1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 同步练习-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.3.3　三次函数的性质:单调区间和极值 A级 必备知识基础练 1.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-]∪[,+∞) B.[-] C.(-∞,-)∪(,+∞) D.(-) 2.若函数f(x)=ax3-x在R上是减函数,则(　　) A.a∈(-∞,0] B.a∈(-∞,1) C.a∈(-∞,2) D.a∈-∞, 3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是(　　) A.-37 B.-29 C.-5 D.以上都不对 4.函数f(x)=-cos x在-,π上的最小值为(　　) A.- B.+1 C.-1 D.- 5.(多选题)已知函数f(x)=x(x-3)2,若f(a)=f(b)=f(c),其中a<b<c,则(　　) A.1<a<2 B.a+b+c=6 C.2<a+b<3 D.abc的取值范围是(0,4) 6.已知函数f(x)=x3-x2+18x-2. (1)求f(x)的极值; (2)求f(x)在区间[1,4]上的最大值与最小值. B级 关键能力提升练 7.已知函数f(x)=x3+x2+c有3个不同的零点,则c的取值范围是(　　) A.-,0 B.-∞,-∪(0,+∞) C.-,0 D.-∞,-∪(0,+∞) 8.若函数f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,则实数a的取值范围是(　　) A.[-3,+∞) B.(-3,+∞) C.(-3,0) D.[-3,0] 9.(多选题)函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则(　　) A.函数在区间[-2,0]上的最大值、最小值均在端点处取得 B.x=2为f(x)的极小值点 C.f(x)在,2上是单调递减的 D.f(-2)是f(x)的最小值 10.(多选题)已知函数f(x)=+bx+,b∈R,下列说法正确的是(　　) A.当b<0时,函数f(x)有两个极值点 B.当b<0时,函数f(x)在(0,+∞)上有最小值 C.当b=-2时,函数f(x)有三个零点 D.当b>0时,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增 11.若函数f(x)=x3-3x在区间(a2-6,a)上有最大值,则实数a的取值范围是　　　　　.  12.已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围. C级 学科素养创新练 13.若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值. 参考答案 1.B　f'(x)=-3x2+2ax-1,由题意可知f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立, ∴Δ=(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-≤a≤. 2.A　f'(x)=3ax2-1. 因为函数f(x)在R上是减函数,所以f'(x)=3ax2-1≤0恒成立,所以a≤0.故选A. 3.A　因为f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),令f'(x)=0,则x1=0,x2=2,当x∈[-2,0)时,f'(x)>0,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,所以f(x)在[-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,所以当x=0时,f(0)=m最大,所以m=3.因为f(-2)=-37,f(2)=-5,所以f(x)的最小值为-37. 4.D　∵f(x)=-cos x, ∴f'(x)=+sin x. 令f'(x)=0,则x=-. 当x∈-,-时,f'(x)<0,x∈-,π时,f'(x)>0,故f(x)在-,-上单调递减,在-,π上单调递增,故f(x)min=f-=--cos-=-.故选D. 5.BCD　由f(x)=x(x-3)2,则f'(x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1),令f'(x)=0,解得x=1或x=3,当x<1或x>3时,f'(x)>0,此时f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞); 当1<x<3时,f'(x)<0,此时f(x)的单调递减区间为(1,3),又f(0)=f(3)=0,f(1)=f(4)=4,则函数f(x)的图象如图所示. 设f(a)=f(b)=f(c)=t,则0<t<4,0<a<1<b<3<c<4,故A错误; 又f(x)-t=x(x-3)2-t=(x-a)(x-b)(x-c),即x3-6x2+9x-t=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc,所以a+b+c=6,abc=t∈(0,4),故B,D正确; 又3<c<4,则3<6-(a+b)<4,解得2<a+b<3,故C正确.故选BCD. 6.解(1)∵f(x)=x3-x2+18x-2, ∴f'(x)=3x2-15x+18=3(x-3)(x-2), x (-∞,2) 2 (2,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值12 递减↘ 极小值11.5 递增↗ 故f(x)的极大值是f(2)=12,极小值是f(3)=11.5. (2)由(1)知: x [1,2) 2 (2,3) 3 (3,4] f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值12 递减↘ 极小值11.5 递增↗ 又f(1)=9.5,f(4)=14,将它们与极值比较可得,函数f(x)在区间[1,4]上的最大值为14,最小值为9.5. 7.A　由条件得f'(x)=x2+3x=x(x+3),令f'(x)>0,可得x∈(-∞,-3)∪(0,+∞),令f'(x)<0,可得x∈(-3,0),因此函数f(x)在(-∞,-3)和(0,+∞)上单调递增,在(-3,0)上单调递减,又f(-3)=+c,f(0)=c,要使f(x)有3个不同的零点,则所以-<c<0.故选A. 8.D　∵f(x)=-x3-3x2+1, ∴f'(x)=-3x2-6x, 令f'(x)=-3x2-6x=0,解得x=0或x=-2, 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 递减↘ 极小值 递增↗ 极大值 递减↘ 由f(x)=1,得-x3-3x2+1=1,解得x=0或x=-3. 当x>0时,f(x)<f(0)=1,当x<-3时,f(x)>f(-3)=1. 又f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1, ∴a的取值范围为[-3,0].故选D. 9.ABC　由导函数f'(x)的图象可知函数f(x)在区间[-2,0]上是单调递增的,因此在区间[-2,0]上的最大值、最小值均在端点处取得,故A正确;f(x)在-2,和(2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)和,2上单调递减,且x=2为f(x)的极小值点,故B和C均正确; f(-2)是函数f(x)的极小值,但不一定是最小值,故D错误.故选ABC. 10.ABD　因为f(x)=+bx+,则f'(x)=x2-x+b.当b<0时,Δ=1-4b>0,即方程f'(x)=0有两个不相等的实根,此时函数f(x)有两个极值点,故A正确;当b<0时,设f'(x)=0有两个不等的实根x1,x2,且x1<x2,由韦达定理可得x1x2=b<0,必有x1<0<x2,当0<x<x2时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减,当x>x2时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增,故函数f(x)在(0,+∞)上有最小值,故B正确;当b=-2时,f(x)=-2x+,则f'(x)=x2-x-2,令f'(x)=0,则x1=-1,x2=2.当x<-1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当-1<x<2时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x>2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 所以,函数f(x)的极大值为f(-1)=,极小值为f(2)=0,作出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,函数f(x)只有两个零点,故C错误; 当b>0且x<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,故D正确.故选ABD. 11.(-1,2]　由题意,得f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).由f'(x)>0,得x<-1或x>1,则f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增;由f'(x)<0,得-1<x<1,则f(x)在区间(-1,1)上单调递减,所以解得-1<a≤2,即实数a的取值范围是(-1,2]. 12.解(1)f'(x)=3x2-3a=3(x2-a), 当a<0时,对x∈R,有f'(x)>0, 所以当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞); 当a>0时,由f'(x)>0,解得x<-或x>, 由f'(x)<0,解得-<x<, 所以当a>0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞),f(x)的单调递减区间为(-). (2)因为f(x)在x=-1处取得极值, 所以f'(-1)=3×(-1)2-3a=0. 所以a=1. 所以f(x)=x3-3x-1,f'(x)=3x2-3. 由f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1. 由(1)可知f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1, 在x=1处取得极小值f(1)=-3. 因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合函数f(x)的单调性,可知m的取值范围是(-3,1). 13.解由f'(x)=3x2-a, ①当a≤0时,f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.不符合题意. ②当a>0时,令3x2-a=0,得x=±, 当-<x<时,f'(x)<0. f(x)在区间内单调递减,即f(x)的单调递减区间为,则=1,即a=3. 学科网（北京）股份有限公司 $$