精品解析：2024年山东省临沂市初中学业水平考试模拟试题(四) 数学试题

2024年初中学业水平考试模拟试题（四） 数 学 注意事项 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 春节期间，临沂琅琊古城吸引了众多外地市民前来寻找年味，截至正月初五晚，接待游客超万人次，旅游综合收入万元．这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，．已知与平行，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数的图象中，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后与原函数图象共同构成的图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平面内有一圆及其内接四边形，若随机在圆周上取一点，已知该点取自弧的概率是，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 对于实数，，定义一种运算“”为，例如，那么不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论；是直角三角形；；正确的个数（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 若直线与相交，其交点个数为或或 10. 如图，在中，，直线经过点且垂直于．现将直线以的速度向右匀速平移，直至到达点时停止运动，直线与边交于点，与边（或）交于点．设直线移动的时间是，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：___． 12. 分式方程的解为______． 13. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于______． 14. 如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为______． 15. 如图，正六边形的边长为3，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为____________. 16. 如图，在中，，，以点A为圆心长度2为半径作弧，分别交边于两点，再分别以点为圆心，长度r为半径作弧交于点F，连接并延长交边于点G，点分别在边上，且，．下列说法：①射线平分；②；③；④．正确的有：______（填上所有符合要求的条件的序号） 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 新春佳节，临沂琅琊古城吸引了众多外地市民前来寻找年味，快乐过节．作为山东文旅开年的扛鼎之作，琅琊古城自年月日起正式开城迎客，为临沂市再添文旅新地标．某学习小组对景点演出中的校场演兵、国秀琅琊、扶摇云裳、只此琅琊，这四个节目开展我最喜欢的演出节目调查．随机调查了部分游客，每位游客必须且只能选择这四个节目中的一个，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： （1）本次共调查了______名游客；并将条形统计图补充完整； （2）组所对应的扇形圆心角为______度； （3）若某天游客达到万人次，则该天喜欢国秀琅琊表演的旅客人数约为多少人？ （4）若某游客从中任选两个表演节目来观看，恰好选到国秀琅琊和只此琅琊的概率为多少？ 19. 春节期间，乐乐一家去琅琊古城游玩．若买张单人门票，张普通通票花费元，若买张单人门票，张普通通票花费元． （1）单人门票和普通通票各多少元？ （2）乐乐一家门票花费预算不超过元，若贵宾通票比普通通票贵元，那么至多能买几张贵宾通票？ 20. 为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告． 测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告 活动课题 测量台儿庄古城城门楼高度 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 测角仪、皮尺等测量工具 方案示意图 测量步骤 如图② （1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； （2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°． 参考数据 sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5． 计算城门楼PO的高度（结果保留整数） 21. 如图为某游乐场摩天轮简化示意图，摩天轮最低端与地面的距离忽略不计，即可看作摩天轮与地面相切，摩天轮最外端圆的直径约为米．夜晚，小明坐在透明座舱旋转到点时用激光笔照射在摩天轮的点和最低点处，激光线交地面于点，当激光线经过圆心点时，交圆于点，交水平地面于点且于点． （1）求证：； （2）若米，求的长． 22. 如图，点，在反比例函数的图象上，连接，． （1）求反比例函数的解析式、直线的解析式和的值； （2）当时，请直接求出的取值范围； （3）在直线（直线上各点的纵坐标均为）上是否存在一点，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点的坐标． 23. “快乐游玩、安全游玩”是各景区游玩的工作宗旨．某景区上午时开门迎接游客进入，下午禁止游客进入．据工作人员统计，上午时该景区已累计进入游客人，从此时开始陆续有游玩结束的游客离开．累计进入景区游客人数(单位：人)与累计离开景区游客人数(单位：人)随统计时间 (单位：h)变化的数据如下表所示： 统计时间x/h 1 2 3 4 累计进入景区游客人数y/人 累计离开景区游客人数z/人 0 探究发现，与，与x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． （1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； （2）预计几点钟时，景区内游客人数最多? （3）当景区内游客人数达到人时，将触发人流高峰黄色预警，问什么时间将触发人流高峰黄色预警? 直接写出答案． 24. 在等腰中，，顶角度数为，点D是平面内一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，，． （1）如图1所示，当时，请直接写出线段与的数量关系： ； （2）如图2所示，当时，（1）中的结论还成立吗，并说明理由； （3）在（2）的前提下，若，，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平考试模拟试题（四） 数 学 注意事项 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 春节期间，临沂琅琊古城吸引了众多外地市民前来寻找年味，截至正月初五晚，接待游客超万人次，旅游综合收入万元．这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，正确确定中的和的值是解题的关键． 根据科学记数法的定义——“将一个数表示成的形式，其中，为整数”，即可求得答案． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 按照负整数指数幂，积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法等相关运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. ，故选项不符合题意； B. ，故选项不符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. ，故选项符合题意； 故选：． 4. 绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，．已知与平行，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行公理，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 首先根据平行公理可证得，于是根据平行线的性质可求得，由三角形的内角和定理可求得，最后根据平行线的性质即可求得的度数 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ， ， 又， ， 故选：． 5. 下列函数的图象中，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后与原函数图象共同构成的图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由各函数的图象与性质结合中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是正比例函数，，图象经过一三象限，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后，函数图象经过三四象限，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B. 是二次函数，，图象位于一二象限且经过原点，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后，函数图象经过二四象限，是中心对称图形，故选项符合题意； C. 是二次函数，，，图象经过一二三象限，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后，函数图象经过二三四象限，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D. 是反比例函数，，图象经过一三象限，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后，函数图象经过三四象限，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了中心对称的定义，函数图象的翻折变化，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质等知识点，熟练掌握一次函数，二次函数，反比例函数的图象与性质是解题的关键． 6. 如图，平面内有一圆及其内接四边形，若随机在圆周上取一点，已知该点取自弧的概率是，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，概率的定义等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据概率的定义可得该点取自弧的概率，于是根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【详解】解：随机在圆周上取一点，该点取自弧的概率是， 该点取自弧的概率是， 四边形是圆内接四边形， ， ， 故选：． 7. 对于实数，，定义一种运算“”为，例如，那么不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，把不等式组进行整理，然后解不等式组，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：根据题意， ∵， ∴可以化简为， 即， 解得：； 不等式组的解集在数轴上表示为 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集、新定义，解答本题的关键是明确新定义，会利用新定义转化不等式组． 8. 如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论；是直角三角形；；正确的个数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质及垂线的性质可得，，由平行线的性质可证得，于是可得，点为中点，，于是可得是直角三角形，由直角三角形的性质可得，由于由题意无法得出，因而可得结论． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ，， ， ，， ， ， ，， 点为中点， ， 是直角三角形， 又点是中点，即为斜边上的中线， ， 由题意无法得出， 结论正确，结论不一定正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，垂线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 9. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 若直线与相交，其交点个数为或或 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向得，由抛物线的对称轴可得，由抛物线与轴交点位置得，以此可判断选项；由抛物线过点得，则，，以此可判断选项；由抛物线过点得，将代入得，以此可判断选项；根据二次函数的图象画出的图象，即可判断选项． 【详解】解：抛物线的开口方向向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故选项不符合题意； 二次函数的图象与轴的一个交点为， ， ， ， ，， ，， ，故选项不符合题意； 二次函数的图象与轴的一个交点为， ， ， ， ， ，故选项符合题意； 函数的图象如图所示， 若直线与相交，其交点个数可能为或或，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，一次函数与二次函数图象综合判断，等式的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系是解题的关键． 10. 如图，在中，，直线经过点且垂直于．现将直线以的速度向右匀速平移，直至到达点时停止运动，直线与边交于点，与边（或）交于点．设直线移动的时间是，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积公式等知识点，掌握如何从图象中获取信息是解题的关键． 根据函数图象得到的面积最大时的长，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：依题意得：直线运动到点停止，且当直线运动到点时，的面积最大， 此时，，， ， ， 当时，， 在中， ， 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：___． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为： 【点睛】此题考查的是因式分解，掌握用提公因式法和完全平方公式因式分解是解决此题的关键． 12. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解问题．左右两端同时乘以最简公分母，得到整式方程，求得整式方程的解，再检验即可得解． 【详解】解：， 等式两端同时乘以最简公分母，得： ， 解得， 检验：将代回最简公分母，， 因此原方程的解为； 故答案为：． 13. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的解的定义，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 由二次函数图象经过两点和，得到，是方程的解，根据方程的解的定义及根与系数的关系得到，，据此即可求出答案． 【详解】解：二次函数的图象上有两点和， ，， 即，， ，是方程的解， ，， ， ． 14. 如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握点的坐标平移规律为“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据抛物线平移前后的顶点坐标即可判断出其平移方式，从而可得出平移后的点坐标． 【详解】解：抛物线平移前的顶点坐标为，平移后的顶点坐标为， 抛物线是向右平移了个单位，向上平移了个单位， 平移后的点坐标为，即， 故答案为：． 15. 如图，正六边形的边长为3，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积． 16. 如图，在中，，，以点A为圆心长度2为半径作弧，分别交边于两点，再分别以点为圆心，长度r为半径作弧交于点F，连接并延长交边于点G，点分别在边上，且，．下列说法：①射线平分；②；③；④．正确的有：______（填上所有符合要求的条件的序号） 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作已知角的角平分线，角平分线的性质，勾股定理．利用角平分线的作法，角平分线的性质，30度角的直角三角形的性质，勾股定理对选项逐一分析即可． 【详解】解：①根据作图痕迹知射线平分，故①说法正确； ②因为平分， ∴， ，， ，，， ，故②说法错误； ③、，， ，， ，故③说法错误； ④、，， ∴为等边三角形， ， ，故④说法正确； 故答案为：①④． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可； （2）将括号内的部分先通分，再将括号外的分式的分母利用平方差公式分解因式，然后将除法运算转化为乘法运算，约分后即可得解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，分式的混合运算，利用平方差公式分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能灵活运用是解题的关键． 18. 新春佳节，临沂琅琊古城吸引了众多外地市民前来寻找年味，快乐过节．作为山东文旅开年的扛鼎之作，琅琊古城自年月日起正式开城迎客，为临沂市再添文旅新地标．某学习小组对景点演出中的校场演兵、国秀琅琊、扶摇云裳、只此琅琊，这四个节目开展我最喜欢的演出节目调查．随机调查了部分游客，每位游客必须且只能选择这四个节目中的一个，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： （1）本次共调查了______名游客；并将条形统计图补充完整； （2）组所对应的扇形圆心角为______度； （3）若某天游客达到万人次，则该天喜欢国秀琅琊表演的旅客人数约为多少人？ （4）若某游客从中任选两个表演节目来观看，恰好选到国秀琅琊和只此琅琊的概率为多少？ 【答案】（1），图见解析 （2） （3）万 （4） 【解析】 【分析】（1）先由节目的人数及其所占百分比可得总人数，于是可求出节目的人数，据此即可补全条形统计图； （2）由节目的人数和总人数可求出节目人数所占百分比，进而可求出其对应的扇形圆心角； （3）由节目的人数和总人数可求出节目人数所占百分比，利用样本估计总体即可求出该天喜欢国秀琅琊表演的旅客人数； （4）利用树状图得出所有可能，进而求出概率． 【小问1详解】 解：由图可知，节目的人数为，其所占百分比为， 游客总人数（名）， 故答案为：； 节目的人数游客总人数节目的人数节目的人数节目的人数 （名）， 故补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：节目人数所占百分比节目的人数总人数 ， 组所对应的扇形圆心角， 故答案为：； 【小问3详解】 解：节目人数所占百分比节目的人数总人数 ， 该天喜欢国秀琅琊表演的旅客人数（万）， 答：该天喜欢国秀琅琊表演的旅客人数约为万； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 恰好选到国秀琅琊和只此琅琊的概率为． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合应用，求扇形统计图的圆心角，用样本估计总体，树状图法求概率等知识点，利用条形统计图与扇形统计图得出正确信息是解题的关键． 19. 春节期间，乐乐一家去琅琊古城游玩．若买张单人门票，张普通通票花费元，若买张单人门票，张普通通票花费元． （1）单人门票和普通通票各多少元？ （2）乐乐一家门票花费预算不超过元，若贵宾通票比普通通票贵元，那么至多能买几张贵宾通票？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式，弄懂题意，找出等量关系是解题的关键． （1）设单人门票票价为，普通通票票价为，依据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设买张贵宾通票，则普通通票需要买张，依据题意列出一元一次不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设单人门票票价为，普通通票票价为， 依据题意列出二元一次方程组如下： ， 由，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 答：单人门票票价为元，普通通票票价为元； 【小问2详解】 解：贵宾通票票价为（元）， 设买张贵宾通票，则普通通票需要买张， 依据题意列出一元一次不等式如下： ， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 答：至多能买张贵宾通票． 20. 为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告． 测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告 活动课题 测量台儿庄古城城门楼高度 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 测角仪、皮尺等测量工具 方案示意图 测量步骤 如图② （1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； （2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°． 参考数据 sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5． 计算城门楼PO的高度（结果保留整数） 【答案】台儿庄古城城门楼的高度约为17米 【解析】 【分析】设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，利用锐角三角函数可得OP≈1.5OA＝1.5x米，在Rt△BOP中，利用锐角三角函数可得OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，然后列出方程，即可求解． 【详解】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米， 在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5， ∴OP≈1.5OA＝1.5x米， 在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8， ∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米， ∴1.5x＝0.8（x+10）， 解得：x＝， ∴OP≈1.5x＝1.5×≈17米， 答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意 ，准确构造直角三角形是解题的关键． 21. 如图为某游乐场摩天轮简化示意图，摩天轮最低端与地面的距离忽略不计，即可看作摩天轮与地面相切，摩天轮最外端圆的直径约为米．夜晚，小明坐在透明座舱旋转到点时用激光笔照射在摩天轮的点和最低点处，激光线交地面于点，当激光线经过圆心点时，交圆于点，交水平地面于点且于点． （1）求证：； （2）若米，求的长． 【答案】（1）证明：是圆的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）米 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质、垂线的性质、直角三角形的两个锐角互余可证得，再利用圆周角定理即可得证； （2）利用垂径定理求得，利用勾股定理求得，然后利用锐角三角函数求得，再次利用勾股定理求得，于是最终可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：圆的直径为米， 米， ，米， 米，， 米， ， 即， 米， 米， 米． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，圆周角定理，切线的性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握相关定理是解题的关键． 22. 如图，点，在反比例函数的图象上，连接，． （1）求反比例函数的解析式、直线的解析式和的值； （2）当时，请直接求出的取值范围； （3）在直线（直线上各点的纵坐标均为）上是否存在一点，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点的坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）把点，代入计算，即可求出反比例函数的解析式及的值；将，两点的坐标代入直线的解析式，可得关于，的二元一次方程组，解之，即可求出直线的解析式； （2）通过观察函数图象，可直接写出当，即直线在反比例函数图象下方时的取值范围； （3）根据可得，再分两种情况（点与点在同侧或异侧）进行讨论即可． 【小问1详解】 解：点，在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， ， ， 点，在直线上， 因而有， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意可知，直线与反比例函数的交点为，， 通过观察函数图象，可以发现：当位于点左侧与轴之间或位于点右侧时，直线在反比例函数图象下方， 当时，的取值范围为：或； 【小问3详解】 解：当点与点在同侧时， 如图，过点作，交直线于一点，则这个点即为点， 点到直线的距离平行线、之间的距离， 点到直线的距离平行线、之间的距离， 平行线、之间的距离处处相等， ， 设直线的解析式为， ， ， 又经过原点， ， 直线的解析式为， 点是直线与直线的交点， 点的坐标满足， 解得， ； 当点与点在异侧时， 点是直线与直线的交点， 点的坐标满足， 解得， ， 点的横坐标点的横坐标， ， 而点到直线的距离平行线、之间的距离， 点到直线的距离平行线、之间的距离， 平行线、之间的距离平行线、之间的距离， 由平行线分线段成比例定理可知： ， 点的横坐标点的横坐标， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，用待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，求不等式的解集，利用平行线之间的距离解决问题，三角形的面积公式，一次函数图象的平移问题，已知两点坐标求两点距离，平行线分线段成比例定理等知识点，根据题意作出辅助线，利用平行线之间的距离处处相等解答是解题的关键． 23. “快乐游玩、安全游玩”是各景区游玩的工作宗旨．某景区上午时开门迎接游客进入，下午禁止游客进入．据工作人员统计，上午时该景区已累计进入游客人，从此时开始陆续有游玩结束的游客离开．累计进入景区游客人数(单位：人)与累计离开景区游客人数(单位：人)随统计时间 (单位：h)变化的数据如下表所示： 统计时间x/h 1 2 3 4 累计进入景区游客人数y/人 累计离开景区游客人数z/人 0 探究发现，与，与x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． （1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； （2）预计几点钟时，景区内游客人数最多? （3）当景区内游客人数达到人时，将触发人流高峰黄色预警，问什么时间将触发人流高峰黄色预警? 直接写出答案． 【答案】（1）； （2）景区内游客人数最多 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数的解析式，二次函数图象及性质，熟练掌握求函数解析式的方法及二次函数的性质是解题的关键． （1）设，，用表格中的数据代入即可利用待定系数法求解； （2）设剩余人数为，则，即可得到剩余人数与时间的新函数关系，运用二次函数性质计算即可求解； （3）根据题意可得，解一元二次方程即可求解； 【小问1详解】 解：设，将，，代入得：， 解得：， ∴与的解析式为：； 设，将，代入得：， 解得：， ∴关于解析式为：． 【小问2详解】 设剩余人数为，则， ∵， 当时，最大， ∵ 当时，即开始统计， ∴当时，即景区内游客人数最多， 【小问3详解】 ∵， ∴当 时，， 整理得：， 解得：，（舍） ∵ 当时，即开始统计， ∴当时，即会将触发人流高峰黄色预警； 24. 在等腰中，，顶角度数为，点D是平面内一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，，． （1）如图1所示，当时，请直接写出线段与的数量关系： ； （2）如图2所示，当时，（1）中的结论还成立吗，并说明理由； （3）在（2）的前提下，若，，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）不成立，，见解析； （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得出，．证明．得出； （2）证明．由相似三角形的性质得出．则可得出结论； （3）过B作交所在直线于F，分两种情况，可证四边形是矩形，由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵，， ∴和都是等边三角形． ∴，，， 则， ∴． ∴． ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 不成立，； 理由：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴，． ∴． ∵， ∴和都是等腰直角三角形． ∴，，，则． ∴，． ∴． ∴． ∴； 【小问3详解】 过B作交所在直线于F． 如图1所示，由（2）知，， ∵， ∴ ∴四边形是矩形，设，则． 在中，， ∴， 解得（负值舍去）． ∴． 如图2所示，同理，四边形是矩形，设，则． 在中，， ∴， 解得（负值舍去）． ∴． 综上所述，的长或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质等，解题的关键是掌握等腰直角三角形三边的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $