2024年中考数学一轮复习讲义 专题三 函数

2024年九年级数学中考复习专题三 函数 第一节 平面直角坐标系及函数 一、平面直角坐标系的相关概念 1.有序数对 有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作(a,b). 2.平面直角坐标系 (1)在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. (2)水平的数轴称为x轴或横轴，取① 为正方向；竖直的数轴称为 y 轴或纵轴，取② 为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点. 3.象限 (1)建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. (2)坐标轴上的点不属于任何象限. (3)坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 二、各部分点的坐标特点 1.各象限内点的坐标特点 2.坐标轴上点的坐标特点 (1)点 P(x,y)在 x 轴上:x 为任意实数,⑤ . (2)点 P(x,y)在y轴上:⑥ ,y为任意实数. (3)点 P(x,y)既在 x轴上,又在 y轴上:x,y同时为0，即点 P 坐标为⑦ . 3.和坐标轴平行的直线上点的坐标特点 (1)平行于x轴的直线上的各点的⑧ 相同. (2)平行于y轴的直线上的各点的⑨ 相同. 4.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标特点 (1)点 P(x,y)与点 P'关于x 轴对称,则点 P' 坐标为⑩ . (2)点 P(x,y)与点 P'关于y 轴对称,则点 P'坐标为⑪ . (3)点 P(x,y)与点 P'关于原点对称,则点 P'坐标为⑫ . 5.点到坐标轴及原点的距离 (1)点 P(x,y)到x轴的距离为⑬ ; (2)点 P(x,y)到y轴的距离为⑭ ; (3)点 P(x,y)到原点的距离为⑮ . 6.点平移的坐标特点 (1)左右平移，纵坐标不变，横坐标左减右加； (2)上下平移，横坐标不变，纵坐标⑯ . 7.中点坐标公式和两点距离公式 若A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 则线段 AB中点坐标为⑰ ；两点距离AB=⑱ . 三、函数的相关概念 1.变量与常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 2.函数 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有⑲ 确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y是x的函数. 3.函数的解析式 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法.这种式子叫做函数的解析式. 四、函数的表示方法 1.表示方法 ⑳ 、列表法和图象法. 2.注意事项 (1)函数的三种表示方法可以互相转化，在应用中要根据具体情况选择适当的方法. (2)有时为了全面地认识问题，需要同时使用几种方法，数形结合. (3)特别需要注意的是不论用哪种表示方法都应使自变量的取值符合实际意义. 第二节 一次函数 一、正比例函数 1.正比例函数 形如y= kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 2.正比例函数的性质 一般地，正比例函数 y= kx(k≠0)有下列性质： (1)当k>0时,图象经过① 象限,随着 x的增大y也增大； (2)当k<0时，图象经过第二、第四象限，随着x的增大y反而② . 二、一次函数 1.一次函数 形如y= kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.正比例函数是一种特殊的一次函数. 2.一次函数的图象和性质 k的符号 b的符号 图象 图象特征和性质 k>0 b>0 经过③____________ 象限;y随x的增大而④_______. ⑤ 经过第一、第三、第四象限；y随x的增大而增大. k<0 ⑥ 经过⑦____________ 象限;y随x的增大而减小. b<0 经 过 第 二、第三、第四象 限；y随x 的增大而⑧_______. 3.用待定系数法确定函数解析式的步骤 (1)根据已知条件设出含有待定系数的函数解析式； (2)将x，y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中，得到以待定系数为未知数的方程(组)； (3)解方程(组)得出未知系数的值； (4)将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得出所求函数的解析式. 4.一次函数 y= kx+b(k≠0)图象的平移 (1)向左平移m(m>0)个单位长度,则 y=k(x⑨ )+b; (2)向右平移m(m>0)个单位长度,则 y=k(x⑩ )+b; (3)向上平移m(m>0)个单位长度,则 y= kx+b⑪ ; (4)向下平移m(m>0)个单位长度,则 y= kx+b⑫ . (5)简记为“左加右减，上加下减”. 5.两条直线的平行与垂直 对于直线 与直线 (1)若l₁∥l₂,则k₁⑬ k₂,且b₁≠b₂; (2)若 则 ⑭ 三、一次函数与方程、不等式的关系 1.一次函数y= ax+b(a≠0)中,y=0时x的值是一元一次方程 ax+b=0的解. 2.一元一次不等式 kx+b>0或 kx+b<0(k≠0)可看成一次函数y= kx+b(k≠0)的函数值大于0或小于0的情形. 第三节 反比例函数 一、反比例函数的相关概念 1.反比例函数 形如 (k为常数,k① 0)的函数,叫做反比例函数.自变量x的取值范围是不等于 0 的一切实数. 2.比例系数 反比例函数解析式中，无论x，y怎样变化，k的值始终等于x 与y的乘积，因此习惯上称k为比例系数. 二、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数 的图象是② . k的符号 k>0 ④ 图象 ⑤ 性质 (1)双曲线的两支分别在第一、第三象限； (2)在每一个象限内，y随x 的增大而③________. (1)双曲线的两支分别在⑥_______象限； (2)在每一个象限内，y随x的增大而增大. 2.反比例函数的图象向两边延伸的部分越来越接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 三、反比例函数中比例系数k的几何意义 过反比例函数 图象上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线 PM,PN,则所得矩形 PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=| xy|=⑦ . 第四节 二次函数 一、二次函数的相关概念 1.二次函数 形如 (a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:① (a,b,c是常数,a≠0); (2)顶点式:② (a,h,k是常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标; (3)交点式:③ (a,x₁,x₂是常数,a≠0),其中x₁,x₂为函数图象与 x 轴交点的横坐标. 二、二次函数的图象和性质 1.抛物线 的对称轴是 x=④ ,顶点是⑤ . 2.二次函数 (a,b,c是常数，a≠0)中,a,b,c的含义: (1)当a>0时，抛物线开口向上，a越大，抛物线的开口⑥ ； 当u<0时，抛物线开口⑦ ，a⑧ ，抛物线的开口越小. (2)对称轴在 y轴左侧,则a,b⑨ ;对称轴在 y轴右侧,则a,b⑩ . (3)当c=0时,抛物线经过⑪ ; 当 )时，抛物线交 y轴于⑫ ； 当c<0)时，抛物线交 y轴于⑬ . 3.二次函数的图象和性质 二次函数 (a,b,c是常数，a≠0)的图象是⑭ . 图象 a>0 a⑰________0 性质 (1)抛物线开口向上； (2)当x<-b/2a时，y 随 x 的 增 大 而⑮________; 当x>-b₂时,y随x的增大而⑯_______. (1)抛物线开口向下； (2) 当x<-b/2a时，y 随 x 的 增 大 而⑱________; 当x>-b/2a时,y随x的增大而⑲______. 三、二次函数与一元二次方程的联系 1.一元二次方程 的解是其对应的二次函数 的图象与x 轴交点的⑳ . 2.一元二次方程 中的 4ac，在二次函数 中判断图象与x轴的交点情况： (1)当△>0时,图象与 x轴有㉑ 公共点； (2)当△=0时，图象与x轴有一个公共点； (3)当Δ㉒ 0时，图象与x轴没有公共点. 学科网（北京）股份有限公司 $$