24.2.2 直线和圆的位置关系课件2024-2025学年九年级上学期数学人教版

24.2 直线和圆的位置关系 第3课时 切线长定理 课时内容分析 一、教材内容 切线长定理主要包括切线长的概念和切线长定理。通过教学应使学生理解切线长的概念，掌握切线长定理，并能够运用它解决相关问题。 切线长定理再次体现了圆的轴对称性，为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，是本节的重点。 灵活运用图形语言、文字语言、符号语言三种语言表述切线长定理，用切线长定理解决有关问题中准确应用数学语言进行表述，从实际情境中抽象出切线长定理模型解决问题，在综合题中迅速找出切线长定理模型，这些是学生学习的难点。 二、教材地位 本节内容是在学习了“切线的判定和性质”之后，并进一步了解了“三角形的内切圆”的基础上进行研究的。是前面内容的必然延伸，也是后面学习切割线定理等重要内容的基础。 切线长定理的出现，可以让我们对直线与圆位置关系的研究由定性分析深入到定量研究，再次让我们感触到了圆的轴对称性，为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据。 本节内容在“直线与圆的位置关系”这部分内容中起着承上启下的作用，综合运用等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识解决问题，同时也是研究两圆相切问题的基础。 学情分析 1.知识基础：经过前面几节的学习，学生对圆的轴对称性已经有了初步了解，掌握了等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识，具备了学习本节内容的知识基础。1 2.能力基础：经过前面的学习，学生已经对合情推理和逻辑推理都有了一定的认识，具备了证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等的基本技能。 3.心理特点：九年级学生正处于想成为大人、想得到别人肯定的年龄阶段，会不遗余力地提出自己的看法并能较有条理地申述自己的理由，但对问题的分析还不是很全面，用数学语言表述看法有时还欠准确贴切 1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算 与证明.（重点） 2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想. （难点） 学习目标 学习目标 1.知识目标：理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题；通过学生动手实验、观察图形、发现并解决问题培养他们主动获取知识的能力、抽象概括的能力及提出问题的能力。 2.能力目标：经历，领悟从实际问题情境中抽象出数学模型，从而解决实际问题的方法；运用这种方法解决有关实际问题。 3.情感目标：在切线长定理模型的探索过程中，经历概括、分析、提出问题、克服困难解决问题等阶段，体验成功的喜悦；通过这节课的学习，培养学生热爱生活的积极人生态度，锻炼学生百折不挠克服困难的精神，增强他们学习数学的内驱力，激发学习兴趣。 设计理念 1.问题情境设置为两个小朋友玩滚圈游戏，目的是想通过游戏营造氛围，在一开始就抓住学生，激发他们解决问题的愿望，让他们体验到：数学源于生活，生活中处处有数学，建立数学模型能解决实际问题；感受到数学探索的乐趣。 2.让学生经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程，体验数学与生活的内在联系，获得方法与经验，发展思维能力，增强应用数学的自信心。 3.注重给学生探究的机会，在教师的引导下，让学生自主探索解决问题的途径，通过学生动手实验、观察图形、发现并解决问题培养他们主动获取知识的能力、抽象概括的能力及提出问题的能力，从而锻炼学生百折不挠克服困难的精神，增强他们学习数学的内驱力，让他们体会从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想方法。 P O O. P B A A B O1 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），如果点C是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ 问题2 过圆外一点作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法！（见右图所示） 直径所对的圆周角是直角. 探究新知 P 1.切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点， 可以度量． 2.切线长与切线的区别在哪里？ 一、切线长的定义 思考：PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B． OB是⊙O的一条半径吗？ PB是⊙O的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） PA、PB有何关系？ ∠APO和∠BPO有何关系？ 二、切线长定理 O. P A B B P O A 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 注意 新知归纳 拓展结论 PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP △AOB （2）写出图中与∠OAC相等的角； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. B P O A C E D B P O A 练一练 PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= . 5 6 要点归纳 切线长问题辅助线添加方法 （2）连接圆心和圆外一点. （3）连接两切点； （1）分别连接圆心和切点； 问题1 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？ A B C A B C 三、三角形的内切圆及内心 问题2 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ⊙O就是所求的圆. A B C 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. B 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点. ┐ A C I ┐ ┐ D E F 三角形的内心到三角形的三边的距离相等. ⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心，△ABC是⊙O的外切三角形. 概念学习 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边 中垂线的交 点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部． 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内部． 填一填： A B O A B C O 典例精析 例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则 ⑵ ∠DOE= . ⑴ △PDE的周长是 ； 14 O P A B C E D 70° 例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长. 解: 设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4. ∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm). 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ 方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. A C B E D F O · A B C E D F O 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r. 设AD= x , BE= y ,CE＝ r ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD 则有 x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c 解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 解得 r＝ a＋b－c 2 变式题 设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC 的内切圆的半径 r＝ 或r＝ 总结归纳 A 1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= . B P O A 第1题 2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= . B C O 第2题 20 ° 4 110 ° 当堂练习 3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= . 65 °或115 ° B P O A 第3题 4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 . A B C F E D O 第4题 30 直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问： （1）它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？ · A B C E D F O 2.5 1 拓展提升 解：如图，△ABC的外接圆直径为AB, 而由勾股定理可得AB=5cm,故外接圆半径为2.5cm. 连接AO,BO,CO.设△ABC的内接圆半径为r，由面积公式可得：S△ABC=S△AoB+S△AoC+S△BoC ,即 ， 所以 ，代入数据得r=1cm. 方法小结： 直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，内接圆半径 . （2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围. · A B O D C 解：如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形. ∴OB＝BC＝3， ∴半径r的取值范围为0＜r≤3. 教学反思 在切线长定理的教学中，通过复习切线的性质与判定定理引出问题，让学生动手操作探究过圆外一点所引的两条切线长的关系，引导学生从具体情景和实践操作中找出条件，挖掘基本图形，尝试寻找解决问题的关键和方法。个人认为对本课重点学习内容，能组织学生自主观察探究证明并提炼基本图形，对重要结论及时总结。设计的几组填空题，从课堂效果看，学生对基本图形的提炼、基本结论的掌握比较到位 $$