精品解析：新疆疏附县职业高中2018-2019学年高二上学期12月份数学试题

疏附县职业高中2018～2019学年高二上学期12月份 数学卷 考试时间：90分钟 考试满分：100分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共16小题，每小题2分，共32分） 1. 已知抛物线的焦点F恰为双曲线的右焦点，且两曲线交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的右顶点与抛物线的焦点重合，且其离心率，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，抛物线的焦点为，为抛物线上与直线不共线的一点，则周长的最小值为（ ） A. 18 B. 13 C. 12 D. 7 7. 下列命题中真命题的是（ ） A. 在同一平面内，动点到两定点的距离之差（大于两定点间的距离）为常数的点的轨迹是双曲线 B. 在平面内，，是定点，，动点M满足，则点M轨迹是椭圆 C. 若，则方程是椭圆 D. 在直角坐标平面内，到点和直线距离相等的点的轨迹是直线 8. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 双曲线与抛物线的准线交于A，B两点，若，则双曲线C的实轴长为（ ） A 1 B. 2 C. D. 10. 若双曲线的一条渐近线为，则实数（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 8 11. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线l与抛物线交于两点，分别作，垂直于抛物线的准线于，，若，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 12. 已知抛物线上一点到其焦点F的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 13. 已知点，，，则“是等边三角形”是“直线的斜率为0”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 下列双曲线中，焦点在x轴上且渐近线方程为的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 16. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，且A，B两点为，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 17. 已知方程表示椭圆，则该椭圆的焦点坐标为__________． 18. 抛物线的准线方程是__________． 19. 设A是抛物线上一点，若A到C的焦点的距离为，则A到y轴的距离为__________. 20. 已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为8，则__________． 21. 已知分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点． （1）的值为________； （2）若，且的面积为，求b的值为________． 22. 已知双曲线的方程为，则焦点到渐近线的距离为__________． 23. 若抛物线上的点到焦点的距离为6，则__________. 24. 如图，已知抛物线，则其准线方程为__________；过抛物线C焦点F直线与抛物线相交于A，B两点，若，则__________． 三、解答题（本题共4小题，每小题9分，共36分） 25. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在坐标轴上，短轴长为4，离心率为. （2）与椭圆有相同焦点，且过点. 26. 已知椭圆的长轴在x轴上，长轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距． （2）直线与椭圆交于A，B两点，求A，B两点的距离． 27. 在平面直角坐标系中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l相交，且其中一个交点为． （1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程； （2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程． 28. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为M，，且原点O到直线的距离为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 疏附县职业高中2018～2019学年高二上学期12月份 数学卷 考试时间：90分钟 考试满分：100分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共16小题，每小题2分，共32分） 1. 已知抛物线的焦点F恰为双曲线的右焦点，且两曲线交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线和双曲线的性质即可求解. 【详解】抛物线的焦点， 故双曲线的右焦点为， 设两曲线的交点为A、B， 根据图形的性质可知，两曲线交点的连线AB垂直于x轴， 故AB为双曲线的通径，则有， 又因为在双曲线上，故， 设， ， 故选：B 2. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据椭圆的标准方程确定，再由之间的关系求出，最后根据焦点的位置写出焦点坐标即可. 【详解】由可得， 其中， 所以，又由椭圆方程可知， 焦点在轴上，所以焦点坐标. 故选：A. 3. 已知双曲线的右顶点与抛物线的焦点重合，且其离心率，则该双曲线的方程为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线得到焦点坐标即可得到双曲线右顶点及，再结合离心率求，由关系求即可得到双曲线方程. 【详解】易知抛物线中，且焦点在轴上，则焦点为， 则双曲线的右顶点为，， 又因为双曲线的离心率，所以， 则， 故双曲线方程为：. 故选：A. 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件直接求出抛物线焦点坐标即可作答. 【详解】， 抛物线焦点在y轴正半轴，， 则抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 5. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程判断抛物线的开口，焦点位置写出准线方程即可. 【详解】由可知抛物线开口向右，焦点在轴上. 且， 所以抛物线的准线方程为. 故选：A. 6. 已知点，抛物线的焦点为，为抛物线上与直线不共线的一点，则周长的最小值为（ ） A. 18 B. 13 C. 12 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由拋物线的定义，结合图象以及两点间的距离公式即可求解. 【详解】如图所示， 过作抛物线准线的垂线，交抛物线于点，此时周长最小. 由抛物线的标准方程知，焦点， 由拋物线的定义可知，的距离是到准线的距离，即， ， 即周长最小值. 故选：C. 7. 下列命题中真命题的是（ ） A. 在同一平面内，动点到两定点的距离之差（大于两定点间的距离）为常数的点的轨迹是双曲线 B. 在平面内，，是定点，，动点M满足，则点M的轨迹是椭圆 C. 若，则方程是椭圆 D. 在直角坐标平面内，到点和直线距离相等的点的轨迹是直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线，椭圆的定义以及圆的方程等逐个判断即可. 【详解】A选项，应该是两定点的距离之差的绝对值是一个常数，才有可能是双曲线，所以A错误. B选项，，，点M的轨迹是线段，所以B错误. C选项，如果，解得，满足，此时方程表示的是圆，所以C错误. D选项，点在直线上，故所求的轨迹是直线，所以D正确. 故选：D. 8. 双曲线的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程确定，求出渐近线方程即可. 【详解】由可得， 即，焦点在轴上. 所以渐近线方程. 故选：C. 9. 双曲线与抛物线的准线交于A，B两点，若，则双曲线C的实轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，先由抛物线方程求得其准线，再利用双曲线的方程求得参数，从而得解. 【详解】 由题意，抛物线的准线， 所以将代入双曲线方程得：， 因为，所以， 故双曲线的实轴长， 故选：C 10. 若双曲线的一条渐近线为，则实数（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据双曲线方程判断焦点位置，并确定的值，再根据渐近线方程即可求出. 【详解】由可得， 焦点在轴上， 又由渐近线为，即， 所以，其中，所以， 所以. 故选：B. 11. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线l与抛物线交于两点，分别作，垂直于抛物线的准线于，，若，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义结合抛物线的图像即可求出直角梯形的面积. 【详解】如图所示，为直角梯形， 由已知可得 ， 又因为直线的倾斜角为， 所以， 由此可得， 即为直角梯形的高. 所以四边形的面积为. 故选：A. 12. 已知抛物线上一点到其焦点F的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义结合已知条件求解p，进而求出抛物线标准方程. 【详解】已知抛物线，则抛物线的准线为：， 因为抛物线上一点到其焦点F的距离为5， 所以点到准线的距离为， 所以抛物线方程为：， 故选：D 13. 已知点，，，则“是等边三角形”是“直线的斜率为0”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，结合充分不必要条件的定义可得结果. 【详解】根据三个点的坐标可知， 点，在抛物线上，C为抛物线的焦点， 若是等边三角形，则， 根据抛物线的定义可知，A，B两点到准线的距离相等， 所以直线AB与x轴平行，其斜率为0； 若直线AB的斜率为0，则A，B两点到准线的距离相等， 则，只能得到是等腰三角形，不能推出是等边三角形， 所以“是等边三角形”是“直线的斜率为0”的充分不必要条件. 故选：A 14. 下列双曲线中，焦点在x轴上且渐近线方程为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程公式对选项逐个求解即可. 【详解】焦点在x轴上，其中， 即，渐近线方程为，故A错误. 焦点在x轴上，其中， 即，渐近线方程为，故B正确. 与焦点在轴上，故错误. 故选：B. 15. 已知三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据等比数列中等比中项的性质求出的值，然后分情况讨论， 时为椭圆，求出，根据即可求出椭圆的离心率. 时为椭双曲线，求出，根据即可求出双曲线的离心率. 【详解】由成等比数列， 可得，即. 当时，圆锥曲线方程为为椭圆方程， 其中， 所以， 此时方程的离心率为. 当时，圆锥曲线方程为为双曲线方程， 其中， 所以， 此时方程的离心率为. 故选：D. 16. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，且A，B两点为，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据椭圆方程求出，再结合题意根据椭圆的定义求出的值，再根据双曲线与椭圆共焦点求出双曲线的实轴长，最后根据离心率公式求出离心率即可. 【详解】设， 由椭圆可得 ， 所以 因为点为椭圆上的点， 所以， 又因为四边形为矩形， 所以. 由，解得， 因为双曲线与椭圆共焦点， 所以双曲线的实轴长， 可得，， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 17. 已知方程表示椭圆，则该椭圆的焦点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程确定的值，再根据求出的值，即可求出焦点坐标. 【详解】由方程中， 可知焦点在轴上，且. 所以，焦点坐标. 故答案为：. 18. 抛物线的准线方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的准线方程公式即可求解. 【详解】由可知， ， 则， 所以准线方程为. 故答案为：. 19. 设A是抛物线上一点，若A到C的焦点的距离为，则A到y轴的距离为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程，再用抛物线的定义求解即可. 【详解】由抛物线方程可知 准线方程， 因为A是抛物线上一点，且A到焦点的距离为， 则A到准线的距离也是，而准线方程为， 所以A到y轴的距离为7. 故答案为：7. 20. 已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为8，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程及其性质即可求解. 【详解】因为椭圆焦点在轴上， 且长轴长为. 所以， 解得. 故答案为：. 21. 已知分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点． （1）的值为________； （2）若，且的面积为，求b的值为________． 【答案】 ①. 20 ②. 8 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，直接求即可得解； （2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解. 【详解】（1）由知， ， （2）设， ， 可得， 所以， 所以， 所以， 故答案为：（1）20；（2）8. 22. 已知双曲线的方程为，则焦点到渐近线的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解即可 【详解】由可知， 即，焦点位于轴上， 所以焦点坐标为，渐近线为，即， 所以焦点到渐近线的距离为. 故答案为：. 23. 若抛物线上的点到焦点的距离为6，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式求解即可. 【详解】已知抛物线， 则焦半径公式，其中， 所以有，解得. 故答案为：. 24. 如图，已知抛物线，则其准线方程为__________；过抛物线C焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则__________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】由抛物线方程求得p，进一步求得的值，则抛物线的准线方程可求；再由已知结合抛物线的性质解的值. 【详解】由抛物线，得，则， 所以抛物线的准线方程为， 设，由抛物线定义可知： ，且， 所以，又， 所以 ， 即， 又因为， 所以. 故答案为：；6. 三、解答题（本题共4小题，每小题9分，共36分） 25. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在坐标轴上，短轴长为4，离心率为. （2）与椭圆有相同的焦点，且过点. 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）根据短轴长可求出的值，再根据离心率和，联立方程组求出的值，最后写出椭圆的标准方程即可. （2）根据与椭圆有相同的焦点，求出焦点，并设椭圆的标准方程，然后将点代入所设方程中求出，最后写出椭圆的标准方程即可. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为， 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为， 即椭圆的标准方程为和. 【小问2详解】 由与椭圆有相同的焦点， 可知椭圆的焦点在轴上，其中， 故设椭圆方程为， 则有，且过点，代入方程得 ，即 则有，解得. 因为，舍去. 所以， 即椭圆的标准方程为. 26. 已知椭圆的长轴在x轴上，长轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距． （2）直线与椭圆交于A，B两点，求A，B两点的距离． 【答案】（1）；短轴长为2，焦距为； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知即可求出a、b、c，从而得解； （2）联立直线与椭圆方程，求出A，B两点得坐标即可求解. 【小问1详解】 由已知得：， 所以， 则椭圆的标准方程为， 所以椭圆的短轴长为2，焦距为. 【小问2详解】 联立，解得或， 所以. 故A，B两点的距离为. 27. 在平面直角坐标系中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l相交，且其中一个交点为． （1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程； （2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程． 【答案】（1）双曲线的方程为，其渐近线方程为. （2）以为焦点的抛物线的标准方程为， 以为焦点的抛物线的标准方程为. 【解析】 【分析】（1）设出双曲线方程，利用点在双曲线上以及双曲线的离心率求解即可. （2）求出直线与坐标轴的交点，然后利用抛物线的性质求解抛物线方程即可. 【小问1详解】 由题意，设双曲线的方程为， 点在双曲线上， ， 双曲线C的离心率， ， ， 双曲线的方程为，其渐近线方程为. 【小问2详解】 由题意，直线的方程为，即， 直线与坐标轴交点分别为，， 以为焦点的抛物线的标准方程为， 以为焦点的抛物线的标准方程为. 28. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为M，，且原点O到直线的距离为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知斜率为直线l交椭圆C于A、B两点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析焦点三角形各边，由角的正切值得到关系，由△面积得到关系，再根据关系即可求出各参数，即可得到椭圆方程. （2）设出直线，联立直线与椭圆方程，由直线与椭圆有两交点列出，得到一个范围，再由韦达定理表示出与，代向量内积坐标公式求，根据范围求解即可. 【小问1详解】 易知，，， 则由可得：， 则，即， 且原点O到直线的距离为，则， 即，即，， 则由可得：，解得，则，， 椭圆方程为：. 【小问2详解】 设直线l为， 则由可得：， 因为方程有两解，所以，即， 设，则由韦达定理可得： ，， 则， 则，且， 所以， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$