1.3 勾股定理的应用-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（北师大版）河北专版

课时目标 1.能正确运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题,进一步发展应用意识. 2.能熟练运用勾股定理求最短距离. 3.通过问题情境的设立,帮助学生体会数学来源于生活,又应用于生活,积累利用勾股定理的知识解决生活中实际问题的经验和方法. 学习重点 利用勾股定理解决立体图形上的最短距离问题. 学习难点 把立体图形转化成平面图形,在实际问题中构造直角三角形并解决问题. 课时活动设计 回顾引入 1.勾股定理的内容是什么? 2.勾股定理逆定理的内容是什么? 3.我们学过哪些关于“最短”的知识? 设计意图:教师通过回顾已学的相关知识,引出本节课所学内容. 探究新知 问题情境:蚂蚁和食物分别在圆柱体上相对的顶点处,求蚂蚁怎样走最近. 问题1:如图,蚂蚁从圆柱下底面边缘的点A沿圆柱的侧面爬到上底面的边缘B处, (1)如何爬路径最短? (2)若已知圆柱的高为12 cm,底面周长为18 cm,求最短路径. 师生合作探究:(1)自己做一个圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢? (2)如图所示,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么?你画对了吗? (3)蚂蚁从点A出发,想吃到点B处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? 解:圆柱的侧面展开是一个长方形,点B位于长方形长的中点位置. 根据两点之间线段最短,线段AB就是从点A到点B的最短路线. 在Rt△ABC中,∠C是直角,BC=18÷2=9(cm),AC=12 cm, 根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2=122+92=225(cm2).所以AB=15 cm. 所以,蚂蚁爬行的最短路程是15 cm. 小结:立体图形中求两点间的最短距离,一般把立体图形展开成平面图形,连接两点,根据两点之间线段最短确定最短路线. 问题2:如图,点A和点B分别是棱长为10 cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,如何爬路径最短? 教师分析:正方体有几个面组成?正方体怎么展开?至少需要展开几个面? 解:如图所示,沿着线段AB爬行的距离最短. 问题3:如图,蚂蚁从长、宽、高分别为4 cm、2 cm和1 cm的长方体的顶点A沿表面爬到顶点B处, 如何爬路径最短?你能求出这个最短路径吗? 教师分析:长方体有几个面组成?长方体怎么展开?至少需要展开几个面? 解:因为平面展开图不唯一,故分情况分别计算,进行比较,再从各个路线中确定最短的路线. ①展开前面和上面,由勾股定理,得A=42+(1+2)2=25; ②展开前面和右面,由勾股定理,得A=12+(4+2)2=37; ③展开左面和上面,由勾股定理,得A=22+(1+4)2=29. 因为37>29>25,所以AB1最短,最短路径AB1为5 cm. 学生自主完成教材第13页做一做,教师进行点评. 设计意图:本环节在圆柱体的基础上依次增加难度,先是变为正方体,再变为长方体,引导学生由浅入深,由圆柱体侧面展开一个面上的最短距离.到正方体再到长方体展开两个面才能找到最短距离;引导学生理解长方体有六种展开方式的原因(源于长,宽,高的组合),通过勾股定理计算比较得出最短距离.本环节很好地渗透了分类讨论思想. 典例精讲 例　如图是一个滑梯示意图,若将滑道AC水平放置,则刚好与AB一样长,已知滑梯的高度CE=3 m, CD=1 m,试求滑道AC的长. 解:设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m, AE的长度为(x-1) m. 在Rt△ACE中,∠AEC= 90°,由勾股定理,得AE2+CE2=AC2, 即(x-1)2+32=x2,解得x=5. 故滑道AC的长度为5 m. 设计意图:通过例题讲解,及时巩固所学. 巩固训练 1.如图,一圆柱高8 cm,底面半径为 cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是　10 cm　.  2.如图所示,一只蚂蚁在长方体(长10 cm,宽5 cm,高20 cm)的底面上的点A处,蚂蚁想吃到与点A相对的点C'处的食物,需要爬行的最短路程是多少? 解:①展开前面和右面,得到长方形ACC'A',如图1.在长方形ACC'A'中, AC=15 cm, CC'=20 cm,则AC'2= AC2+CC'2=152+202=625; ②展开前面和上面,得到长方形ABC'D',如图2.在长方形ABC'D'中, AB=10 cm, BC'=25 cm,则AC'2=AB2+BC'2=102+252=725; ③展开左面和上面,得到长方形AB'C'D,如图3.在长方形AB'C'D中,AB'=30 cm,B'C'=5 cm,则AC'2=AB'2+B'C'2=302+52=925; 因为925>725>625 ,所以最短AC'=25 cm,所以蚂蚁需要爬行的最短路程是25 cm. 图1　　　图2　　　图3 设计意图:进一步巩固本节课所学内容,让学生经历运用知识解决问题的过程,给学生获得成功体验的空间. 课堂小结 1.本节课我们学到了哪些内容? 2.如何解决最短路径问题?我们应注意什么? 设计意图:以提问的形式让学生复述本节课所学知识,加强学生对知识的理解和掌握,培养分析问题,解决问题的能力. 课堂8分钟. 1.教材第14页随堂练习,习题1.4第1,2,3,4题. 2.七彩作业. 1.3　勾股定理的应用 　　　　1.勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2. 2.勾股定理的应用 (1)最短路径问题:把立体图形转化为平面图形,构造出直角三角形,利用勾股定理来解决最短路径问题. (2)利用勾股定理逆定理来判断实际问题中是否垂直. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$