22.1.4 二次函数关于系数abc的多结论 专项训练 2024--2025学年人教版九年级数学上册

二次函数关于系数abc的多结论专项训练 一、单选题 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．关于x的一元二次方程的根是， C． D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为．结合图象给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程的两根分别为和；⑤．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：    ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，二次函数的图象与y轴交于，对称轴为，对于此二次函数，有以下四个结论： ①； ②；③若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根 ；④，中所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 5．（2024·山东烟台·一模）如图，抛物线（）与x轴交于点，，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为.其中正确结论的是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 6．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示则下列结论：①；②；③；④点，，是该抛物线上的点，则，其中，正确结论的个数是：（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 7．（2024九年级下·全国·专题练习）二次函数（是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时，其对应的函数值．有下列结论： ①；②和3是关于x的方程的两个根；③对称轴为；④；其中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 9．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（   ） ①若时，则y随x的增大而减小；②若图象经过点，则；③若，是函数图象上的两点，则；④若图象上两点，对一切正数n，总有，则． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 10．（2024·山东日照·二模）已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 11．（2024·湖南永州·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，其中．下列四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是 （将所有正确结论的序号都填上）． 12．（22-23九年级上·河南安阳·阶段练习）已知抛物线（对称轴为直线）的部分图像如图所示，以下结论：①；②方程的根是，；③抛物线上有三点，，，则；④，其中正确的有 ．（填序号） 13．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为直线，与轴有两个交点，与y轴的正半轴相交，有下列结论： ①；②；③当时，；④若，（）是方程的两根，则方程的两根m，n（）满足且；其中，正确结论是 ． 15．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：①；②；③；④；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的方程有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论 ． 16．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，抛物线交x轴分别于点，，交y轴正半轴下点D，抛物线顶点为C．下列结论：①；②；③当是等边三角形时，：④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中，正确结论的序号为 ． 17．（22-23九年级上·河南周口·期末）二次函数的图象如图所示，现有以下结论：；；方程有两个不相等的实数根；．其中正确结论的序号为 ．（填写出所有正确结论的序号） 18．（2024·江苏宿迁·二模）如图，抛物线的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为，3，与y轴负半轴交于点C，下面四个结论：①；②；③，是抛物线上两点，若，则；④使为等腰三角形的a值可以有2个．其中正确的结论有 （填序号） 19．（2024·山东青岛·二模）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ①；②；③； ④；⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． 20．（23-24八年级下·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为，现有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是： ． 参考答案： 1．C 【详解】解：由函数图像可知开口向下，与轴交于正半轴， ，， ∵对称轴为， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的根是，；故B不符合题意； ∵抛物线与轴交于，，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴∵， ∴，故C符合题意； ∴； ∴错误，故D不符合题意； 故选：C． 2．C 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴抛物线的图象与轴的另一个交点横坐标为，即坐标为， ∴由图象可得，当时，，故②错误； ∵抛物线的图象与轴的一个交点坐标为， ∴， ∵， ∴，即，故③正确； ∴， ∴方程可以化为：， ∴， ∴， 解得：或，故④正确； 当时，，当时，， 由图象可得，当时，取到最大值， ∴，即，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③④⑤，共个， 故选：C． 3．C 【详解】解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 故选：． 4．C 【详解】解：由图可知：即，，，， 抛物线与轴有两个交点即， ，故①错误； 时，， ，故②正确； 此抛物线经过点，则是方程的一个根， 对称轴为， 则一定是方程的一个根，故③错误； ， ， 时，， ，故④正确， 综上所述，正确的是②④， 故选：C． 5．C 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴在轴右边，与轴交于正半轴， ，，， ， ①正确． 当时，， ， ②错误． 抛物线过点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ③正确． 如图： 设，， 由图知，时，， 故④正确． 故选：C． 6．B 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴，即①正确； ∵与x轴的一个交点在和之间， ∴由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即，故②正确； ∵与x轴的一个交点在和之间， ∴有两个不等的实数根， ∴， ∴，即③错误； ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大， ∴，故④错误； 综上，①②正确，共两个． 故选：B． 7．C 【详解】二次函数（a，b，c是常数，）， 当时，， 当时，， ． 当时，其对应的函数值， 二次函数开口向下，． ，，， ．（①结论符合题意） 时，， 是关于x的方程的根． 对称轴，，（③结论不符合题意） 和3是关于x的方程的两个根．（②结论符合题意） 时，， 时，， ． ．（④结论不符合题意） 正确的结论有2个． 故选：C． 8．B 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 9．B 【详解】解：二次函数为非零常数，， 当时，，，． 又当时，随的增大而增大， ，开口向下． 当时，随的增大而减小，故①正确； 又对称轴为直线，， ． 若，是函数图象上的两点，2023离对称轴近些， 又抛物线开口向下， 则，故③正确； 若图象上两点，对一切正数，总有，， 又该函数与轴的两个交点为，， ． 解得，故④错误； 二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大， ． 若图象经过点，则，得． ，， ，故②错误； ①③正确；②④错误， 故选：B． 10．B 【详解】解：由题意知，图象开口向下，即， 对称轴为直线，则， ∴， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，②错误，故不符合要求； 将代入得，，③正确，故符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∵关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1， 由图象可知，，；④正确，故符合要求； ∵， ∴过点，如图2， ∴关于x的不等式，即的解集为，⑤正确，故符合要求； ∴正确结论的个数为4个， 故选：B． 11． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ②有函数图像可得当时，，即，故②正确； ③当时，y的值为， 给乘以4，可得， ∵图象与x轴交于两点，其中， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴在， ∴关于对称轴对称点的横坐标在和之间， 由图象可知在和2之间y为负值，2和之间y为正值， ∴与0的关系不能确定，故③错误； ④∵， ∴． 故答案：①②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 12．①②④ 【详解】解：抛物线（对称轴为直线）， ， 抛物线开口向上， ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ∴， 故，故①正确； 抛物线与轴交于，对称轴为， 则抛物线与轴另一个交点为交于， 故②正确； 根据抛物线的增减性可知：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大； 当和时，值相等； 故，故③错误； 已知对称轴为直线， 当时，是，取得最小值； 当时，，即，故④正确； 故答案为：①②④． 13． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 14．①③④ 【详解】由题意得：， 故①正确； 即 故②错误； ∵对称轴为直线 ∴关于对称轴的对称点为 且， 故③正确； 由题意得：是抛物线与轴的交点横坐标，是抛物线与直线的交点横坐标， 且 ，故④正确； 故答案为： ①③④. 15．④⑥/⑥④ 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 又抛物线与轴的正半轴相交， ∴， 由函数图象可知，抛物线的对称轴在轴的的右侧， ∴ ∵ ∴ 所以． 故①错误． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即． 故②错误． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， 又因为， 所以． 故③错误． 由函数图象可知，当时，函数取得最大值， 所以当时的函数值小于时的函数值， 即， 所以，故④正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 而，且， 所以．故⑤错误． 方程的解可看成函数和直线交点的横坐标， 因为两个函数的图象有四个不同的交点， 所以方程有四个根； 又因为点A和点D，点B和点C关于直线对称， 所以，， 即，． 所以， 即方程的四个根之和为4． 故⑥正确． 故答案为：④⑥． 16．②④@@④② 【详解】解：∵抛物线交x轴分别于点，， ∴对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误； 把代入得，， ∵， ∴，即，故②正确； 如图，设对称轴与x轴交于点E， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得，故③错误； ∵方程有四个根， ∴方程有两个根，方程有两个根， 设方程的两个根分别为、，方程的两个根分别为、， ∴，， ∴，故④正确； 故答案为：②④． 17． 【详解】解：函数图象开口向下，且时，， ，， 又对称轴是直线， ，同号，可得， ， 故正确； 对称轴是直线，且时，， 根据轴对称的性质，时，， 时，， 即， ， 故正确； 根据图象可知，函数与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， 故正确； 抛物线开口向下，顶点坐标为， ， ， 即， 故正确； 故答案为：． 18． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标分别为 ∴抛物线的对称轴为直线 故①符合题意； ∵抛物线与轴有两个交点， 故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线 故③不符合题意； 由题意可知，， 若为等腰三角形，则或， ∵， ∴，， 当时，此时， ∴或（不合题意，舍去）， 当时， ， ∴或（不合题意，舍去）， ∴使为等腰三角形的值可以有2个，故④符合题意； 故答案为：． 19．①③④⑤ 【详解】解：图象经过，， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； ， 抛物线与轴交点在轴下方， ，故②错误； ， ， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即，故④正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：    故⑤正确； 综上：正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 20．②③④ 【详解】解：图象开口向上 图象与轴的交点在负半轴 抛物线的对称轴是直线 ，故①不正确； 抛物线的对称轴是直线 ，故②正确； 图象与轴有两个交点 ，故③正确； 图象与轴的一个交点坐标为，且对称轴为 图象与轴的另一个交点坐标为 时， ，故④正确． 故答案为：②③④． 学科网（北京）股份有限公司 $$