二项式定理、离散型随机变量分布列（课件）—中职数学(基础模块下册语文版)

本节内容 第十章 概率与统计初步 10.1 排列与组合 10.2 二项式定理 10.3 离散型随机变量及其分布 10.4 二项分布 10.5 正态分布 10.2 二项式定理 1．二项式定理 我们学过 下面计算 显然，计算结果中的各项都是从括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次项，其所含字母的形式分别为 在上面的四个括号里： 每个都不取 b 的情况有1种，即 种，所以 a4 的系数是 恰有1个取 b 的情况有 种，所以 a3b 的系数是 恰有2个取 b 的情况有 种，所以 a2b2的系数是 恰有3个取 b 的情况有 种，所以 ab3的系数是 恰有4个取 b 的情况有 种，所以 b4 的系数是 因此 利用上述方法，得到二项式定理： 设a，b是任意实数，n是任意给定的正整数，则 （3-9） 公式（3-9）右边的多项式叫做二项展开式，共有 n + 1 项，其中每一项的系数 叫做该项的二项式系数，第 m + 1 项叫做二项式的通项，记作 。 由公式（3-9）可以看出，二项展开式的通项为 （3-10） 在二项式定理中，如果设 a = 1 ，b = x 则得到公式 2．“杨辉三角”与二项式系数的性质 由二项式定理可以得到 上述由二项式系数列成的表，称为杨辉三角。 观察杨辉三角，可以看出二项式系数具有下列性质： （1）每一行的两端都是1，其余每个数都是它“肩上”两个数的和； （2）每一行中与首末两端“等距离”的两个数相等； （3）如果二项式 的幂指数 n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大；如果 n 是奇数，那么二项展开式中间两项的二项式系数最大且相等。 例题解析 解 由于 所以 例1 写出 的展开式。 解 例2 求 的二项展开式第4项的二项式系数和系数。 因 的二项展开式的第4项为 所以展开式第4项的二项式系数为 ，系数为 。 解 其二项展开式的通项为 例3 求 的二项展开式中的常数项。 令 解得 所以二项展开式的第5项是常数项，为 10.3 离散型随机变量及其分布 2 离散型随机变量的数字特征 1 离散型随机变量 10.3.1 离散型随机变量 1．随机变量 案例1 假设在10件同类型产品中，有3件是次品，从中任取2件进行检验，求抽取产品中所含的次品数。 在10件产品中随机抽取2件，次品数也确定了。所以说，次品数是一个可以取0，1，2等数值的变量。 如果随机试验的结果可以用一个变量的取值来表示，且这个变量的取值随着试验结果的不同而变化，那么这个变量叫做随机变量。通常用小写希腊字母 ξ ，η 等表示，有时也可以用大写字母 X，Y，Z 表示。 随机变量具有下列特征： （1）取值是随机的，事先并不知道取到哪一个值； （2）所取的每一个值都对应于某一随机事件； （3）所取的每一个值都有确定的概率。 2．离散型随机变量及其分布 随机变量按照其取值状态的不同，一般常见的有两类： （1）一类是像产品抽样中所含的次品数或抛掷硬币的结果那样，随机变量的所有可能值都可以一一列出，这种随机变量叫做离散型随机变量。 （2）一类是随机变量的所有可能值不能一一列出，而是连续地充满某个区间，这种随机变量叫做连续型随机变量。 在上面的问题中，表示次品数的随机变量 的可能取值是0，1，2，取得这些值的概率分别为 将 ξ 可能取的值及相应的概率列成如表3-1所示表格。 表3-1 表3-1从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布情况。 表3-2 一般地，由离散型随机变量 ξ 的所有可能取值 与其对应的概率 所组成的表为表3-2。 表3-2叫做离散型随机变量 ξ 的概率分布（或分布列）。 由概率的性质可知，离散型随机变量的概率分布具有以下性质： （1） （2） 计算离散型随机变量的概率分布的主要步骤： （1）写出随机变量的所有可能取值； （2）计算出各个取值对应的随机事件的概率； （3）列出表格。注意验证 与 。 例题解析 例1 将一枚均匀的硬币投掷一次，求出现正面次数 ξ 的概率分布。 解 由于只能出现“正面”和“反面”两种结果，所以随机变量ξ 的可能取值只有0和1，且 所以随机变量 的概率分布为 例2 某小组有6名男生和4名女生，任选3个人去参观某展览，求所选3人中男生人数 ξ 的概率分布 解 随机变量 ξ 的可能取值为0，1，2，3，且 所以随机变量 ξ 的概率分布为 10.3.2 离散型随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值 案例1 某学校为了解交通堵塞对同学上学迟到的影响情况，每天记录由于交通问题迟到的同学人数。如表3-3所示为100天中每天由于交通原因迟到人数的情况。 表3-3 设每天由于交通原因迟到人数为随机变量 ，由表3-3可以看出，随机变量 的可能取值为0，1，2，3，且 所以随机变量 的概率分布为 由于迟到0天的有30人，迟到1天的有30人，迟到2天的有20人，迟到3天的有20人，所以平均每天迟到的人数为 （3-11） 一般地，设离散型随机变量 ξ 的所有可能取值为有限个值 ，这些值对应的概率为 ，则将 叫做离散型随机变量 ξ 的均值（或数学期望），记作 。 2．离散型随机变量的方差 对于案例1来说，样本的平均数是1.3，样本方差是 一般地，设离散型随机变量 ξ 的所有可能取值为有限个值 ，这些值对应的概率为 ，则将 （3-12） 叫做离散型随机变量 ξ 的方差，记作 。 容易证明： （3-13） 其中 的算术平方根 叫做离散型随机变量 ξ 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量。 例题解析 （1）随机变量 ξ 的概率分布； （2）随机变量 ξ 的均值； （3）随机变量ξ 的方差。 例3 某工厂生产一批商品，其中一等品占 ，每件一等品获利3元；二等品占 ，每件二等品获利1元；次品占 ，每件次品亏损2元。设 ξ 为任一件商品的获利金额（单位：元），求 解 （1）随机变量 ξ 的所有取值为-2 ，1，3，取这些值的概率分别为 ， ， ，所以随机变量 的概率分布为 （2）因 故随机变量 ξ 的均值为1.5，即每件商品平均获利1.5元。 （3）因 所以 例4 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，两人以射击环数为随机变量的概率分布分别为表3-4和表3-5。 表3-4 表3-5 甲、乙两名射手谁的射击水平比较稳定？ 解 由表3-4和表3-5可知， 因 ，无法判断谁的稳定性比较好，则此时需要计算二人射击环数的方差并进行比较。 因 所以 ，故甲的射击水平比乙稳定。 Thank You! $$