精品解析：广西南宁市第二中学2024-2025学年高三上学期8月开学考试数学试题

南宁二中2024年8月高三开学考试 数学 （时间120分钟，共150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题有且仅有一个正确答案，每小题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：∀x∈R，x2＜x3，命题q：∃x∈R，x2－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是（　　） A. p，q B. ¬p，q C. p，¬q D. ¬p，¬q 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. 7 C. 8 D. 12 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，设函数，若，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若函数则（ ） A. 的最小正周期为10 B. 的图象关于点对称 C. 在上有最小值 D. 的图象关于直线对称 10. 椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（ ） A. 椭圆C的焦距为2 B. 的周长为8 C. 椭圆C的离心率为 D. 的面积为 11. 已知函数，则（ ） A. 存在实数使得 B. 当时，有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若曲线有两条过点的切线，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则正数的值为______． 13. 寒假里名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排、、、、五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，共有_______种不同的坐法，其中恰有一人坐对与自己车票相符座位的概率为___________．（用数字作答） 14. 已知点A是函数图象上的动点，点B是函数图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则的最小值为______． 四、解答题（本题共6小题，其中16题18分，16、17题各16分，18、19题各17分，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）证明：； （2）若，，求a的值． 16. 已知函数（k为常数）． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，，M为BP的中点，平面． （1）求证：； （2）若，，．求平面与平面所成角的正弦值． 18. 已知双曲线：过点，且右焦点为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，交轴于点，若，，求证：为定值. （3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积. 19. 一只蚂蚁从正方形的顶点出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过步回到点的概率为. （1）求，； （2）设经过步到达点的概率为，求的值； （3）求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁二中2024年8月高三开学考试 数学 （时间120分钟，共150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题有且仅有一个正确答案，每小题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘法求的代数形式，再由模的公式求结论. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 2. 已知命题p：∀x∈R，x2＜x3，命题q：∃x∈R，x2－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是（　　） A. p，q B. ¬p，q C. p，¬q D. ¬p，¬q 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断命题与的真假性，逐个选项分析可得答案. 【详解】对于命题：采用特殊值法，取，可知为假命题，为真命题； 对于命题：当时，成立，故为真命题，为假命题； 故选：B. 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. 7 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意 ，利用二项式的展开式的通项公式，以及组合数的计算公式，即可求解． 【详解】由二项式的展开式， 可得展开式中的系数为. 故选：B. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合等差数列性质求，再结合等差数列求和公式和性质求. 【详解】因为数列为等差数列， 所以，又， 所以， 所以，又， 所以. 故选：D. 5. 已知角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据商数关系得到，再利用两角和与差的余弦公式计算即可. 【详解】，， ，， ， 故选：A. 6. 已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，圆锥的母线长为，依题意得到求得，继而求出圆锥的高，最后求即得. 【详解】设圆柱的底面半径为，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为， 依题意圆锥的底面半径为，设圆锥的母线长为， 因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以，解得， 则圆锥的高为， 圆柱的体积，圆锥的体积， 所以. 故选：B. 7. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，列出不超过20的自然数中的素数有8个，其中“孪生素数”有4对，利用缩小样本空间的方法易求出条件概率的值，再运用对立事件的概率公式即得. 【详解】因在不超过20的自然数中，素数有：共8个， 其中“孪生素数”有3和5，5和7，11和13，17和19共4种情况， 则，故. 故选：A. 8. 已知，，设函数，若，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由化简得，就底数进行分类讨论求解得到，最后利用常值代换法，由基本不等式即可求得. 【详解】由可得，，即，也即， 因，①当时，可得，即得； ②当时，可得，即得， 综上可得，，即，因 故由， 当且仅当时，取得最小值,等于4. 故选：B. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若函数则（ ） A. 的最小正周期为10 B. 的图象关于点对称 C. 在上有最小值 D. 的图象关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦型函数的周期公式可求A，通过代入求值的方法可判断BD选项，利用正弦函数的图象与性质可判断C. 【详解】，A正确. 因为，所以的图象不关于点对称，B错误. 因为，所以的图象关于直线对称，D正确. 若，则，由的图象可知， 在上有最大值，没有最小值，C错误. 故选：AD. 10. 椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（ ） A. 椭圆C的焦距为2 B. 的周长为8 C. 椭圆C的离心率为 D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知结合椭圆的定义及性质先求出，，，即可根据焦距，焦点三角形的周长以及离心率求解ABC，根据余弦定理以及三角形面积公式可得D. 【详解】由题意可知，，， 故为等边三角形，则，， 又， 所以，，， 所以焦距，A正确； 离心率，C错误； 由椭圆定义可知，的周长，B正确． 设，则，又， 由余弦定理可得， 所以，D正确， 故选：ABD． 11. 已知函数，则（ ） A. 存在实数使得 B. 当时，有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若曲线有两条过点的切线，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，求出的导函数，使其和相等，解方程看是否有实数根，即可求得； 对B，根据的导函数确定单调区间以及极值点，看与轴交点即可判断； 对C，根据中心对称公式即可判断； 对D，设过的切线的切点为，由条件可得有两个根，结合导数研究方程的根即可. 【详解】对A，根据已知的导函数，令 则，令， ，当时， 根据函数零点存在定理存在实数使得，故A正确； 对B，根据题意知，令得到， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 是的极大值，且的极大值大于极小值， ， ， 所以在定义域内有且只有一个零点，故B错误； 对C，令，该函数定义域为R， 且， 所以为奇函数，是的对称中心， 将向下移动两个单位得到的图像， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对D，过的切线的切点为，切线斜率为， 则切线方程为， 把点代入可得，化简可得， 令， 则，令可得或， 在和上大于零，所以在和上单调递增， 在上小于零，所以在单调递减， 要使有两个解，一个极值一定为， 若函数在极值点时的函数值为，可得， 所以 若函数在极值点时的函数值为，可得， 所以，故D不正确. 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则正数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出向量，利用平面向量垂直的坐标表示可求得正数的值. 【详解】因为向量，，则， 因为，则，可得， 因为，解得. 故答案为：. 13. 寒假里名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排、、、、五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，共有_______种不同的坐法，其中恰有一人坐对与自己车票相符座位的概率为___________．（用数字作答） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据排列数的定义可得出上车后五人在这五个座位上随意坐的坐法种数，然后假设坐对与自己车票相符的座位，列举出其他同学没有坐对与自己车票相符座位的基本事件，进而可计算出事件“恰有一人坐对与自己车票相符座位”的概率. 【详解】由题意可知，上车后五人在这五个座位上随意坐，坐法种数为种. 假设坐对自己的位置，其他四人没有坐对与自己车票相符座位所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共种， 因此，恰有一人坐对与自己车票相符座位的概率为. 故答案为：；. 【点睛】本题考查排列数的应用，同时也考查了古典概型概率的计算，考查计算能力，属于中等题. 14. 已知点A是函数图象上的动点，点B是函数图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式可将问题转化为到上一点的最小距离即可，根据点点距离公式，得，利用导数求解最小值即可. 【详解】由于是焦点在轴上的抛物线，故设其焦点为， 则,所以, 故求到上一点的最小距离即可， 设，则， 记，则 由于函数在单调递增，且， 故当时，因此在单调递减， 当时，因此在单调递增， 故， 因此，故， 故答案为： 四、解答题（本题共6小题，其中16题18分，16、17题各16分，18、19题各17分，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）证明：； （2）若，，求a的值． 【答案】（1） 由及正弦定理可得，， ， 即， 所以， 整理得， 即， 又，是的内角， 所以，， 所以或（舍去）， 即． （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得，可得，或，分类讨论即可证明； （2）由，求解，利用，求解，结合正弦定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由及可知，． 由可知，，． 由可得，． 在中，由正弦定理 可得，，解得， 16. 已知函数（k为常数）． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及函数值的定义，利用导数的法则及导数的几何意义，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）将函数在区间上存在极值转化为，使得，两侧的导数异号，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 当时，，， 所以， 所以， 所以在处的切线的斜率为， 所以在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为函数在区间上存在极值， 所以，使得，两侧的导数异号， 所以，即，， 令，， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以实数的取值范围为． 17. 如图，在四棱锥中，，M为BP的中点，平面． （1）求证：； （2）若，，．求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，， 又，所以，所以，，，四点共面， 因为平面，平面平面，平面， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证，，，四点共面，再由线面平行的性质定理可得，进而知四边形为平行四边形，从而有； （2）取的中点，连接，，先证四边形是平行四边形，再证，，然后由线面垂直的判定定理证明平面，即可建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，， 由（1）知，所以， 因为， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以， 因为，，所以， 所以，即， 又，且，、平面， 所以平面． 又， 故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 易知平面的一个法向量为,,， 所以, 故平面和平面的所成角的正弦值为． 18. 已知双曲线：过点，且右焦点为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，交轴于点，若，，求证：为定值. （3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积. 【答案】（1）； （2） 由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 依题意，直线的斜率存在，且，设直线的方程为：，，， 由消去x并整理得：，设， 则，而点，则， 因为，则有，即，同理， 所以，为定值. （3） 由（2）知，点，则，， 面积， 因为，令，而函数在上单调递减，即， 因此，所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线定义求出2a即可求解作答. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用向量共线并结合韦达定理求解作答. （3）由（2）求出点Q的坐标，再求出面积的关系式，借助函数单调性推理作答. 【小问1详解】 依题意，双曲线的左焦点为， 由双曲线定义知，的实轴长， 因此，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 19. 一只蚂蚁从正方形的顶点出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过步回到点的概率为. （1）求，； （2）设经过步到达点的概率为，求的值； （3）求. 【答案】（1），，（2）当为偶数时，，当为奇数时，，（3）当为奇数时，，当为偶数时， 【解析】 【分析】（1）即经过一步从点到达点的概率，即经过两步从点到在点的概率，即可求出，的值； （2）当为偶数时，由顶点出发只能到点或点，可得，当为奇数时，由顶点出发只能到点或点，可得； （3）当为偶数时，得到，进而得到，再构造等比数列即可求解 【详解】解：（1）因为即经过一步从点到达点的概率，所以， 因为即经过两步从点到在点的概率，包括先顺时针再逆时针和先逆时针再顺时针， 所以， （2）当为偶数时，由顶点出发只能到点或点，到达的概率为，到达点的概率为， 所以， 当为奇数时，由顶点出发只能到点或点，，所以， 综上，当为偶数时，，当为奇数时，， （3）当为奇数时，， 当为偶数时，从点或点出发经过两步到点有概率分别为 ，， 从点出发经过步到点分为两步， ①从点出发经过步到达点，再经过两步到点，概率为， ②从点出发经过步到达点，再经过两步到点，概率为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 综上，当为奇数时，，当为偶数时， 【点睛】关键点点睛：此题考查概率的求法，考查数列递推式的应用，解题的关键是当为偶数时，分两种情况求出概率，即从点或点出发经过两步到点有概率，从而可得到递推式，结合可得，构造等比数列可得通项公式，考查计算能力，属于难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $