1.2 矩形的性质与判定-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

第1课时　矩形的性质 课时目标 1.理解矩形的定义,体会矩形与平行四边形之间的联系,并能通过推理得到矩形的性质. 　　2.理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,并能熟练运用矩形的性质. 　　3.经历探索矩形的有关性质的过程,在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力和主动探究习惯,逐步掌握说理的基本方法. 学习重点 　　矩形的定义及其性质的发现过程. 学习难点 　　矩形的性质在解决问题中的应用. 课时活动设计 　　情境导入 　　如图,利用一个活动的平行四边形的教具进行演示,使平行四边形的一个内角变化,让学生注意观察,在演示过程中让学生思考. 　　1.在运动过程中,四边形还是平行四边形吗?(是平行四边形) 　　2.在运动过程中,四边形不变的是什么?(两组对边仍保持相等且平行) 　　3.在运动过程中,四边形改变的是什么?(角的大小) 　　4.在改变过程中,角的度数有特殊值吗?这时的平行四边形是什么图形?(有特殊值是90°,此时平行四边形是矩形) 　　总结 　　矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(如图). 　　设计意图:从学生已掌握的知识出发,通过教具演示,让学生经历矩形概念的探究过程,自然而然地形成矩形的概念. 　　探究一 　　1.矩形既然是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质呢? 　　类别 性质　　 边 角 对角线 矩形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 　　2.请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考. 　　(1)矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?(是,2条) 　　(2)矩形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么?(是,两条对角线的交点) 　　3.矩形是特殊的平行四边形,它还具有哪些特殊性质? 　　学生小组内交流、讨论,教师在学生回答的基础上,引导学生得出结论. 　　总结 　　矩形的性质定理1:矩形的四个角都是直角. 　　矩形的性质定理2:矩形的对角线相等. 　　4.怎样证明你的结论? 　　已知:如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O. 　　求证:(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; 　　(2)AC=DB. 　　证明:(1)∵四边形ABCD是矩形, 　　∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等),AB∥DC(矩形的对边平行). 　　∴∠ABC+∠BCD=180°. 　　又∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°.∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 　　(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC(矩形的对边相等). 　　在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB, 　　∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB. 　　设计意图:在观察、测量、猜测的基础上,学生较易得出结论.但结论是否真的正确,必须经过严谨的证明.该环节旨在培养学生规范书写推理过程. 　　巩固训练 　　1.归纳概括矩形的性质. 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线相等且互相平分 既是轴对称图形,又是中心对称图形 　　2.矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是(　C　) 　　A.对角相等　　B.对边相等　　C.对角线相等　　D.对角线互相平分 　　设计意图:在前面学习了菱形的基础上学生已经知道怎么研究图形的对称性,在知道方法的条件下,学生可以通过自己的操作、观察、猜想得到矩形的对称特征,这对学生来说是有意义的活动,也会很感兴趣. 　　探究二 　　问题探究: 如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小关系?由此你能得到怎样的结论? 　　学生小组交流、讨论,教师引导,共同得出结论. 　　总结 　　定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 　　教师板书定理内容,学生表述,教师引导并板书证明过程. 　　做一做:如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. 　　(1)若BD=3 cm,则AC=　6　cm;  　　(2)若∠C=30°,AB=5 cm,则AC=　10　cm,BD=　5　cm.  　　设计意图:先从矩形的对角线相关性质推出直角三角形的性质,达到“学数学,用数学”的目的,再通过“做一做”,让学生掌握“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质,达到学以致用的目的,培养了学生的应用意识. 　　典例精讲 　　例　如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5,求这个矩形对角线的长. 　　解:∵四边形ABCD是矩形, 　　∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角),AC=BD(矩形的对角线相等),OA=OC=AC,OB=OD=BD(矩形的对角线互相平分).∴OA=OD. 　　∵∠AOD=120°,∴∠ODA=∠OAD=×(180°-120°)=30°. 　　∴BD=2AB=2×2.5=5. 　　设计意图:这个例题主要是运用矩形的角和对角线的性质来解决问题.如何熟练、灵活地运用矩形的性质解决实际问题是关键. 　　课堂小结 　　本节课你学到了什么? 　　①矩形的定义.②矩形的性质.③直角三角形的性质.④矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形;矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形.因此,有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决. 　　设计意图:通过小结,让学生梳理学习内容,明确本节课的重点知识以及应该掌握的解题方法和技巧,使教师能够及时地了解学生对本节课的重点知识以及解题方法和技巧的掌握情况. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第13页习题1.4第1,2,3题. 　　2.七彩作业. 第1课时　矩形的性质 1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形. 2.矩形的性质:四个角都是直角;对角线相等. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 教学反思         第2课时　矩形的判定 课时目标 1.熟练运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形,体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法. 　　2.经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力. 　　3.通过学生独立完成证明的过程,让学生体会数学是严谨的科学,培养学生对待科学的严谨治学态度,从而养成良好的习惯. 学习重点 　　能够用综合法证明矩形的判定定理. 学习难点 　　灵活运用矩形的性质和判定定理及其相关结论解决问题. 课时活动设计 　　情境导入 　　课前准备小木板和橡皮筋,制作一个如图所示的平行四边形的活动框架.在一个平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上,拉动一对不相邻的顶点时,平行四边形的形状会发生什么变化? 　　设计意图:这个活动以比较有趣的形式激发学生对本节知识的学习兴趣.同时,使学生清楚地认识到平行四边形与特殊平行四边形之间的关系,为后面研究特殊的平行四边形提供有力的支持. 　　探索新知 　　问题: 　　(1)上述情境中,随着∠α的变化,两条对角线的长度将发生怎样的变化? 　　(2)上述情境中,当两条对角线相等时,平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想? 　　学生以小组为单位展开实践活动,根据实践的结果回答上面的问题.然后对比前面所学的平行四边形及菱形的判定定理的证明过程,小组合作完成矩形的判定定理的证明,并进行交流. 　　总结 　　定理1:对角线相等的平行四边形是矩形. 　　学生小组内交流、讨论,教师引导并板书定理1的证明过程. 　　已知:如图,在▱ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB. 　　求证:▱ABCD是矩形. 　　证明:∵四边形ABCD是平行四边形, 　　∴AB=DC,AB∥DC. 　　又∵BC=CB,AC=DB, 　　∴△ABC≌△DCB. 　　∴∠ABC=∠DCB. 　　∵AB∥DC,∴∠ABC+∠DCB=180°. 　　∴∠ABC=∠DCB=×180°=90°. 　　∴▱ABCD是矩形(矩形的定义). 　　想一想:我们知道,矩形的四个角都是直角.反过来,一个四边形至少有几个角是直角时,这个四边形就是矩形呢? 　　学生先猜想,再小组讨论,将讨论的结果进行证明. 　　总结 　　定理2:有三个角是直角的四边形是矩形. 　　已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 　　求证:四边形ABCD是矩形. 　　证明:∵∠A=∠B=∠C=90°, 　　∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. 　　∴AD∥BC,AB∥CD. 　　∴四边形ABCD是平行四边形. 　　∴四边形ABCD是矩形. 　　设计意图:对于矩形的性质,学生已经非常熟悉,也容易得到矩形的判定定理.通过教师引导及学生自主思考,培养学生独立解决问题的良好习惯;通过思路分析,提高学生推理论证的能力. 　　议一议 　　你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形?如果仅有一根较长的绳子,你怎样检查?请说明检查方法的合理性,并与同伴交流. 　　检查的方法:先用绳子测量门框的两组对边是否分别相等,若相等,则可判定其为平行四边形;再用绳子测量门框的对角线是否相等,若相等,则可肯定门框是矩形.理由是对角线相等的平行四边形是矩形. 　　设计意图:通过“议一议”,让学生深入理解矩形的判定,且能够灵活运用判定去解决生活中的问题,提高学生分析问题和解决问题的能力. 　　巩固训练 　　1.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,△ABO是等边三角形,AB=4,求▱ABCD的面积. 　　解:∵四边形ABCD是平行四边形, 　　∴OA=OC,OB=OD. 　　又∵△ABO是等边三角形, 　　∴OA=OB=AB=4. 　　∴OA=OB=OC=OD=4. 　　∴AC=BD=2OA=2×4=8. 　　∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). 　　∴∠ABC=90°(矩形的四个角都是直角). 　　在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2, 　　∴BC===4 　　∴S▱ABCD=AB·BC=4×4=16. 　　2.已知:如图,在▱ABCD中,M是AD边的中点,且MB=MC. 　　求证:四边形ABCD是矩形. 　　证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC. 　　∵M为AD的中点,∴AM=DM. 　　在△ABM和△DCM中,AM=DM,MB=MC,AB=DC. 　　∴△ABM≌△DCM.∴∠A=∠D. 　　∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°.∴∠A=90°.∴四边形ABCD是矩形. 　　设计意图:通过练习题进一步巩固矩形的判定定理,提高学生的逻辑推理能力. 　　课堂小结 　　学生互相交流矩形的判定定理;如何选择判定定理;矩形与平行四边形的关系;遇到矩形实际题目时如何分析思路,以及遇到困难时如何克服等. 　　设计意图:鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收获,让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第16页习题1.5第1,2,3题. 　　2.七彩作业. 第2课时　矩形的判定 1.矩形的判定定理: 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 2.例题. 教学反思         第3课时　矩形的性质与判定的综合应用 课时目标 1.掌握矩形的性质及判定,理解证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法. 　　2.综合运用矩形的性质定理和判定定理,进一步提升学生的应用能力与证明能力. 　　3.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到数学的实用性. 学习重点 　　矩形的性质及判定的运用. 学习难点 　　综合运用矩形的性质及判定定理. 课时教学活动 　　复习导入 　　1.已知:如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5 cm,则∠DAO=　30　°,AC=　5　 cm,S矩形ABCD= 　cm2.  第1题图　　第2题图 　　2.如图,四边形ABCD是平行四边形,添加一个条件　AC=BD(答案不唯一)　,可使它成为矩形.  　　设计意图:通过两道题目来复习矩形的性质和判定,为本节课知识的学习做好铺垫. 　　典例精讲 　　例1　如图,在矩形ABCD中,AD=6,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE.求AE的长. 　　解:∵四边形ABCD是矩形, 　　∴∠BAD=90°(矩形的四个角都是直角), 　　AC=BD(矩形的对角线相等). 　　∴AO=CO=AC,BO=DO=BD(矩形的对角线互相平分). 　　∴AO=BO=DO=BD. 　　∵ED=3BE,∴BE=OE. 　　又∵AE⊥BD,∴AB=AO. 　　∴AB=AO=BO,即△ABO是等边三角形. 　　∴∠ABO=60°.∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°. 　　∴AE=AD=×6=3. 　　例2　如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E. 　　求证:四边形ADCE是矩形. 　　证明:∵AD平分∠BAC,AN平分∠CAM, 　　∴∠CAD=∠BAC,∠CAN=∠CAM. 　　∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=(∠BAC+∠CAM)=×180°=90°. 　　在△ABC中,∵AB=AC,AD平分∠BAC, 　　∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°. 　　又∵CE⊥AN, 　　∴∠CEA=90°.∴四边形ADCE为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形). 　　设计意图:例题可以让学生对矩形的性质和判定有更深刻地认知,并通过教师引导和学生独立思考,逐步培养学生的推理论证能力,运用已有的知识解决问题和分析问题的能力. 　　巩固训练 　　1.在例2中,连接DE,交AC于点F(如图). 　　(1)试判断四边形ABDE的形状,并证明你的结论. 　　(2)线段DF与AB有怎样的关系?请证明你的结论. 　　分析:该题的综合性比较强,对于不同层次的学生,解题方法也会有区别,教师都应该鼓励学生大胆尝试,用自己的方法去解决. 　　解:(1)四边形ABDE是平行四边形. 证明:由例2,知四边形ABDE为矩形, ∴AE=CD,AC=DE. 又∵AB=AC,BD=CD,∴AB=DE,AE=BD. ∴四边形ABDE是平行四边形. (2)DF∥AB,且DF=AB. 证明:∵四边形ADCE为矩形,∴AF=CF. ∵BD=CD,∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB,且DF=AB. 　　2.已知:如图,四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和等边三角形CBD组成,M,N分别是BC和AD的中点. 　　求证:四边形BMDN是矩形. 　　证明:∵△ABD和△BCD是两个全等的等边三角形, 　　∴AD=BD=AB=BC,∠ADB=∠DBC=60°.∴ND∥BM. 　　∵M,N分别是BC和AD的中点, 　　∴ND=AD,BM=BC. 　　∴ND=BM.∴四边形BMDN是平行四边形. 　　∵△BCD是等边三角形,M是BC的中点,∴DM⊥BC. 　　∴∠DMB=90°.∴四边形BMDN是矩形. 　　注意事项:在证明过程中,对于重点步骤,应该要求学生写明理由,同时,还要关注学生的证明过程是否严谨清晰. 　　设计意图:通过练习题进一步巩固矩形的判定定理和性质定理的综合应用,提高学生的逻辑推理能力. 　　课堂小结 　　1.矩形有哪些性质和判定定理?. 　　2.如何选用矩形的性质,判定定理解决问题? 　　设计意图:鼓励学生对于本节课的学习感受和收获畅所欲言,让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力. 　　课堂8分钟. 　　1.教材第18~19页习题1.6第1,2,3,4题. 　　2.七彩作业. 第3课时　矩形的性质与判定的综合应用 　1.矩形的性质与判定. 2.例题. 教学反思         学科网（北京）股份有限公司 $$