福建省莆田市城厢区南门中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2022-2023学年南门九年级上第一次月考试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解方程x2﹣8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝7 B．（x﹣4）2＝﹣7 C．（x﹣4）2＝25 D．（x﹣4）2＝﹣25 3．如图，a∥b∥c，若AC＝5，AE＝15，DF＝12，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 4．二次函数y＝a（x﹣2）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（　　） A．B． C． D． 5．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x﹣1）2 B．y＝﹣2（x+3）2 C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6 D．y＝﹣2（x+3）2﹣6 6．根据以下表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7 A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2 7．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，据统计，该店2021年第四季度的“冰墩墩”总销售额为9.93万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．3（1+x）2＝9.93 B．3+3（1+x）2＝9.93 C．3+3x+3（1+x）2＝9.93 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝9.93 8．如图，是二次函数和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象，写出y1＞y2时x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1 C．x＞﹣2 D．x＜1 9．如图，△ABC中，∠B＝35°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A旋转逆时针旋转α度（0＜α＜180）后得到△ADE，点E恰好落在BC上，则α＝（　　） A．30° B．35° C．40° D．不能确定 10．已知A（﹣1，m），B（0，n），C（2，n+1），D（3，m）四个点中只有一个点不在二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象上．下列关于这个点的说法中，正确的是（　　） A．这个点一定是点A B．这个点一定是点B C．这个点一定是A，D中某一点 D．这个点一定是B，C中的某一点 二．填空题（共6小题） 11．若△ABC与△A′B′C′的相似比为，则△A′B′C′与△ABC的面积比为 　 　． 12．关于x的一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两个根分别为x1和x2，则＝　 　． 13．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，得到线段AB，则线段AB的中点E的坐标为　 　． 14．中国教育家孔子周游列国14年，其中10年居卫（卫国即现在的濮阳），龙湖论语广场有一尊孔子雕像，数学兴趣小组的同学为了测量雕像的高度AB（顶端A到水平地面BE的距离），在雕像旁边的水平地面上C处放了一面镜子（平面镜的厚度忽略不计），组长小丽沿直线BC后退到点E处，这时恰好在镜子里看到雕像的顶端A，此时测得BC＝7米，EC＝2米，小丽的眼睛距地面的高度DE＝1.6米，则雕像的高度AB＝　 　米． 15．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为2m，且到地面的距离为3m，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为　 　． 16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x＝，有下列结论；①abc＞0；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（，0）；⑤4am2+4bm﹣b≥0．其中正确结论有 　 　.（填写序号） 三．解答题（共9小题） 17．解下列方程： （1）x2﹣5x-14＝0； （2）x（2x﹣1）＝3（1﹣2x）． 18．已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+2k＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围． 19．如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若 　 　，（只添加一个条件）则△ABD∽△A′B′D′，并加以证明． 20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系，以原点O为中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1． （1）请在网格内画出△A1B1C1． （2）写出点A1的坐标 　 　，点B1的坐标 　 　，点C1的坐标 　 　． 21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）试判断四边形ABFE的形状，并说明理由． 22．为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？ 23．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上． （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）当PQ的值为多少时，这个矩形面积最大，最大面积是多少？ 24．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2＝AD•AC； （2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，若＝＝1，求和的值； （3）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B，C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F，若＝＝n，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）． 25．已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2． （1）求二次函数的表达式； （2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1； （3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值． 2022-2023学年南门九年级上第一次月考试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．【解答】解：方程x2﹣8x+9＝0， 移项得：x2﹣8x＝﹣9， 配方得：x2﹣8x+16＝7，即（x﹣4）2＝7． 故选：A． 3．【解答】解：∵a∥b∥c， ∴＝， ∵AC＝5，AE＝15， ∴CE＝10， ∵DF＝12， ∴＝ 解得，BD＝6， 故选：D． 4．【解答】解：A、一次函数y＝cx+a的图象与y轴交于负半轴，a＜0，与二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象开口向上，即a＞0相矛盾，故A错误； B、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、四象限，a＞0，c＜0，二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象开口向上，顶点为（2，c）在第四象限，a＞0，c＜0，故B正确； C、二次函数y＝a（x﹣2）2+c的对称轴x＝2，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、三象限，c＞0，与抛物线y＝a（x﹣2）2+c的顶点（2，c）在第四象限，c＜0相矛盾，故D错误； 故选：B． 5．【解答】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1+2）2﹣3+3，即y＝﹣2（x+3）2； 故选：B． 6．【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1． 故选：B． 7．【解答】解：根据题意，得3+3（1+x）+3（1+x）2＝9.93． 故选：D． 8．【解答】解：由图可知，y1＞y2时x的取值范围是x＜﹣2或x＞1． 故选：B． 9．【解答】解：∵∠B＝35°，∠BAC＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝75°， ∵将△ABC绕点A旋转逆时针旋转α度（0＜α＜180）后得到△ADE，点E恰好落在BC上， ∴AC＝AE，∠CAE＝α， ∴∠AEC＝∠C＝75°， ∴∠CAE＝α＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝30°， 故选：A． 10．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1． ∵yA＝yD，xA+xD＝2， ∴A，D两点要么同在抛物线上，要么都不在抛物线上； ∵A，B，C，D四个点中只有一个点不在抛物线上，且xB+xC＝2，但yB≠yC， 故B，C两点中必有一点不在抛物线上． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：5， △A′B′C′与△ABC的面积之比为25：4． 故答案为：25：4． 12．【解答】解：∵一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两根是x1，x2， ∴，， ∴． 故答案是：． 13．【解答】解：∵C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍， ∴A（6，6），B（8，2）， ∵E是AB中点， ∴E（7，4）， 故答案为：（7，4）． 14．【解答】解：由题意∠ACB＝∠DCE， ∵∠ABC＝∠DEC＝90°， ∴△ACB∽△DCE， ∴＝， ∴＝， ∴AB＝5.6， 故答案为：5.6． 15．【解答】解：如图，以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系， 由题意知，抛物线的顶点P的坐标为（2，3）、点A（0，2）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3， 将点A（0，2）代入，得：4a+3＝2， 解得：a＝﹣， 则抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3， 当y＝0时，有﹣（x﹣2）2+3＝0， 解得：x＝2﹣2（舍）或x＝2+2， ∴BC＝（2+2）米， 答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为（2+2）m． 故答案为：（2+2）m． 16．【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x＝，即对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， ∵抛物线与y轴交在负半轴上， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线x＝， ∴﹣＝， ∴﹣2b＝2a， ∴a+b＝0， 故②不正确； ③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0）， ∴4a+2b+c＝0， ∵c＜0， ∴4a+2b+3c＜0， 故③正确； ④由对称得：抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0）， ∵， ∴c＝﹣2a， ∴＝﹣1， ∴当a≠0，无论b，c取何值，抛物线一定经过（，0）， 故④正确； ⑤∵b＝﹣a， ∴4am2+4bm﹣b＝4am2﹣4am+a＝a（4m2﹣4m+1）＝a（2m﹣1）2， ∵a＞0， ∴a（2m﹣1）2≥0，即4am2+4bm﹣b≥0， 故⑤正确； 本题正确的有：①③④⑤，共4个．故答案为：①③④⑤． 三．解答题（共9小题） 17． 【解答】解：（1）x1＝7，x2＝-2； （2）x1＝，x2＝-3 18．【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2， ∵（k﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：x2+（k+2）x+2k＝0． （x+2）（x+k）＝0， 得x1＝﹣2，x2＝﹣k， ∵方程有一个根是正数， ∴﹣k＞0， ∴k＜0． 19．【解答】解：∠BAD＝∠B′A′D′ 理由如下：∵△ACD∽△A′C′D′， ∴∠ADC＝∠A'D'C'， ∴∠ADB＝∠A'D'B'， 又∵∠BAD＝∠B′A′D′， ∴△ABD∽△A'B'D'．（答案不唯一）． 20．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）写出点A1的标（6，﹣2），点B1的坐标（4，0），点C1的坐标（3，﹣7）． 故答案为：（6，﹣2），（4，0），（3，﹣7）． 21．【解答】（1）证明：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°， ∴∠BAC＝∠DAE＝40°， ∴∠BAD＝∠CAE＝100°， 又∵AB＝AC， ∴AB＝AC＝AD＝AE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：四边形ABFE是菱形． 理由如下： ∵∠BAD＝∠CAE＝100°，AB＝AC＝AD＝AE， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°． ∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝140°， ∴∠BFE＝360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC＝140°， ∴∠BAE＝∠BFE， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵AB＝AE， ∴四边形ABFE是菱形． 22．【解答】解：（1）由题意得， w与x之间的函数关系式是w＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000， ∵， 解得：40＜x＜100， ∴w与x之间的函数关系式是w＝﹣2x2+280x﹣8000（40＜x＜100）； （2）由（1）可知，w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800， ∴当x＝70时，w取得最大值1800， 答：当售价定为70元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元； （3）由（1）可得，w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800， 令﹣2（x﹣70）2+1800＝1000， 解得x1＝50，x2＝90， ∵﹣2（x﹣70）2+1800≥1000， ∴50≤x≤90， 答：至少获得1000元的销售利润，销售价应在50≤x≤90这个范围内． 23．【解答】解：（1）设边长为xmm， ∵矩形为正方形， ∴PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∵AD⊥BC， ∴AD⊥PQ， ∴＝， ∴＝， 解得PQ＝48； 答：若这个矩形是正方形，那么边长是48mm； （2）设PQ＝x ∵＝， ∴＝， ∴PN＝80﹣x， ∴S四边形PQMN＝x（80﹣x）＝﹣x2+80x＝﹣（x﹣60）2+2400， 当PQ＝60时，S四边形PQMN的最大值＝2400mm2． 24．【解答】（1）证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC＝90°， ∴∠ADB＝∠ABC＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∴， ∴AB2＝AD•AC． （2）解：方法一： 如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G， ∵BE⊥AD， ∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF． ∴＝1， ∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC， 又∵∠BDE＝∠CDG， ∴△BDE≌△CDG， ∴ED＝GD＝EG． 由（1）可得：AB2＝AD•AE，BD2＝DE•AD， ∴＝4， ∴AE＝4DE， ∴＝2． ∵CG∥BF， ∴＝2． 方法二： 如图③，过点D作DG∥BF，交AC于点G， ∴＝1， ∴BD＝DC＝BC，AB＝BC． ∵DG∥BF， ∴＝，FC＝2FG． 由（1）可得：AB2＝AC•AD，BD2＝DE•AD， ∴＝4， ∵DG∥BF， ∴＝4， ∴＝2． （3）解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： （I）当点D在线段BC上时，如图④所示： 过点D作DG∥BF，交AC边于点G． ∵＝n， ∴BD＝nDC，BC＝（n+1）DC，AB＝n（n+1）DC． ∵DG∥BF， ∴＝n， ∴FG＝nGC，FG＝FC． 由（1）可得：AB2＝AE•AD，BD2＝DE•AD， ∴＝（n+1）2； ∵DG∥BF， ∴＝（n+1）2， 即＝（n+1）2， 化简得：＝n2+n； （II）当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示： 过点D作DG∥BE，交AC边的延长线于点G． 同理可求得：＝n2﹣n； （III）当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G． 同理可求得：＝n﹣n2． 即满足条件的的所有可能的值为n2+n或n2﹣n或n﹣n2． 25．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B， ∴点A（0，10），点B（5，0）， ∵BC＝4， ∴点C（9，0）或点C（1，0）， ∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2． ∴当x≥5时，y随x的增大而增大， 当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去， 当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意， ∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10）， ∴10＝5a， ∴a＝2， ∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10； 方法二：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 由题意可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：y＝2x2﹣12x+10； （2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）， ∴直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣2x+10不重合， 假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P（xP，yP）， ∴ 解得：n＝10， ∵n＝10与已知n≠10矛盾， ∴l1与l2不相交， ∴l2∥l1； （3）如图， 、 ∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C， ∴0＝﹣2×1+q， ∴q＝2， ∴直线l3解析式为：y＝﹣2x+2， ∴l3∥l1， ∴CF∥AB， ∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE， ∴△CEF∽△BEA， ∴＝（）2， 设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t， ∴S△ABE＝×t×10＝5t， ∴S△CEF＝（）2×S△ABE＝（）2×5t＝， ∴S△ABE+S△CEF＝5t+＝10t+﹣40＝10（﹣）2+40﹣40， ∴当t＝2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40﹣40． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$