精品解析：山东省威海市乳山市2023-2024学年七年级下学期数学期末模拟试题

山东省威海市乳山市2023-2024学年七年级下学期 数学期末模拟试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 若，则下列式子不成立的是（　　　） A. B. C. D. 2. “a是实数，|a|≥0”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 3. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补 C. 全等三角形的对应边相等 D. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 4. 下列命题中，是假命题是（ ） A. 平面内点与点关于轴对称； B. 如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等； C. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行： D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 5. 质检人员从编号为的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知ab，直线与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交直线b于点C，连接，若，则的度数是（ ） A. 98° B. 102° C. 104° D. 108° 7. 如图，若∠B=∠C，下列结论正确的是(    ) A. △BOE≌△COD B. △ABD≌△ACE C AE=AD D. ∠AEC=∠ADB 8. 已知实数，满足，则下列选项错误的是(    ) A B. C. D. 9. 如图，四边形，，边的中垂线分别交，于点，，且若，，则的长为（ ） A 7 B. 12 C. 13 D. 17 10. 用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 11. 若不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论： ①如果，则； ②； ③如果，则； ④如果，则． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、填空题（本大题共5个小题） 13. 如果不等式的解集是，那么的取值范围是_____________ 14. 已知是二元一次方程的解，则的值为_________． 15. 如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动停在黑砖的概率为______． 16. 某商品每件进价元，每件标价元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润率不能低于，则这种商品最多可以打______ 折 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，点，,在直线l上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形顶点的横坐标为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. 解不等式组（要求：借助数轴求解集）： 19. 某单位计划组织员工外出旅游，已知甲、乙两家旅行社的报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的费用，其余游客八折优惠．对应甲、乙旅行社，该单位所需的旅游费用y元与人数x人的关系如图所示： （1）分别求出选择甲、乙旅行社时，y与x之间的函数表达式； （2）求B点的坐标，并写出B点表示的实际意义． 20. 2017年3月全国两会胜利召开，某学校就两会期间出现频率最高的热词：A．蓝天保卫战，B．不动产保护，C．经济增速，D．简政放权等进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了　　名同学； （2）条形统计图中，m=　　，n=　　； （3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？ 21. 如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于A，G，H，D，且，．求证： （1）； （2）． 22. 作图与探究: 如图，△ABC中，AB=AC. (1)作图:①画线段BC的垂直平分线l，设l与BC边交于点H; ②在射线HA上画点D,使AD=AB,连接BD. （不写作法，保留作图痕迹） (2)探究：∠D与∠C有怎样的数量关系？ 并证明你的结论. 23. 阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为： 数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）①可理解为___________________； ②请列举3个不同的整数a，使不等式成立．列举的a的值是______________； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______________； ②不等式的解集是__________________； 【拓展探究】 （3）求不等式的解集． 24. 如图，在中， ，，过点作，，连接并延长交于点． （1）求 （2）证明：； （3）求证：． 25. 如图，和是等边三角形，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF，连接BF与DE交于点G、连接CG． 求证： （1）； （2）CG平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省威海市乳山市2023-2024学年七年级下学期 数学期末模拟试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 若，则下列式子不成立的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质即可得． 【详解】解：A、，则此项成立，不符合题意； B、，则此项成立，不符合题意； C、由得：，所以，则此项成立，不符合题意； D、由得：，所以，则此项不成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 2. “a是实数，|a|≥0”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件、不确定事件、不可能事件、随机事件的定义判断即可. 【详解】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，由a是实数，得|a|≥0恒成立，因此，这一事件是必然事件．故选A． 【点睛】本题考查必然事件、不确定事件、不可能事件、随机事件的判定.熟练掌握定义是解题的关键. 3. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补 C. 全等三角形的对应边相等 D. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角的性质，平行线的性质，全等三角形的性质，角平分线的性质定理逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】A. 对顶角相等，是真命题， B. 同旁内角互补，是假命题， C. 全等三角形的对应边相等，是真命题 D. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，是真命题． 故选B． 【点睛】本题主要考查真假命题，掌握对顶角的性质，平行线的性质，全等三角形的性质，角平分线的性质定理，是解题的关键． 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 平面内点与点关于轴对称； B. 如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等； C. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行： D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【答案】A 【解析】 【分析】利用点对称、平行线性质、垂直的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、∵，∴平面内点与点关于轴对称，错误，是假命题，符合题意； B、如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等，故原命题正确，是真命题，不符合题意； C、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不符合题意， 故选：A． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解点对称、平行线的性质、垂直的定义等知识，难度不大． 5. 质检人员从编号为的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据五个编号中不小于的两个数是，再利用概率的计算公式即可解答． 【详解】解：∵五个编号中不小于的两个数是， ∴五个编号中不小于的概率为， 故选． 【点睛】本题考查了概率的定义，概率的计算公式，理解概率的定义是解题的关键． 6. 如图，已知ab，直线与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交直线b于点C，连接，若，则的度数是（ ） A. 98° B. 102° C. 104° D. 108° 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得直线是线段AB的垂直平分线，进而可得，利用平行线的性质及等腰三角形中等边对等角，可得，所以可求得∠ACB的度数 【详解】∵已知分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接， ∴直线垂直平分线段AB， ∴， ∵ab，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的作法及性质、平行线的性质等，根据题意得出直线垂直平分线段AB是解题关键． 7. 如图，若∠B=∠C，下列结论正确的是(    ) A. △BOE≌△COD B. △ABD≌△ACE C. AE=AD D. ∠AEC=∠ADB 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理可判断∠AEC=∠ADB，则可对D选项进行判断；直接对C选项进行判断，然后根据全等三角形的判定方法可对A、B进行判断． 【详解】解：∵∠B=∠C，∠CAE=∠BAD， ∴∠AEC=∠ADB，所以D选项符合题意； ∵不能确定BE=CD，AE=AD， ∴不能判断△BOE≌△COD、△ABD≌△ACE，所以A、B、C选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键． 8. 已知实数，满足，则下列选项错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：， ， A．， ，故本选项不符合题意； B．， ，故本选项不符合题意； C．， ， ，故本选项不符合题意； D．， ，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 9. 如图，四边形，，边的中垂线分别交，于点，，且若，，则的长为（ ） A. 7 B. 12 C. 13 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，，，推出是等腰直角三角形，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接，， 边的中垂线分别交，于点，， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 10. 用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒y个，由所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再由x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可． 【详解】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个， 根据题意得：， 整理得：m+n＝5（x+y）， ∵x、y都是正整数， ∴m+n是5的倍数， ∵2020、2021、2022、2023四个数中只有2020是5的倍数， ∴m+n的值可能是2020． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 11. 若不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式组整理后，根据不等式组无解确定出的范围即可．. 【详解】解：不等式组整理得： 由不等式组无解，得到： 故选：D 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 12. 将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论： ①如果，则； ②； ③如果，则； ④如果，则． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°， ∴∠1＝60°， ∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴，故①正确； ∵∠CAB＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确； ∵，∠B＝45°， ∴∠3＝∠B＝45°， ∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°， ∴∠2＝45°，故③错误； ∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°， ∴∠BAE＝30°， ∵∠E＝60°， ∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°， ∴∠4+∠B＝90°， ∵∠B＝45°， ∴∠4＝45°， ∵∠C＝45°， ∴∠4＝∠C，故④正确； 所以其中正确的结论有①②④共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 三、填空题（本大题共5个小题） 13. 如果不等式的解集是，那么的取值范围是_____________ 【答案】## 【解析】 【分析】由把未知数的系数化“1”时，不等号的方向改变可得，从而可得答案． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是利用不等式的性质解不等式，理解把未知数的系数化“1”时，不等号的方向问题是解本题的关键． 14. 已知是二元一次方程的解，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】把代入方程可得关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：k=1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 15. 如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动停在黑砖的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，把黑色方砖的面积除以总面积，即可作答． 【详解】解：∵总面积为15块方砖的面积，且每个其中方砖的面积是相等的，黑色方砖有5块， ∴小球停在黑色方砖的概率为， 故答案为： 16. 某商品每件进价元，每件标价元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润率不能低于，则这种商品最多可以打______ 折 【答案】 【解析】 【分析】设这种商品打折出售，利用利润售价进价，结合利润率不能低于，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设这种商品打折出售， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为，即这种商品最多可以打折． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，点，,在直线l上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形顶点的横坐标为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据图中的三角形为等腰三角形可知，同理可得：，，即可求出，，，的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题． 【详解】解：，， ， 为等腰直角三角形， ， 同理可得：，，， ，，，， ，，，， 的横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查点的坐标规律，点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，推断出的坐标． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. 解不等式组（要求：借助数轴求解集）： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再在数轴上表示出每个不等式的解集，找到其公共部分即可确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 将每个不等式的解集表示在数轴上如下： 不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键． 19. 某单位计划组织员工外出旅游，已知甲、乙两家旅行社的报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的费用，其余游客八折优惠．对应甲、乙旅行社，该单位所需的旅游费用y元与人数x人的关系如图所示： （1）分别求出选择甲、乙旅行社时，y与x之间的函数表达式； （2）求B点的坐标，并写出B点表示的实际意义． 【答案】（1）；； （2），点表示当旅游人数为人时，甲，乙旅行社的费用相等，都是元 【解析】 【分析】根据两旅行社的方案列关系式即可； 将两关系式联立可求解点坐标，即可求解点的实际意义． 【小问1详解】 解：甲旅行社的费用：， 乙旅行社的费用：； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得：， ， 即点表示当旅游人数为人时，甲，乙旅行社的费用相等，都是元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一次函数与二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二一元一次方程的关系求解点坐标是解题的关键 20. 2017年3月全国两会胜利召开，某学校就两会期间出现频率最高的热词：A．蓝天保卫战，B．不动产保护，C．经济增速，D．简政放权等进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了　　名同学； （2）条形统计图中，m=　　，n=　　； （3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？ 【答案】（1）300；（2）60，90；（3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据A的人数为105人，所占的百分比为35%，求出总人数，即可解答； （2）C所对应的人数为：总人数×30%，B所对应的人数为：总人数﹣A所对应的人数﹣C所对应的人数﹣D所对应的人数，即可解答； （3）根据概率公式，即可解答． 试题解析：（1）105÷35%=300（人）， 故答案为300； （2）n=300×30%=90（人）， m=300﹣105﹣90﹣45=60（人）． 故答案为60，90； （3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是= ， 答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是． 21. 如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于A，G，H，D，且，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，即可得证； （2），得到，进而得到，得到，即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． 22 作图与探究: 如图，△ABC中，AB=AC. (1)作图:①画线段BC的垂直平分线l，设l与BC边交于点H; ②在射线HA上画点D,使AD=AB,连接BD. （不写作法，保留作图痕迹） (2)探究：∠D与∠C有怎样的数量关系？ 并证明你的结论. 【答案】（1）①画垂直平分线见解析；②画点D见解析；（2）∠C+2∠D=90°. 证明见解析. 【解析】 【分析】（1）①根据以点B和点C为圆心，以大于BC的一半为半径画弧，过两弧的交点作直线l，则l即为所求；②以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线HA于点D，点D为所求； （2）由AB=AC=AD，则∠ABC=∠C，∠ABD=∠D，利用余角的性质，即可得到2∠D+∠C=90°. 【详解】解：（1）①如图所示，直线l为所求； ②如图所示，点D为所求； （2）由（1）可知，直线l为BC的垂直平分线， ∴AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠D， ∵∠AHB=90°， ∴∠D+∠ABD+∠ABC=90°， ∴2∠D+∠C=90°. 【点睛】本题考查了基本作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质定理，以及等边对等角性质，解题的关键是正确作出图形，利用所学的性质定理进行证明. 23. 【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为： 数a在数轴上对应点到原点的距离不大于2． （1）①可理解为___________________； ②请列举3个不同的整数a，使不等式成立．列举的a的值是______________； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______________； ②不等式的解集是__________________； 【拓展探究】 （3）求不等式的解集． 【答案】（1）①数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；②0，1，−1 （2）①−5<x<5；②x⩾6或x⩽−6 （3）3⩽x⩽5 【解析】 【分析】(1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【小问1详解】 解：①由题意可知|a|>2可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； ②使不等式|a|<2成立的整数a有0，1，−1， 故答案为：0，1，−1； 【小问2详解】 解：①根据题意可得|x|<5的解集为−5<x<5， 故答案为：−5<x<5； ②根据题意可求或， ∴x⩾6或x⩽−6， 故答案为：x⩾6或x⩽−6； 【小问3详解】 解：， ， 解得3⩽x⩽5， 故答案为：3⩽x⩽5． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． 24. 如图，中， ，，过点作，，连接并延长交于点． （1）求 （2）证明：； （3）求证：． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B=∠BCE=50°，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠B=50°，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到CD=BD，根据平行线的性质得到∠E=∠EFB，∠ECD=∠B，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （3）根据全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵，∠BCE=50°， ∴∠B=∠BCE=50°， ∵AC=AB， ∴∠ACD=∠B=50°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠CAD=90°-50°=40°； 【小问2详解】 证明：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵， ∴∠E=∠EFB，∠ECD=∠B， 在△CDE与△BDF中，， ∴△CDE≌△BDF（AAS）； 【小问3详解】 证明：∵△CDE≌△BDF， ∴CE=BF， ∵AC=AB=AF+BF， ∴AC=AF+CE． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 25. 如图，和是等边三角形，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF，连接BF与DE交于点G、连接CG． 求证： （1）； （2）CG平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△DBF，可得DE=BF； （2）由“AAS”可证△CBM≌△CDN，可得CN=CM，由角平分线的判定定理可得结论． 【小问1详解】 证明：∵△ABD和△CBD是等边三角形， ∴AD=BD，∠A=∠BDF=60°， 在△ADE和△DBF中， ， ∴△ADE≌△DBF（SAS）， ∴DE=BF； 【小问2详解】 证明：作CM⊥BF于点M，CN⊥DE，交ED的延长线于点N， ∴∠BMC=∠N=90°， ∵△ABD和△CBD是等边三角形， ∴CD=CB，∠CDB=∠ABD=60°，∠ADB=∠DBC=60°， ∴ABCD，ADBC， ∴∠CDN=∠BED，∠CBM=∠AFB， ∵△ADE≌△DBF， ∴∠AED=∠DFB， ∴∠BED=∠AFB， ∴∠CDN=∠CBM， 在△CBM和△CDN中， ， ∴△CBM≌△CDN（AAS）， ∴CN=CM， ∴点C在∠BGD的平分线上， 即CG平分∠BGD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的判定，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$