2：这里消去3或者消去x都不方便，它们是一个整体，所以先两边“-4”。 通过讨论引导学生明确：这道方程有两步计算，先算出3盒的总支数，再加上4支，一共是40支。这里可以把3盒的总支数看作一个整体，也就是说把3x看作一个整体，那么这时候的方程就可以看作是一步计算的方程，一个简易的加法方程，这样解起来就容易些。 教师可以用铅笔盒和铅笔的实物展示解答过程，使学生更容易理解。 【设计意图】用实物操作展示方程的解答过程，让学生能更加直观看到解方程的步骤和过程，从而加深印象。 课件展示完整的解方程过程和书写格式。 看完课件的展示后关闭屏幕，让学生看着黑板上的方程3x+4＝40，同桌之间互相说一说这个方程的解答过程。 让学生口头检验方程的解x＝12是否正确。 2.课件出示教科书P69例5。 师：谁来说说方程左边的计算顺序？ 【学情预设】先算（x-16），再用得到的差乘2，积是8。 师：同学们说得很对，现在请你们尝试解这个方程。 学生尝试独立解方程，教师巡视并适当指导，展示有代表性的解答并进行集体订正。 【学情预设】预设1：模仿教科书P69例4的方法： 2（x-16）＝8 解：2（x-16）÷2＝8÷2 x-16＝4 x-16+16＝4+16 x＝20 （让学生说说自己的思考过程，重点说说是把什么看成一个整体。） 预设2：利用运算律来解： 教学活动设计 2（x-16）＝8 解：2x-32＝8 2x-32+32＝8+32 2x＝40 2x÷2＝40÷2 x＝20 师追问：你这里运用的是哪个运算律？ 【学情预设】乘法分配律。 师：使用乘法分配律后，方程有了什么变化？ 【学情预设】方程就变成了一个我们学过的会解的方程。 师：同学们观察这两种解法，它们有什么相同？有什么不同？ 【学情预设】相同点：都把一个式子看作一个整体，都是利用了等式的性质，最后方程的解也是相同的。不同点：第一种方法是直接利用等式的性质，先两边同时消去一个数，第二种方法先用乘法分配律进行变式，再消去一个数。 师：怎么检验x＝20是不是方程的解呢? 学生先自主完成，教师再板书规范的检验流程和格式。 方程左边＝2（x-16） ＝2×（20-16） ＝2×4 ＝8 ＝方程右边 所以，x＝20是方程的解。 三、巩固练习 1.完成教科书P69“做一做”第1题。 （1）让学生先说说图意，然后列出方程再解答。 （2）集中展示交流。 2.完成教科书P69“做一做”第2题。 （1）学生独立解答，指名学生板演。 （2）针对板演进行评价，集体订正，强调解方程格式的规范。 师：解答（5x-12）×8=24的同学回答，把什么看作一个整体？ 教学活动设计 【学情预设】把（5x-12）看作一个整体，方程两边同时除以8。 师：解答（100-3x）÷2=8的同学，你能给大家说说解这个方程的思路吗？ 【学情预设】先把（100-3x）看作一个整体，方程两边同时乘2，得到100-3x=16，再把3x看作一个整体，方程两边同时加3x，得到100=16+3x，把方程左右两边交换位置得到16+3x=100，这样就把这个复杂的方程变成了我们今天例题中所学的方程，接下来解答就很容易了。 师：你的回答可真完整！同学们在解方程时一定要先仔细观察方程的特征，再来确定解法，这样才会事半功倍！ 【设计意图】这四个方程在两道例题的基础上略有变化，是稍复杂的方程，在评讲中要关注学生的思考过程，厘清学生的解答思路，以促进学生举一反三。在学生独立完成后，教师可提醒学生将答案代入进行检验，以促进检验习惯的养成。 3.完成教科书P70“练习十五”第6题。 学生独立完成，集体订正。 4.完成教科书P71“练习十五”第8题。 学生独立思考，完成后集体订正。 【学情预设】不必要求写设句、答句。第二个图学生可能列出不同的方程，如果有学生直接列成60+2x＝158也可以。 5.完成教科书P71“练习十五”第10题。 学生独立思考，完成练习。集体订正时，让学生说一说自己的思考过程。 四、课堂小结 师：同学们，这节课你们学会了什么知识？都有哪些收获？ 作业设计 1、 解方程，填一填。 二、解下列方程。(带*的要检验) 3x+10=121 2(x-0.4)=3.4 6x+4.5x=56.7 x÷5+2=4.1 *3x-4×0.6=5.4 *(x-4.5)÷2=2.4 板书设计 课后反思 授课题目 实际问题与方程（1） 授课 时间 授课类型 新课 授课课时 第六课时 教学目标 1.初步理解和掌握列方程解决简单的实际问题的步骤和方法。 2.借助直观图和生活经验经历通过数量之间的等量关系列方程的过程，初步建立方程意识和建模思想，促进抽象思维的发展和提升。 3.感受数学与实际的紧密联系，体会数学在生活中的应用价值和学习数学的乐趣。 教学 重点 难点 重点 根据题目中数量之间的等量关系列方程 难点 根据题意分析数量之间的相等关系。 教学 方法 自主学习 研究讨论 教具与 学具 课件 学习单 教学活动设计 一、创设情境,导入课题 师：同学们，你们有哪些喜欢的体育运动？ 请几位同学说说各自喜欢的体育运动。 师：那你们知道体育比赛中的破纪录是什么意思吗？ 【学情预设】引导学生了解体育比赛中的纪录是指在一定时期、一定范围内记载的最高成绩。如果在比赛中的新成绩超过这个记载的最高成绩，就是破纪录了。 师：说得对！今天我们就用方程来研究一个关于在比赛中破纪录的问题。［板书课题：实际问题与方程(1)］ 【设计意图】通过与学生的互动交流，激发学生的学习兴趣，同时也为后面的学习做好铺垫。 二、合作交流，探究新知 ( 【 教学提示 】 引导学生把文字信息概括为数学数量名称，比如： 4.21m 即小明的成绩 。 )课件出示教科书P72例6。 师：同学们先互相说一说，从图中你们知道了哪些信息？ 【学情预设】小明跳远比赛的成绩是4.21m，破了学校纪录，超过原纪录0.06m。 师：那么学校的原纪录是多少米呢？ 【学情预设】是4.15m。 师：你是怎么算出来的？ 【学情预设】4.21-0.06＝4.15（m）。 师：用文字怎么表述呢？ 【学情预设】用小明的跳远成绩减去超过纪录的部分就得到学校原跳远纪录。 师：说得真好！（竖起大拇指）这是用算术的方法解答的，还有其他的方法吗？ ( 【 教学提示 】 把等量关系式和方程紧密联系，让学生养成列方程先找等量关系的思维习惯，打破过去的算术思维定 式 。 )师可以适当引导：能不能用我们刚学过的方程去解答呢？ 学生小组内说一说，然后汇报。 【学情预设】原纪录是未知数，设为xm，列方程是x+0.06＝4.21。 师：大家是根据什么来列方程的呢？ 【学情预设】原纪录+超出部分＝小明的成绩。 师：大家同意吗？还有不一样的解答吗？ 【学情预设】还可以设原纪录为xm，列方程为4.21-x＝0.061 教学活动设计 师：这又是根据什么来列方程的呢？ 【学情预设】小明的成绩-原纪录＝超出部分。 师：也就是说，我们列方程的依据是题目中的等量关系，把未知的数量看成x，放入方程中去构建一个等式。 【设计意图】引导学生经历列方程的一般步骤，通过分析数量关系，找到列方程的依据。 师：现在请同学们在随堂作业本上列方程解答这道题。 指名学生板演。 【学情预设】学生第一次设未知数列方程，列方程过程中的格式、步骤不一定很规范，此时教师要加以引导。 预设1：解：设学校原跳远纪录是xm。 x+0.06＝4.21 x+0.06-0.06＝4.21-0.06 x＝4.15 预设2：解：设学校原跳远纪录是xm。 4.21-x＝0.06 4.21-x+x=0.06+x 0.06+x＝4.21 0.06+x-0.06=4.21-0.06 x＝4.15 在学生板演的基础上，师生进行交流评价，教师规范步骤和格式。 【设计意图】引导学生列方程解决实际问题，充分发挥学生的主体作用，让学生自主解答。通过评价交流，规范列方程解决问题的一般步骤和格式，从而让学生掌握列方程解决问题的一般方法。 师：解答后还要做什么？ 【学情预设】要检验方程的解是否正确。 师：很好！谁能说说检验过程？ 指名口述检验过程，教师及时纠正或者点评。 【设计意图】让学生经历用数量关系式列方程解决实际问题的过程和方法。在这个过程中体会用方程解决问题的思维过程和思维方法，从而促使学生走出算术的思维定式，建立方程意识。 师：回顾这道题，你们用了几种不同的方法解决？ 教学活动设计 【学情预设】两种方法，算术的方法和列方程解答。 师：这两种方法有什么不同？ 通过交流讨论，明确算术方法是根据问题推理解法，而列方程解答的方法是根据等量关系列出方程来解决问题。 师：用方程的思路解决问题的关键是什么？ 【学情预设】找出等量关系。 师：说得真好！那用方程的思路解决问题时应该怎么做呢？ 小组讨论、交流列方程解决问题的一般步骤。 课件展示列方程解决实际问题的一般步骤。 三、深化练习，巩固应用 1.完成教科书P72“做一做”。 （1）学生独立解答。 （2）展示交流，集中评价。 ①交流评价第（1）小题。 师：题中有哪些数学信息？它们能构成怎样的等量关系？ 【学情预设】去年的身高+长高的部分＝今年的身高，去年的身高是未知数。 8cm＝0.08m 解：设小明去年身高xm。 x+0.08＝1.53 x+0.08-0.08＝1.53-0.08 x＝1.45 ②交流评价第（2）小题。 师：根据信息可以找到哪些等量关系？谁是未知数？ 【学情预设】每分钟滴水量×30＝半小时滴水量，每分钟滴水量是未知数。 解：设这个水龙头每分钟滴出x kg水。 半小时是30分钟。 30x＝1.8 x＝0.06 教学活动设计 【设计意图】通过自主练习和反馈交流，进一步巩固列方程解决实际问题的步骤和方法。让学生熟练掌握分析问题、解决问题的基本步骤。 2.完成教科书P74“练习十六”第1题。 学生独立解答，教师集体订正。 师：16+8x=40，等号两边要同时消去什么？ 【学情预设】先根据等式的性质1，等号两边可以同时减去16；再根据等式的性质2，等号两边可以同时除以8。 3.完成教科书P74“练习十六”第2题。 学生独立完成，教师订正。 订正时注意学生是否用算术思维逆向推理算法，鼓励学生运用顺向思维先找等量关系。 4.完成教科书P74“练习十六”第3、4题。 学生独立完成，教师集体订正时提示学生要记得检验。 【设计意图】通过具体的问题和情境，激起学生原有的思维定式和方程思维的碰撞，使学生在此过程中明确两者之间的区别和联系。 四、课堂小结 师：同学们，这节课你们有哪些收获？用方程解决实际问题时应该注意什么？ 师生共同小结：1.找出未知数，用字母x表示； 2.分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，把x放入等量关系式中构建一个方程； 3.解方程并检验、作答。 作业设计 课内作业 一、一只猴子两个星期共吃了98根香蕉，平均每天吃几根？ 二、路路原来有多少枚邮票？ 板书设计 课后反思 授课题目 实际问题与方程（2） 授课 时间 授课类型 新课 授课课时 第七课时 教学目标 1.根据具体情境列出形如ax±b＝c的方程，初步学会列方程解决“几倍多（少）几”的实际问题。 2.在经历列方程解决实际问题的过程中发展抽象思维和方程意识，提高抽象思维能力和水平。 3.感受数学与实际生活的紧密联系，培养数学应用意识和良好的数学学习习惯。 教学 重点 难点 重点 分析稍复杂的两步实际问题的数量关系，找等量关系式列方程。 难点 找出等量关系式列方程。 教学 方法 预习 自主学习 引导启发 教具与 学具 课件 学习单 教学活动设计 一、复习导入 师：上节课我们学习了如何列方程解决一些简单的实际问题，让我们来看一看上节课的学习效果如何。同学们有信心吗？ 课件出示习题。 ( 【 教学提示 】 教师要根据学生的练习发现存在的问题，关注学生对等量关系的寻找和分析是否正确。 )师：谁能列方程解答？ 指名学生板演，集体订正。 【学情预设】解：设鸡有x只。 x+10=25 x+10-10=25-10 x=15 师：看来同学们对简单的用方程解决实际问题掌握得不错！今天我们继续研究用方程来解决实际问题。［板书课题：实际问题与方程（2）］ 【设计意图】重温上节课的内容，唤起学生对列方程解决实际问题的回忆体验，为本节课的学习做好准备。 二、探究新知 1.课件出示教科书P73例7。 师:从题中你们知道了哪些数学信息? 【学情预设】学生会说知道了足球白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块。 师：可以找到怎样的等量关系？ 【学情预设】预设1：黑色皮的块数×2-4＝白色皮的块数。 预设2：黑色皮的块数×2＝白色皮的块数+4。 预设3：黑色皮的块数×2-白色皮的块数＝4。 师生交流并板书。 2.列方程解答。 师：根据这些等量关系我们可以列出不同的方程，根据哪个等量关系列方程比较好？ 【学情预设】根据各自的经验和思维特点，不同的学生会有不同的观点。 师：不管哪种等量关系，我们都应该设哪个量为x呢？ 【学情预设】黑色皮的块数。 教学活动设计 师：根据你所选择的等量关系，列方程解决这个问题。 学生独立列出方程并解方程，教师巡视指导。 3.组织交流，拓展思维。 师：你们列出了怎样的方程呢？我们一起来分享一下。 组织学生交流展示，说说自己是如何解答的。 【学情预设】解：设黑色皮共有x块。 预设1：2x-4＝20 2x-4+4＝20+4 2x＝24 2x÷2＝24÷2 x＝12 预设2：2x＝20+4 2x＝24 2x÷2＝24÷2 x＝12 预设3：2x-20＝4 2x-20+20＝4+20 2x＝24 2x÷2＝24÷2 x＝12 交流完毕，组织学生学习教科书上的解答方法。 【设计意图】充分尊重学生的个性思维，只要学生的思路正确，都要给予肯 定。交流展示、分享资源，培养学生思维的灵活性。重点交流学生列方程的 依据，以及解方程的过程。突出列方程解决实际问题和解方程的重难点。 4.反思评价，检验结果。 师：同学们列出不同的方程解答，都得出了黑色皮的数量是12块。我们怎么才能知道这个答案是否正确呢？谁能说说检验过程？ 【学情预设】把求出的黑色皮12块放入题中看，它的2倍就是24块，白色皮2 块，比24块少4块，符合题目的意思。 师：很好！同学们，用列方程解答时，我们要养成做完后马上进行检验的习惯。 教学活动设计 5.对比分析，总结提升。 师：这道题如果用算术方法解答，应该怎样思考？和列方程比较，哪种思路更简单？ 【学情预设】预设1：用算术方法解答，要逆向思考。 预设2：用方程解答的思路要直接些，比较顺。 【设计意图】这道例题能让学生更好地感受列方程解决问题的优越性，通过对比突出用方程解决此类问题的特点，感受到利用顺向思维列方程解答更简便。 师：有些问题，列方程解决会比算术方法简便，你能说说列方程解决问题主要有哪些步骤吗？ 学生先讨论，教师课件出示列方程解决问题的一般步骤。 【设计意图】让学生经历完整的用方程解决“几倍多（少）几”的问题的过程，并且把解决问题的方法、步骤归纳整理出来，使学生在脑海里形成一个明确而清晰的概念，这样会大大减少学生对使用方程解决问题的心理抵触程度。 三、巩固练习 1.完成教科书P74“练习十六”第5、6题。 学生互相说一说等量关系，再独立思考列出方程并解答。教师巡视指导，最后集体订正时提示学生注意检验。 2.完成教科书P74~75“练习十六”第7~9题。 学生独立列出方程并解答，集体订正。 【设计意图】这3道题的等量关系与教科书P73例7相似，都是“未知数的几倍多几等于已知数”。让学生独立解答，集中评价。 3.完成教科书P75“练习十六”第10题。 此题的题材富有趣味性，题目中提供了华氏温度与摄氏温度的关系，可以让学生自己代入关系式进行解答，再引导学生用“几倍多几”的语言表达两种温度之间的关系。 【学情预设】这个关系可以说成华氏温度比摄氏温度的1.8倍还高32摄氏度。 【设计意图】这一组巩固练习的设计，除了向学生介绍一些有关实际生活的常识外， 更重要的是让学生通过不同的问题和情境，不断积累解决此类问题的经验，树立学生的信心，激发学生主动运用方程解决实际问题的意识。 教学活动设计 4.完成教科书P75“练习十六”第11题。 师：大家仔细观察，从图中你们了解到了哪些信息？要解决什么问题呢？ 让学生列算式检验第一行的水费是否正确。检验后让学生说一说为什么这样算 学生根据等量关系式列出方程并解答。 师：如果用算术方法来思考解答，会容易一些还是比较麻烦？（比较麻烦） 师：看来同学们都体会到这类问题用方程解决的方便了。同学们可以回家去记录自己家的水表读数，查询了解单价，算一算水费是多少。 【设计意图】本题是有关水表读数的问题，考虑到小学生一般缺少实际经验，题干图中通过方框中的文字说明，帮助学生更好地阅读水费收取表。在解题的过程中让学生体会数学与生活的紧密联系，感受用方程解决实际问题的意义和价值。 四、拓展提高 完成教科书P75“练习十六”第12*题。 学生先独立思考，小组讨论交流，再全班展示交流。 【学情预设】预设1：(36-4a)÷8是一个除法算式，当它的结果是0时，说明被除数是0，即36-4a＝0，将36-4a=0看成一个方程去解答，得到a的值。 预设2：当它的结果是1时，说明被除数与除数相等，即36-4a＝8，将36-4a=8看成一个方程去解答，得到a的值。 师：你们的思路可真清晰啊！同学们都明白了吗？ 学生自主完成，教师巡视指导。 五、课堂小结 师：同学们，这节课你们学到了哪些知识？ 作业设计 课外作业 一、根据题意把等量关系式补充完整。 1.果园里有苹果树32棵，比梨树的3倍少4棵，梨树有多少棵？ ________×3 - _________=________ 2.元元买了12支彩笔，付给收银员20元，找回了2元，每支彩笔多少钱？ 二、解方程。 3x+14=50 17+2x=45 4.5x-8.5=9.5 4x-7×0.9=1.7 三、（广东广州）一条春蚕吐的丝长约1.6km，比一条秋蚕吐丝长度的1.5倍短0.2km。这条秋蚕吐的丝长约多少千米？ 板书设计 实际问题与方程（2） 黑色皮的块数×2-4=白色皮的块数 黑色皮的块数×2=白色皮的块数+4 黑色皮的块数×2-白色皮的块数=4 课后反思 授课题目 实际问题与方程（3） 授课 时间 授课类型 新课 授课课时 第八课时 教学目标 1.理解有关两数之积的数量关系，掌握根据具体情境列出形如a（x±b）＝c的方程来解决实际问题。 2.经历利用迁移类推的方法去解决实际问题的过程，培养方程意识和解决问题的策略方法。 3.在解方程过程中培养思维能力,感受学习数学的乐趣，树立学习数学的信心。 教学 重点 难点 重点 分析数量关系，会列出含有括号的方程并解答。 难点 列方程解答类似两积之和或差的问题。 教学 方法 预习 自主学习 引导启发 教具与 学具 课件 学习单 教学活动设计 一、复习导入 课件出示习题。 师：大家能找出题目中的等量关系吗？ 【学情预设】排球的价格×2+12=篮球的价格,小熊毛绒玩具的价格×1.5-32=玩具飞机的价格。 师：根据等量关系式，该怎样列方程呢？ 学生完成后集体订正。 师：我们上节课学习了用方程解决“几倍多（少）几”的问题，今天我们继续来学习用方程解决实际问题。［板书课题：实际问题与方程（3）］ 二、探索新知 1.课件出示教科书P76例8。 师：从题中你们知道了哪些数学信息？要求的问题是什么? 【学情预设】学生会回答说各买了2kg的苹果和梨，共花费16.4元，梨每千克3.8元，要求苹果每千克多少钱。 ( 【 教学提示 】 让学生大胆尝试，把自己的想法和思路说出来。 )2.列方程，展示交流。 师：同学们自己试着找出其中的等量关系，列出方程。 学生先小组内交流，再全班汇报。 （1）分析对比,列出方程。 师：大家是依据怎样的等量关系式来列方程的呢？ 【学情预设】预设1：依据“苹果的总价+梨的总价=总价钱”，列出的方程 是2x+3.8×2＝16.4。 预设2：依据“两种水果的单价总和×2＝总价钱”，列出的方程是（3.8+x）×2＝16.4。 预设3：依据“总价钱-苹果的总价＝梨的总价”，列出的方程是16.4-2x＝3.8×2。 预设4：依据“总价钱-梨的总价＝苹果的总价”，列出的方程是16.4-3.8×2＝2x。 师生交流并板书四个方程。 师：这四个方程哪个方程最好？为什么？ 【学情预设】预设1：第一个和第二个方程都是顺向思考的，比较容易理解。 教学活动设计 预设2：第三个方程解答起来比较麻烦。 预设3：第四个方程的未知数在右边，而且是逆向思维，思维过程比较复杂。 通过对比分析，发现根据“预设1”和“预设2”的数量关系列出的方程比较容易理解。 【设计意图】学生前面已经有根据等量关系列方程的经验，可以让学生自己去尝试解答。教师通过让学生观察思考、对比分析，使学生明确方程解决问题的思路与算术方法不一样，逐步构建学生的方程意识。 （2）解方程。 师：同学们从第一个和第二个方程中任选一个来尝试解方程。 学生独立解方程，教师进行点评。 课件展示规范的解方程过程。 师：方程2还可以怎么解？ 课件出示方程2的另一种解法。 （3）沟通联系。 师：仔细观察，方程1和方程2之间有什么联系？ 【学情预设】通过观察分析，引导学生发现这两种方法其实就是生活中乘法分配律的应用。 3.检验结果。 学生口头检验方程的解是否正确,教师规范学生的数学表达。 【学情预设】预设1：苹果的总价+梨的总价＝总价钱，4.4×2+3.8×2＝16.4＝总价钱。 预设2：两种水果的单价总和×2＝总价钱，（3.8+4.4）×2＝16.4＝总价钱。 【设计意图】整个教学过程让学生经历解方程过程中不同的策略选择，使学生知道解方程要根据方程的特点和数字的特点灵活选择合理的解答方法，不能生搬硬套。 三、巩固练习 1.完成教科书P76“做一做”。 数量关系与教科书P76例8一致，学生独立完成，集体订正。 2.完成教科书P79“练习十七”第2题。 学生独立完成，集体订正。 3.完成教科书P79“练习十七”第3题。 师：图中的“两套”丛书具体是哪两套？ 教学活动设计 【学情预设】一套是“科学家”，一套是“发明家”？ 学生独立解答，教师巡视后集体订正并提示学生检验。 【设计意图】这一组练习，都是要求学生在认真阅读、理解问题情境的基础上，识别解决问题的信息并找出等量关系，再列出方程解答，让学生充分感受到数学在实际生活中的应用。 四、课堂小结 师：同学们，这节课你们有哪些收获？ 师生共同小结：1.列方程解决实际问题的关键是找等量关系，找等量关系时尽量用顺向思维。 2.解有括号的方程可以用运算律转化，也可以直接解。 3.解完方程后要检验结果。 作业设计 一、有88 m布,正好可以做20套儿童服装和20套成人服装。每套儿童服装用布1.8 m，每套成人服装用布x m。 等量关系式一:_________套儿童服装用布的长度＋_________套成人服装用布的长度=布的总长度。 列方程为: ___________________________ 等量关系式二:(_______套儿童服装用布的长度＋_______套成人服装用布的长度)×20=布的总长度。 列方程为: _____________________ 二、解下列方程。 8( x -8)=4.8 0.6x ＋0.6×2.5=16.8 4( x +0.6)=6.4 ( x -1.8)÷3=2.4 三、学校给电脑房买了6个鼠标和6个键盘，一共用去682.8元。每个鼠标45元，每个键盘多少钱？ 板书设计 课后反思 授课题目 实际问题与方程（4） 授课 时间 授课类型 新课 授课课时 第九课时 教学目标 1.初步学会解决含有两个未知数的实际问题，会设其中一个量为x，另一个量用含有x的式子表示。 2.经历解形如ax±x＝b方程的步骤和过程，掌握解此类方程的方法和策略。 3.在解方程过程中培养代数思想和符号意识，以及方程思维和方程意识，体会用方程解决问题的优势。 教学 重点 难点 重点 初步学会解决含有两个未知数的实际问题。 难点 当有两个未知量时，如何合理假设未知数。 教学 方法 预习 讲解 引导启发 教具与 学具 课件 学习单 教学活动设计 一、复习导入 课件出示习题。 学生独立完成，集体订正，教师巡视指导。 师：上节课我们学习了怎样用方程解决与第2题类似的实际问题，今天我们继续探索如何用方程解决新的实际问题。［板书课题：实际问题与方程(4)］ 【设计意图】唤起学生已有的知识体验，为接下来学习新知识做好铺垫。 二、探究新知 1.课件出示教科书P77例9。 师：从题中你们知道了哪些数学信息？要我们解决的问题是什么？ 【学情预设】学生会回答说知道地球的表面积为5.1亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。要求地球上的海洋面积和陆地面积各是多少亿平方千米。 师：这道题跟我们以前解决的问题有什么不同之处？ 【学情预设】这道题目中有两个未知量，以前的题都只有一个未知量。 2.交流探讨，分析问题。 （1）分析数量关系。 师：在这个题目中，存在怎样的数量关系？ 【学情预设】海洋面积+陆地面积＝地球表面积，2.4×陆地面积=海洋面积。 师：根据这个等量关系我们可以列出方程吗？ 【学情预设】学生会不知道怎样设未知数x。 师：这个方程中有几个未知数？ 【学情预设】有2个未知数。 师：那该怎么办呢？ （2）探究设未知数的方法。 师:现在小组内讨论，怎样解决设未知数的问题。 小组讨论后学生汇报。 【学情预设】预设1：设陆地面积为x，则海洋面积是2.4x。 预设2：设海洋面积为x，则陆地面积是x÷2.4。 预设3：设陆地面积为x，则海洋面积是5.1-x。 预设4：设海洋面积为x，则陆地面积是5.1-x。 师：哪一种设未知数的方法最容易理解？ 【学情预设】第一种，因为根据题中“海洋面积约为陆地面积的2.4倍”，如果设【学情预设】第一种，因为根据题中“海洋面积约为陆地面积的2.4倍”，如果设。 教学活动设计 【学情预设】第一种，因为根据题中“海洋面积约为陆地面积的2.4倍”，如果设（3）尝试解答，汇报展示。 师：现在我们知道陆地面积和海洋面积分别用x和2.4x来表示，那怎样列方程来解答此题呢？ 学生自主尝试解题，教师巡视指导。 师：你们是根据什么等量关系来列方程的呢？ 【学情预设】是根据“陆地面积+海洋面积＝地球表面积”来列方程的。 解：设陆地面积为x亿平方千米，那么海洋面积可以表示为2.4x亿平方千米。 x+2.4x＝5.1 (1+2.4)x=5.1 乘法分配律 3.4x＝5.1 3.4x÷3.4＝5.1÷3.4 x＝1.5 教师指名学生板书。 师：这里x＝1.5表示什么面积？（陆地面积） 师：那海洋面积如何计算？ 【学情预设】有两种方法可以求海洋面积：2.4×1.5＝3.6（亿平方千米）或者5.1-1.5＝3.6（亿平方千米）。 师：有同学列出其他的方程吗？ 【学情预设】预设1：解：设海洋面积为x亿平方千米，那么陆地面积为（x÷2.4）亿平方千米。 x+x÷2.4＝5.1 预设2：解：设陆地面积为x亿平方千米，那么海洋面积为（5.1-x）亿平方千米。 （5.1-x）÷x＝2.4 师：这几种解法中，大家会选择哪种？为什么？ 【学情预设】学生表示会选择第一种解法。 理由：①第一种解法简明易懂。②求解比较方便。 师小结：在有两个未知量的时候，我们可以把其中一个设为未知数x，另一个用含有x的式子来表示。在设未知数时，尽可能选择容易列方程和容易解的未知数为x。 教学活动设计 3.检验结果。 请学生书写检验过程，验证解答是否正确，教师规范其格式。 三、巩固练习 1.完成教科书P77“做一做”。 学生自主解答后集体订正。教师注意指导第（2）小题。 师：这道题根据“杏树比桃树多90棵”，可以列出怎样的等量关系式？ 【学情预设】杏树的棵数-桃树的棵数＝90棵，杏树的棵数-90棵=桃树的棵数，桃树的棵数+90棵=杏树的棵数。 【设计意图】“做一做”的两小题分别是已知两个未知数的倍数关系与和(差)，旨在启发学生举一反三。 2.完成教科书P79“练习十七”第5题。 启发学生独立思考：鸡的只数可以用什么表示?(x)那鸡腿的数量怎么表示？（2x）兔子的只数可以用什么表示？（35-x）兔子腿的数量又该怎么表示？［4（35-x）］教师巡视指导，完成后集体订正。 3.完成教科书P79“练习十七”第6题。 学生独立完成，完成后汇报，并集体检验结果，教师点评订正。 4.完成教科书P79“练习十七”第7题。 师：两个相邻的自然数都不知道到底是多少，如何设未知数呢？ 【学情预设】小组交流讨论，明确相邻的两个自然数相差1。因此可以设较小的自然数为x，则另一个较大的自然数是（x+1）。 师：你能列出方程并解答吗？ 学生独立列出方程并解答。 师：结果是否正确？怎样检验？ 【学情预设】48和49相邻，和是97，结果正确。 师：同学们还有别的解法吗？ 【学情预设】预设1：也可以设较大的自然数为x，另一个较小的自然数则是（x-1）。方程就是x+（x-1）＝97。 预设2：还可以用算术方法解答，较小的自然数为（97-1）÷2。 师：同学们真会思考！那你们会选择哪种方法呢？不论哪种方法结果都一样吗？ 教学活动设计 师：同学们真会思考！那你们会选择哪种方法呢？不论哪种方法结果都一样吗？ 【学情预设】学生尝试不同的解法，最后发现结果是一样的。 【设计意图】第5、6、7题都是配合例9的练习，共同点都是含两个未知数。区别在于第5题以鸡兔同笼为题材探索鸡兔同笼问题的代数解法。第6题是已知两数的差与倍数关系，求两数的值。第7题是已知两数的和与差，求两数的值。因此都是例9的变式。特别是第7题要让学生经历用不同的解法，体会解题思路的多样化，最终得到最优策略，进一步提高学生解决问题的能力和思维水平。 特别是第7题要让学生经历用不同的解法，体会解题思路的多样化，最终得到最优策略，进一步提高学生解决问题的能力和思维水平。 5.完成教科书P80“练习十七”第8题。 学生独立完成，集体订正。 四、拓展提高 完成教科书P80“练习十七”第12*题。 学生独立思考，小组讨论解法，全班汇报交流。 【学情预设】只要设两个方框内填的相同数为x，就把等式转化成了一个方程。通过解方程得到方程的解就是方框里应填的数。 师：回答得好！大家能想到把方框换个形式，思路非常棒！ 五、课堂小结 师：同学们，这节课你们有哪些收获？ 师生共同总结：1.含有倍数关系的两个未知量的问题，可以先分析题意找出题目中的“一倍量”，设一倍量为x，另一个量为nx。 2.根据等量关系列出方程。 3.在解方程过程中适当用乘法分配律逆运算进行化简。 作业设计 课后作业 一、王伯伯在果园里摘水果，所摘苹果的质量是杏的4倍。 1.苹果和杏一共摘了40kg，王伯伯摘的苹果和杏各有多少千克？ 2.苹果比杏多24kg，王伯伯摘的苹果和杏各有多少千克？ 二、动物园里鹤和乌龟的数量相同，鹤比乌龟少32只脚。动物园里鹤和乌龟各有多少只？ 三、在下面每个算式的里填入相同的数，使等式成立。 150+25×=200+15× 42×-×15-×8=57 板书设计 实际问题与方程（4） 解：设陆地面积为x亿平方千米，那么海洋面积可以表示为2.4x亿平方千米。 x+2.4x＝5.1 （1+2.4）x＝5.1 乘法分配律 3.4x＝5.1 3.4x÷3.4＝5.1÷3.4 x＝1.5 2.4x＝2.4×1.5＝3.6（亿平方千米）或5.1-1.5＝3.6（亿平方千米） 课后反思 授课题目 实际问题与方程（5） 授课 时间 授课类型 新课 授课课时 第十课时 教学目标 1.学会用画线段图等方法直观、清晰地分析数量关系，结合具体情境列方程解决相遇问题。 2.培养初步的逻辑推理能力和解决稍复杂的行程问题的能力，提高分析问题和解决问题的能力。 3.激发学习兴趣，培养抽象思维能力，体会数学的应用价值。 教学 重点 难点 重点 掌握列方程解决相遇问题的方法。 难点 找等量关系，掌握列方程的方法和窍门。 教学方法 三步教学法 教具与 学具 课件 学习单 尺子 彩笔 教学活动设计 一、复习导入 师：以前我们学习过的行程问题中有三个量，分别是速度、时间和路程，你们还记得它们之间的关系吗？ 【学情预设】速度×时间＝路程，路程÷速度＝时间，路程÷时间＝速度。 师：如果两个人同时从一段路的两端出发，相对而行，会怎样？（会相遇）今天我们就来研究如何用方程解决这一类问题。［板书课题：实际问题与方程（5）］ 【设计意图】复习以前学过的有关行程问题的数量关系，为后面的学习做好铺垫，也让学生更快地把原有知识迁移到新知识上来。 二、探索新知 1.课件出示教科书P78例10。 师：从图中可以知道哪些信息？要我们解决的问题是什么？ 【学情预设】小云每分钟骑200m，小林每分钟骑250m。两人在相距4.5km的路上相向而行。要我们求两人相遇所用时间。 师:什么是相遇所用时间呢？ 【学情预设】相遇所用时间是指两个人从出发到相遇所经过的一段时间。 师：这段时间内不是一个人运动，而是两个人同时运动走完这段路程。 班级活动：让两名学生上台演示相遇的过程。 师：明白了相遇所用时间，你们能把相遇的过程用线段图画一画吗？ 学生小组合作，完成线段图。指名学生上台板演画线段图。 【设计意图】通过实际的操作演示让学生对“相遇”有更加深刻的理解和感悟，同时活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性。 2.展示交流，分析数量关系。 （1）评价学生画的线段图，引出等量关系。 师：同学们能说说这幅线段图表示的意思吗？（课件出示线段图） 【学情预设】先用一条线段表示道路全程，小云和小林分别在道路两端，现在两人同时出发，相向而行，经过一段时间骑完全程在某地相遇。 师：观察线段图，大家知道了什么？ 【学情预设】他们骑的路程合起来就是两地的距离，也就是小云骑的路程+小林骑的路程＝总路程。 师：你们能从中找到等量关系吗？ 【学情预设】学生很容易得到等量关系：小云骑的路程+小林骑的路程＝总路程，在教师的启发、引导下，得到另一个等量关系：每分钟两人骑的路程和×时间＝总路程。 （2）分析第一个等量关系。 师：先看第一个等量关系，他们各自骑行的路程能求出吗？ 教学活动设计 师：你们能从中找到等量关系吗？ 【学情预设】学生很容易得到等量关系：小云骑的路程+小林骑的路程＝总路程，在教师的启发、引导下，得到另一个等量关系：每分钟两人骑的路程和×时间＝总路程。 （2）分析第一个等量关系。 师：先看第一个等量关系，他们各自骑行的路程能求出吗？ 【学情预设】不能，因为不知道他们骑行的时间是多少。 师：他们骑行的时间一样吗？ 【学情预设】一样的，因为他们是同时出发，到相遇时两人的骑行时间是一样的。 师：这个等量关系中，看起来是有两个未知量，但事实上是怎样呢？ 【学情预设】事实上是只要知道了相遇所用时间，两个未知量都可以求出来，我们可以把他们骑行时间设为x，因为他们骑行的时间是一样的，用一个x就可以了。 （3）分析第二个等量关系。 师：再看第二个等量关系，每分钟两人骑的路程和知道吗？相遇所用时间呢？全程呢？ 【学情预设】每分钟两人骑的路程和很容易求出来，总路程也知道，只有相遇所用时间不知道，可以设相遇所用时间为x来解题。 3.根据分析尝试列方程解决。 师：通过前面的数量分析，两个等量关系中的未知数是我们要求的问题，我们可以设相遇所用时间为x，请同学们独立列方程解答。 （1）学生独立解答。 （2）交流分享。 师：先说说你是根据哪个等量关系式列方程的，再说说列出的方程。 【学情预设】预设1：小云骑的路程+小林骑的路程＝总路程 解：设两人x分钟后相遇。 小云的速度×时间+小林的速度×时间＝总路程 0.2x+0.25x＝4.5 0.45x＝4.5 0.45x÷0.45＝4.5÷0.45 x＝10 教学活动设计 检验：小云骑的路程+小林骑的路程＝总路程 0.2×10+0.25×10＝4.5（km） 预设2：每分钟两人骑的路程和×时间=总路程 解：设两人x分钟后相遇。 （小云每分钟骑的路程+小林每分钟骑的路程）×时间＝总路程 （0.2+0.25）x＝4.5 0.45x＝4.5 0.45x÷0.45=4.5÷0.45 x＝10 检验：每分钟两人骑的路程和×时间=总路程 （0.2+0.25）×10＝4.5（km） 师生交流并板书。 师：哪位同学能结合线段图说一说怎么理解每分钟两人骑的路程和再乘时间就是总路程？ 【学情预设】每分钟两人骑的路程和是一段路程，两人从出发到相遇经过的时间内骑的全部路程就是总路程。 师追问：一共有几个这样的1分钟的路程和？（10个） 师：这样理解，就跟工程问题很相似，两个人每分钟共同完成了0.45km，一共要完成4.5km就需要10分钟。 【设计意图】通过线段图，对于等量关系“每分钟两人骑的路程和×时间=总路程”，不容易看出来每分钟两人骑的路程和。通过线段图可以帮助学生加深理解，同时沟通路程问题和工程问题间的联系，从而感悟等量关系。 4.回顾反思。 师：比较这两种解法，有什么相同的地方？ 引导学生进行比较，理解这两种方法都是乘法分配律在实际生活中的运用。 【设计意图】多样化的策略和方法需要教师引导学生通过一条内在的线牵引和归纳，这样才能使学生对所学的知识有一个系统的、完整的认识，以及思考更有条理，思路更清晰。 三、巩固练习 1.完成教科书P80“练习十七”第9题。 本题与教科书P78例10一致，学生独立完成，集体订正。 2.完成教科书P80“练习十七”第10题。 学生独立完成，集体订正。 师：第10题跟第9题相比有什么变化？有什么相同点？有什么不同点？ 同桌之间交流解题思路。 【学情预设】相同点：都是相遇问题。数量关系都是：甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=总路程。不同点：所求问题不一样。第9题是求相遇所用时间，第10题是求乙车行驶的速度。 师：同学们的分析很全面！这两道题所求问题不一样，用方程来解答区别大吗？ 教学活动设计 师：第10题跟第9题相比有什么变化？有什么相同点？有什么不同点？ 同桌之间交流解题思路。 【学情预设】相同点：都是相遇问题。数量关系都是：甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=总路程。不同点：所求问题不一样。第9题是求相遇所用时间，第10题是求乙车行驶的速度。 师：同学们的分析很全面！这两道题所求问题不一样，用方程来解答区别大吗？ 【学情预设】不大，仅仅是设的未知数不同而已。 师：请说说你的理由。 【学情预设】因为数量关系没变，只是未知数变了。 师：用方程解决问题，只要数量关系不变，那不论求什么我们都可以以不变应万变，这就是方程的优势。 【设计意图】通过对比和分析使学生进一步体会用方程思维解决问题的优势，使学生更加深入理解方程意义以及逐步养成数学建模思想。 3.完成教科书P80“练习十七”第11题。 （1）学生自己画线段图分析。 （2）展示交流。 师：我们来看看大家画的线段图，看谁画得既简单又明了。 师生交流评价，形成线段图。 （3）根据线段图列方程解答。 师：根据线段图，大家能找到怎样的等量关系？ 【学情预设】乙船18小时行的路程-甲船18小时行的路程＝57.6km,甲船18小时行的路程+57.6km＝乙船18小时行的路程，乙船18小时行的路程-57.6km=甲船18小时行的路程。 师：既然知道了等量关系，就请大家来列方程解答吧。 学生尝试列方程解答并检验，集体订正。 师小结：这一类的问题可以看成是行程问题的一种变式题，不是相向而行到相遇，而是同向而行有相差。 教学活动设计 【设计意图】这一组练习题之间递进变化关系比较明显，在教学中让学生充分利用上、下题之间的联系，提醒学生注意上、下题之间的比较，从而让学生在练习过程中获得提示、启发。 ( 【 教学提示 】 给学生足够的时间和空间思考。 )四、拓展提高 完成教科书P82“练习十七”第15*题。 （1）学生尝试列出方程。 （2）交流分析。 师：大家发现了什么? 【学情预设】这个方程两边都含有x。 师：这个方程怎么解呢？ 学生组内讨论试做，教师适时点拨。 【学情预设】方程两边都有x的时候，可以根据等式的性质1，两边同时减去x。 3x＝x+100 3x-x＝x+100-x 2x＝100 2x÷2=100÷2 x＝50 【设计意图】帮助学生拓展解方程的思路和方法，提高学生解方程的能力。 五、课堂小结 师：同学们，这节课你们有什么收获？ 师生共同小结：1.速度×时间＝路程。 2.相遇问题：甲行的路程+乙行的路程＝总路程，甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝总路程，（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=总路程。 作业设计 课外作业 一、两地相距620 km，甲 、乙两辆客车同时从两地相向开出，5小时后相遇。甲车每小时行驶60 km，乙车每小时行驶多少千米? 二、两地相距350km，甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行。甲车每小时行驶50km，出发2.5小时后两车还相距75km，乙车每小时行驶多少千米？ 三、动物王国举行运动会。乌龟和兔子赛跑，经过4分钟后，兔子超过乌龟280m。子每分钟跑80米，乌龟每分钟跑多少米? 板书设计 课后反思 学科网（北京）股份有限公司 $$