精品解析：江西省修水中等专业学校2021-2022学年高三上学期三校生数学段考二试卷

江西省修水中专2021-2022学年 高三上学期三校生数学第二次段考试卷 第Ⅰ卷（选择题 共70分） 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，对每小题的命题作出选择，对的写正确，错的写错误） 1. 集合共有4个子集﹒（ ） 2. 若，则．（ ） 3. 平行于同一平面的两条直线平行．（ ） 4. 当时，则（ ）． 5. 三点，，共线．（ ） 6. 双曲线的焦点坐标是．（ ） 7. 对于任意的正整数m，，都有．（ ） 8. ．（ ） 9. 方程表示的曲线是圆．（ ） 10. 在同一坐标系中，函数与函的图象相同.（ ） 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 函的定义域为（ ）． A. B. C. D. 12. 若向量，则（ ）． A. B. C. D. 13. 若直线l过点，且斜率，则直线l的方程为（ ）. A. B. C. D. 14. 对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是（ ）. A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 15. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ）． A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9 16. 从5名女生和4名男生中选出3人去某地工作，其中女生至少选一人，则不同选法有（ ）种． A. 25 B. 50 C. 80 D. 84 17. 对任意，下列式子恒成立的是（ ）． A. B. C. D. 18. 已知是的平均值，为的平均值，为，，，的平均值，则（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 不等式的解集为________； 20. 若，则______． 21. ______． 22. 正方体中，与平面所成角的正切值是______． 23. 已知单位向量与的夹角为，那么______． 24. 甲、乙两人随机入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是______． 四、解答题（本大题共6小题，25-28题每小题8分，29-30题每小题9分，共50分，解答应写出过程或步骤） 25. 已知. （1）求的值. （2）求的值. 26. 已知数列的前n项和， （1）求该数列的通项公式； （2）求该数列所有正数项的和． 27. 如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，P为侧棱上的点， （1）求证：； （2）若平面，求二面角的大小. 28. 在10件产品中，有8件正品，2件次品，从中任取3件产品， （1）求恰好有1件是次品的概率； （2）求3件都是正品的概率； （3）求至少有1件是次品的概率． 29. 已知双曲线，过作直线交双曲线于A，B两点，并使P是线段AB的中点， （1）求直线的方程； （2）求线段AB的长. 30. 已知，， （1）若，求函数在区间的最大值与最小值； （2）若函数在区间和上都是增函数，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省修水中专2021-2022学年 高三上学期三校生数学第二次段考试卷 第Ⅰ卷（选择题 共70分） 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，对每小题的命题作出选择，对的写正确，错的写错误） 1. 集合共有4个子集﹒（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】列出集合所有子集即可判断. 【详解】由题，集合所有子集为：共四个. 故答案为：正确. 2. 若，则．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】举反例即可判断. 【详解】当，时，. 故答案为：错误 3. 平行于同一平面的两条直线平行．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据直线与平面的关系判断即可. 【详解】平行于同一平面的两直线相交、平行或异面. 故答案为：错误. 4. 当时，则（ ）． 【答案】正确 【解析】 【分析】利用作差法比较三角函数的大小. 【详解】因为, 因为, 所以, 所以, 所以. 故答案为:正确. 5. 三点，，共线．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以三点，，共线. 故答案为：正确. 6. 双曲线的焦点坐标是．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求焦点坐标. 【详解】解：双曲线，即， 得，，， 所以焦点坐标是； 故答案为：错误. 7. 对于任意的正整数m，，都有．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据组合数计算公式可得结论. 【详解】根据组合数计算公式：对于任意的正整数m，，都有， 所以. 故答案为：正确 8. ．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式，即可求解. 【详解】. 故答案为：正确. 9. 方程表示的曲线是圆．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件即可判断. 【详解】由二元二次方程表示圆的条件， 可知，不能表示圆. 故答案为：错误. 10. 在同一坐标系中，函数与函的图象相同.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】利用反函数的图象性质即可得解. 【详解】实际上，函数是函数的反函数， 其图象是图象关于直线的对称图形. 因此，除非的图象关于直线对称，否则这两个函数的图象不会相同. 故答案为：错误. 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 函的定义域为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求根式和分式的定义域易得答案. 【详解】因为函数， 则要使函数有意义，需满足， 解得. 则定义域为. 故选:A. 12. 若向量，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标的加法法则即可解得 【详解】由题可得： 故选：A 13. 若直线l过点，且斜率，则直线l的方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线斜截式方程，并代入点与斜率即可解得. 【详解】设直线方程为 由题，则， 再代入点，得，解得， 故直线方程为. 故选：B 14. 对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是（ ）. A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用必要条件、充分条件与充要条件的判断方法求解. 【详解】A：当时，取，则不成立，即必要性不成立， 所以“”不是“”的必要条件，故A错误； B：当时，必有，即必要性成立， 所以“”是“”的必要条件，故B正确； C：当时，取，，则不成立，即充分性不成立； 所以“”不是“”的充分条件，故C错误； D：当时，取，则不成立，，即充分性不成立； 所以“”不是“”的充分条件，故D错误. 故选：B. 15. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ）． A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及双曲线渐近线，进而求解. 【详解】由双曲线的方程和渐进线的方程可得， 解得：. 由双曲线的定义可得， 所以， 故选：C 16. 从5名女生和4名男生中选出3人去某地工作，其中女生至少选一人，则不同选法有（ ）种． A. 25 B. 50 C. 80 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】因为女生至少选一人与全部选中男生为对立事件，根据对立事件的概念即可求解. 【详解】由题意：从5名女生和4名男生中选出3人去某地工作，共有种方法， 若全部选中男生则有种， 所以女生至少选一人有种. 故选：C. 17. 对任意，下列式子恒成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式，含绝对值的不等式，指数和对数的取值范围判断选项即可. 【详解】A：当时，，不成立. B：当时，，不成立 C：因为，所以恒成立. D：当时，，不成立. 故选：C. 18. 已知是的平均值，为的平均值，为，，，的平均值，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均值的计算方法即可求解. 【详解】由题意得， ， 则. ， 则. 所以. 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 不等式的解集为________； 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】不等式可化为， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 20. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知分段函数依次代入即可求解. 【详解】由题可得，， ， . 故答案为：. 21. ______． 【答案】14 【解析】 【分析】根据组合数，指数幂，对数，诱导公式逐项化简并计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 22. 正方体中，与平面所成角的正切值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角的概念即可求解. 【详解】如图： 因为平面， 所以直线与平面所成角为 在正方体中，设棱长为1，连接， 则， 在直角中，. 故答案为：. 23. 已知单位向量与的夹角为，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积求模长即可. 【详解】因为为单位向量，且夹角为， 所以， 所以. 故答案为：. 24. 甲、乙两人随机入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先用列举法列举所有可能事件，再根据古典概型概率公式即可解得 【详解】由题共有四种情况： 都住第一间；甲住第一间乙住第二间；都住第二间；甲住第二间乙住第一间. 则甲乙两人各住一间的概率是： 故答案为： 四、解答题（本大题共6小题，25-28题每小题8分，29-30题每小题9分，共50分，解答应写出过程或步骤） 25. 已知. （1）求的值. （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和角正切公式求出答案； （2）解法一：利用二倍角公式得到齐次式，再化弦为切，代入求值即可. 解法二：由（1）知，利用同角三角函数关系式求得，由二倍角公式求得，，代入求值即可. 【小问1详解】 ， 由，有， 解得. 【小问2详解】 解法一：. 解法二：由（1）知，，得，所以， 即，得. 于是，， 代入得：. 26. 已知数列的前n项和， （1）求该数列的通项公式； （2）求该数列所有正数项的和． 【答案】（1） （2）26． 【解析】 【分析】（1）根据即可求得数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式求出数列的正数项即可求出数列正数项的和. 【小问1详解】 时，． 时，． 因为时，． 所以． 【小问2详解】 由（1）得 ； ； ； ； ； ． 所有正数项的和为26． 27. 如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，P为侧棱上的点， （1）求证：； （2）若平面，求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直证明两直线垂直即可得解； （2）利用（1）中结论得到是所求二面角，再利用条件分析得其大小，从而得解. 【小问1详解】 连结，设交于， 由题四棱锥底面为正方形，且每条测棱长都是底面边长的倍， 则四棱锥为正四棱锥， 在正方形中，， 又，平面，平面， 则平面，又平面，所以. 【小问2详解】 设正方形边长为a，则，又因为， 则为正三角形，所以， 连结，由（1）得平面， 所以，，所以是二面角的平面角. 由平面得，，所以. 即二面角的大小为. 28. 在10件产品中，有8件正品，2件次品，从中任取3件产品， （1）求恰好有1件是次品的概率； （2）求3件都是正品的概率； （3）求至少有1件是次品的概率． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）计算所有抽法的总数与恰有件是次品的抽法总数相比即可解得. （2）计算所有抽法的总数与件都是正品的抽法总数相比即可解得. （3）至少有件次品的概率等于减去全是正品的概率由此即可解得. 【小问1详解】 恰好有1件是次品的概率为； 【小问2详解】 3件都是正品的概率为； 【小问3详解】 至少有1件是次品的概率为． 29. 已知双曲线，过作直线交双曲线于A，B两点，并使P是线段AB的中点， （1）求直线的方程； （2）求线段AB的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，利用条件与韦达定理得到关于的方程组，解之即可得解； （2）根据弦长公式求解即可. 【小问1详解】 设直线的方程为. 联立，得. 设交点坐标，，将，，得， 又，所以， 联立，解得， 经检验，此时满足直线与双曲线有两个交点， 直线的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）得，， . 30. 已知，， （1）若，求函数在区间的最大值与最小值； （2）若函数在区间和上都是增函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为． （2）． 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，即可求实数a的值，进而可得最值. （2）根据函数的单调区间，可得导函符号，即可得到结论. 【小问1详解】 ∵， ∴，由题意得，． ∴，令得或， ， 得在上的最大值为，最小值为． 【小问2详解】 因为函数在区间和上都是增函数， 所以 ∵的图像为开口向上且过点的抛物线， 由条件得，，∴， 即实数a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $