1.3 正方形的性质与判定-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

第1课时　正方形的性质 课时目标 1.理解正方形的概念,了解它与菱形、矩形、平行四边形之间的关系. 　　2.探索并证明正方形的性质定理,进一步发展推理能力. 　　3.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展合情推理能力. 学习重点 　　探索正方形的性质定理. 学习难点 　　正方形的性质的应用. 课时活动设计 　　情境引入 　　图中的四边形都是特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形,你能发现它们有什么样的共同特征? 　　学生自主探究,小组内讨论,教师引导,得出结论. 　　总结:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 　　设计意图:培养学生从数据中发现、推导结论的能力. 　　合作探究 　　1.正方形是矩形吗?是菱形吗? 　　2.你认为正方形具有哪些性质?与同伴交流. 　　3.正方形有几条对称轴? 　　学生对于问题1,3比较容易得到结论.对于问题2,比较容易得到“四个角都是直角”“四条边都相等”的结论,但是对于“正方形的对角线相等且互相垂直平分”这个结论,学生不一定能发现,不一定能得到完整的结论,所以教师在此处还是要进行必要的引导.比如:“我们来关注一下对角线的数量和位置关系”或者“既然正方形也是菱形,那么它的对角线……(引导学生回答)”. 　　答:1.正方形既是矩形,又是菱形.2.它具有矩形与菱形的所有性质.3.4条. 　　总结 　　定理:正方形的四个角都是直角,四条边相等. 　　定理:正方形的对角线相等且互相垂直平分. 　　设计意图:(1)引出正方形的定义.(2)通过引导学生回顾关于矩形、菱形的性质,由“正方形既是矩形又是菱形”得出关于正方形的两个性质定理.(3)引用教材上的“想一想”,让学生解决“正方形有几条对称轴的问题”. 　　典例精讲 　　例　如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由. 　　解:BE=DF,且BE⊥DF.理由如下: 　　∵四边形ABCD是正方形, 　　∴BC=DC,∠BCE=90°(正方形的四条边都相等,四个角都是直角). 　　∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF. 　　又∵CE=CF,　　∴△BCE≌△DCF,∴BE=DF. 　　如图,延长BE交DF于点M. 　　∵△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF. 　　∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°. 　　∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF. 　　设计意图:使学生能够熟练运用正方形的性质解决问题. 　　议一议 　　平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系?你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗?与同伴交流. 　　设计意图:充分锻炼学生理论依据图形化的能力、文本信息图形化的能力和空间观念. 　　巩固训练 　　1.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,图中有多少个等腰三角形? 　　解:图中共有8个等腰三角形. 　　　　　　　　　　　 　第1题图　　　 　　第2题图 　　2.如图,在正方形ABCD中,F为对角线AC上一点,连接BF,DF.你能找出图中的全等三角形吗?选择其中一对进行证明. 　　解:图中的全等三角形共有3对,分别是△ADC与△ABC,△FCD与△FCB,△FAD与△FAB. 　　选择△FAD≌△FAB(答案不唯一),证明如下: 　　在正方形ABCD中,∵AD=AB,∠DAF=∠BAF, 　　又∵AF=AF,∴△FAD≌△FAB. 　　设计意图:对本节课知识进行巩固练习. 　　课堂小结 　　1.正方形的性质包括边、角、对角线以及对称性. 　　2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系. 　　3.你有哪些收获与感悟? 　　设计意图:通过此环节对学过的知识进行回顾,并且进行再加工.总结主要由学生自主完成,教师只是在学生将某些知识或思想方法遗忘时进行适当的引导即可. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第22页习题1.7第1,2,3题. 　　2.七彩作业. 第1课时　正方形的性质 1. 正方形 2.例题. 教学反思         第2课时　正方形的判定 课时目标 1.掌握正方形的判定定理,并能综合运用特殊平行四边形的性质和判定解决问题. 　　2.发现决定中点四边形形状的因素,能熟练地运用特殊平行四边形的判定及性质对中点四边形进行判断,并能对自己的猜想进行证明,进一步发展学生演绎推理的能力. 　　3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想. 学习重点 　　掌握正方形的判定定理. 学习难点 　　合理利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算. 课时活动设计 　　情境引入 　　问题:如图,将一张长方形纸对折两次,然后剪下一个角,打开.怎样剪才能剪出一个正方形?(学生动手折叠、思考、剪切) 　　教师展示下面的框架图,复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系. 　　设计意图:通过剪纸活动,引入正方形的判定问题,激发学生的学习兴趣与动手操作能力. 　　议一议 　　满足什么条件的矩形是正方形?满足什么条件的菱形是正方形?请证明你的结论,并与同伴交流. 　　学生小组内交流、讨论,教师引导得出正方形的判定定理. 　　定理: 　　1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 　　2.对角线互相垂直的矩形是正方形. 　　3.有一个角是直角的菱形是正方形. 　　4.对角线互相相等的菱形是正方形. 　　设计意图:引导学生归纳总结正方形的判定方法,提高学生归纳总结的能力,并复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,加深学生对知识的理解. 　　典例精讲 　　例　如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE. 　　求证:四边形BECF是正方形. 　　证明:∵BF∥CE,CF∥BE, 　　∴四边形BECF是平行四边形. 　　∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∠DCB=90°. 　　又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, 　　∴∠EBC=∠ABC=45°,∠ECB=∠DBC=45°. 　　∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC. 　　∴▱BECF是菱形(菱形的定义). 　　在△EBC中,∵∠EBC=45°,∠ECB=45°, 　　∴∠BEC=90°.∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 　　设计意图:通过上述例题,复习巩固平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定定理,让学生尝试综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题. 　　探究新知 　　1.(1)如图1,在△ABC中,EF为△ABC的中位线, 　　①若∠BEF=50°,则∠A=　50°　.②若EF=8 cm,则AC=　16 cm　.  　　(2)如图2,在AC的下方找一点D,分别作CD和AD的中点G,H,则EF和GH有怎样的关系?EH和FG呢?(EF∥HG,EH∥FG.) 图1　　图2 　　(3)四边形EFGH(如图2)的形状有什么特征?(四边形EFGH是平行四边形.) 　　教师在提问时选择平时学习数学有困难的学生,由于是前面已经学过的知识,并且问题比较简单,这样可以增强学生学习数学的自信心. 　　2.问题:如果四边形ABCD变为特殊的四边形,中点四边形EFGH会有怎样的变化呢? 　　3.学生以小组的形式,在众多的特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、梯形和直角梯形)中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形,并验证结论的正确性. 　　学生结合前面学过的各种特殊四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识,通过类比和转化归纳出以下几种情况. 图1　图2　图3　图4 图5　　图6　　图7 　　归纳: 　　平行四边形的中点四边形是平行四边形(如图1);矩形的中点四边形是菱形(如图2);菱形的中点四边形是矩形(如图3);正方形的中点四边形是正方形(如图4);等腰梯形的中点四边形是菱形(如图5);直角梯形的中点四边形是平行四边形(如图6);梯形的中点四边形是平行四边形(如图7). 　　4.问题:(1)矩形和等腰梯形是形状不同的四边形,为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形? 　　(2)平行四边形变化为菱形需要增加什么条件? 　　(3)你是从什么角度考虑的? 　　(4)你从哪儿得到的启发? 　　(5)你能用你的发现解释其他的图形变化吗?例如,原四边形为菱形,其中点四边形为矩形. 　　规律:确定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系. 　　(1)若对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形(如图1); 　　(2)若对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形(如图2); 　　(3)若对角线既相等,又垂直,则中点四边形EFGH为正方形(如图3); 　　(4)若对角线既不相等,也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形(如图4). 图1　　图2　　图3　　图4 　　设计意图:以问题串的形式引导学生逐步深入思考,体会由一般到特殊再到一般的归纳思想方法,进一步提高学生的数学表达能力. 　　学以致用 　　E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,利用几何画板拖动点A,对四边形EFGH的图形变化进行研究. 　　设计意图:用动画的形式让学生观察四边形在不断变化的过程中,中点四边形的变化情况,体会变化中存在不变的几何关系,培养学生的发散思维能力.在题目的设置上,采用逐步递进的策略,其中图1中四边形ABCD为凸四边形,图2中是AB,AD在同一条直线上,图3中四边形ABCD为凹四边形,图4中四边形ABCD为扭曲四边形. 　　课堂小结 　　1.本节课重点学习了什么知识,运用了哪些数学思想和方法? 　　2.通过本节课的学习你有哪些收获?在今后的学习过程中应该怎么做? 　　设计意图:培养学生的归纳能力,使学生形成完整的知识结构,总结研究数学问题的一般方法. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第25页习题1.8第1,2,3题. 　　2.七彩作业. 第2课时　正方形判定 1.正方形的判定定理 2.特殊四边形的中点四边形. 3.例题. 教学反思         学科网（北京）股份有限公司 $$