2.6 应用一元二次方程-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

第1课时　应用一元二次方程(一) 课时目标 1.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型. 　　2.在列方程解决实际问题的过程中,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般步骤,进一步提高分析问题、解决问题的能力. 学习重点 　　应用一元二次方程解决实际问题. 学习难点 　　根据问题中的等量关系列一元二次方程. 课时活动设计 　　复习引入 　　列方程解决实际问题的基本步骤有哪些? 　　(1)审:分清已知未知,明确数量关系; 　　(2)设:设未知数; 　　(3)列:列方程; 　　(4)解:解方程; 　　(5)验:根据实际验结果; 　　(6)答:写出答案. 　　设计意图:通过循序渐进的方法,复习列方程解决问题的基本步骤,为本节内容的学习作铺垫. 　　探究新知 　　提出问题:还记得本章开始时梯子下滑的问题吗? 　　1.如图,梯子顶端下滑1 m时,梯子底端滑动的距离大于1 m,那么梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动的距离和它相等呢? 　　2.如果梯子长度是13 m,梯子顶端与地面的垂直距离为12 m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗?如果相等,那么这个距离是多少? 　　分组讨论:(1)怎么设未知数?在这个问题中存在怎样的等量关系?如何利用勾股定理来列方程? 　　(2)涉及到解的取舍问题,应引导学生根据实际问题进行检验,决定解到底取哪一个值. 　　解:(1)设梯子顶端下滑x m时,梯子底端滑动的距离和它相等. 　　梯子底端原来离墙的距离=6(m). 　　根据题意,得(8-x)2+(6+x)2=102, 　　解得x1=2,x2=0(不合题意,舍去). 　　所以梯子顶端下滑2 m时,梯子底端滑动的距离和它相等. 　　(2)梯子顶端下滑距离可以与梯子底端滑动距离相等. 　　设梯子顶端下滑x m时,梯子底端滑动距离与它相等. 　　梯子底端原来离墙距离=5(m). 　　根据题意,得(12-x)2+(5+x)2=132, 　　解得x1=7,x2=0(不合题意,舍去) 　　所以梯子顶端下滑7 m时,梯子底端滑动的距离与它相等. 　　设计意图:本环节以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材,以前面所学的勾股定理中边长的关系为切入点,用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望,用学生已有的知识为支点,进一步让学生体会数形结合的思想. 　　典例精讲 　　如图,某海军基地位于点A处,在其正南方向200 n mile处有一重要目标B,在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. 　　已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1 n mile) 　　分析:解决实际应用问题的关键是审清题意;分析各量之间的关系,找准各条有关线段的长度关系;建立方程模型,之后求解. 　　问题: 　　1.要求DE的长,需要如何设未知数? 　　2.怎样建立含DE未知数的等量关系?从已知条件中能找到吗? 　　3.利用勾股定理建立等量关系,如何构造直角三角形? 　　4.选定Rt△DEF后,三条边长都是已知的吗?DE,DF,EF的长度分别是多少? 　　学生在问题串的引导下,逐层分析,在分组讨论后找出题目中的等量关系,即: 　　速度等量:V军舰=2×V补给船; 　　时间等量:t军舰=t补给船; 　　三边数量关系:EF2+FD2=DE2. 　　弄清图形中线段长表示的量:已知AB=BC=200 n mile,DE表示补给船的路程,AB+BE表示军舰的路程. 　　学生在此基础上选准未知数,用未知数表示出线段DE,EF的长,根据勾股定理列方程求解,并判断解的合理性. 　　解:如图,连接DF. 　　∵AD=CD,BF=CF,∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB,DF=AB. 　　∵AB⊥BC,AB=BC=200 n mile,∴DF⊥BC,DF=100 n mile,BF=100 n mile. 　　设相遇时补给船航行了x n mile, 　　那么DE=x n mile, 　　AB+BE=2x n mile, 　　EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)n mile. 　　在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2, 　　整理,得3x2-1 200x+100 000=0. 　　解得x1=200-≈118.4, 　　x2=200+(不合题意,舍去). 　　所以相遇时补给船航行了大约118.4 n mile. 　　设计意图:通过问题串的设立,将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解,使学生在不知不觉中克服困难. 　　巩固训练 　　1.《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何.”大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3.乙一直向东走,甲先向南走了10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多远? 　　解:如图,设经x秒二人在B处相遇,这时乙共行AB=3x, 　　甲共行AC+BC=7x, 　　∵AC=10, 　　∴BC=7x-10. 　　又∵∠A=90°, 　　∴BC2=AC2+AB2. 　　∴(7x-10)2=102+(3x)2. 　　∴x=0(舍去),或x=3.5. 　　∴AB=3x=10.5. 　　AC+BC=7x=24.5. 　　答:甲走了24.5步,乙走了10.5步. 　　2.甲、乙两个小朋友的年龄相差4岁,两个人的年龄相乘积等于45,你知道这两个小朋友几岁吗? 　　解:设较小的小朋友为x岁,则另一个小朋友为(x+4)岁,由题意可得 　　x(x+4)=45, 　　化为一般式为x2+4x-45=0. 　　所以x1=5,x2=-9(舍去). 　　5+4=9(岁). 　　所以这两个小朋友分别为5岁、9岁. 　　3.一块长方形草地的长和宽分别为20 m和15 m,在它四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246 m2,求小路的宽度. 　　解:设小路的宽度为x m, 　　依题意得(15+2x)(20+2x)=246+20×15, 　　整理2x2+35x-123=0, 　　解得:x1=3,x2=-20.5(不合题意,舍去). 　　∴小路的宽度为3 m. 　　4.有一个两位数等于其数字之积的3倍,其十位数字比个位数字小2,求这个两位数. 　　解:设这个数的个位数字为x,则十位数字为(x-2), 　　由题意,得10(x-2)+x=3(x-2)x. 　　解得x1=4,x2=(不合题意舍去). 　　所以十位数字为4-2=2. 　　所以这个两位数为24. 　　设计意图:通过一元二次方程应用的练习,及时地了解到学生对本节课知识的掌握情况和灵活运用的程度,进而查漏补缺,强化记忆. 　　课堂小结 　　1.列方程解应用题的关键是什么? 　　2.列方程解应用题的步骤是什么? 　　3.列方程应注意哪些问题? 　　学生在学习小组中进行回顾与反思后,进行组间交流发言. 　　设计意图:通过回顾列方程的步骤和注意事项,进一步巩固本节课所学知识,将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第53页习题2.9第1,2,3,4题. 　　2.七彩作业 第1课时　应用一元二次方程(一) 解决实际问题的一般步骤.　　　　　例1 　　　　　　　　　　　　　　　 　例2 教学反思         第2课时　应用一元二次方程(二) 课时目标 1.通过分析问题中的数量关系,建立方程解决问题,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般步骤. 　　2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程,体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型,感受数学学习的意义. 　　3.能够利用一元二次方程解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力. 学习重点 　　应用一元二次方程解决与利润有关的问题. 学习难点 　　根据问题中的等量关系列一元二次方程. 课时活动设计 　　复习引入 　　请同学们回忆并回答与利润相关的知识. 　　1.商品打9折要乘以90%或0.9或,那么商品打x折呢? 　　2.与利润相关的等量关系式: 　　①利润=售价-进价; 　　②总利润=单个利润×销量; 　　③利润率=. 　　设计意图:通过回顾前面所学知识,使学生熟悉利润背景的实际问题中蕴含的数量关系,进而引出本节课的销售利润问题。 　　探究新知 　　新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2 500元.调查发现,当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元,每台冰箱的定价应为多少元?(做了改动,降低难度) 　　分析:本例中涉及的数量关系较多,学生在思考时可能会有一定的难度.所以,教学时采用列表的形式分析其中的数量关系.本题的主要等量关系是每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5 000元. 　　如果设每台冰箱降价x元,那么每台冰箱的定价应为　2900-x　元.  每天的销售量/台 每台的销售利润/元 总销售利润/元 降价前 8 400 3 200 降价后 8+4× 400-x 5 000 　　填完上表后,就可以列出一个方程,进而问题就解决了. 　　当然,解题思路不应拘泥于这一种,再利用上述方法解完此题后,可以鼓励学生自主探索,找寻其他解题的思路和方法.如求定价为多少?直接设每台冰箱的定价应为x元,应如何解决? 　　设计意图:通过分析冰箱销售问题,归纳出这类问题常用的等量关系:总利润=每销售一件产品的利润×销售的数量,找到解决这类问题的一般方法. 　　典例精讲 　　例　某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查发现,售价在40元至60元范围内,这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个.为了实现平均每月10 000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?这时应购进台灯多少个? 　　分析:本题关键是根据定价和销售量的关系,利用利润列方程求解,设售价定为x元,应少卖出10(x-40)个,其次要检验结果是否符合实际,选择合适的结果. 　　解:设台灯的售价定为x元,每个台灯的利润为(x-30)元,少卖10(x-40)个,等量关系:销售量×每个台灯的利润=总利润. 　　[600-10(x-40)](x-30)=10 000. 　　整理,得x2-130x+4 000=0. 　　解得x1=50,x2=80(舍去). 　　因为x=80不在售价40元至60元范围内,所以x=50. 　　600-10(x-40)=600-10×(50-40)=500(个). 　　所以台灯的售价定为50元,这时应购进台灯500个. 　　设计意图:本题为综合应用难度较大要注意:一定找出题中的等量关系,二是选择合适的根.引导学生理清思路,熟练指出问题中的数量关系. 　　巩固训练 　　1.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.那么参加这次会议的有多少人? 　　解:设参加会议有x人,依题意,得x(x-1)=66, 　　整理,得x2-x-132=0. 　　解得x1=12,x2=-11(舍去). 　　所以参加这次会议的有12人. 　　2.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经试销发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天要盈利1 200元,每件衬衫应降价多少元? 　　解:设每件衬衫降价x元,则每件盈利(40-x)元,平均每天可售出(20+2x)件, 　　依题意,得(40-x)(20+2x)=1 200. 　　整理,得x2-30x+200=0. 　　解得x1=10,x2=20. 　　又∵商场要尽快减少库存, 　　∴x=20. 　　所以每件衬衫应降价20元. 　　设计意图:选用大量的实际问题,通过列方程解决问题,并且在问题解决的过程中,提升学生分析问题、解决问题的能力. 　　课堂小结 　　通过两节课的学习,你能简要说明利用方程解决实际问题的关键和步骤吗? 　　关键:寻找等量关系. 　　步骤:(1)是整体地、系统地审清问题;(2)是把握问题中的“相等关系”;(3)是正确求解方程并检验解的合理性. 　　设计意图:学生通过回顾本节课的学习过程,体会利用一元二次方程解决实际问题的方法和技巧,加强利用方程解决实际问题的意识,进一步提高自己解决问题的能力. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第55页习题2.10第1,2,3,4题. 　　2.七彩作业. 第2课时　应用一元二次方程(二) 常用的等量关系: 总利润=每销售一件产品的利润×销售的数量. 教学反思         学科网（北京）股份有限公司 $$