1.2　怎样判定三角形相似(第2课时) 同步练习 2024-2025学年青岛版九年级数学上册

三　怎样判定三角形相似(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　利用两角分别相等判定两三角形相似 1.下列条件中,一定能判断两个等腰三角形相似的是 （ ） A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角 C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个70°的内角 2.如图,AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则图中相似三角形共有 （ ） 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3对 B.5对 C.6对 D.8对 3.(2024·梅州质检)在△ABC和△A'B'C'中,如果∠A=56°,∠B=28°,∠A'=56°,∠C'=28°,那么这两个三角形是否相似?答: ,理由是 . 4.(2024·武汉期末)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,D分别是BC,AC上的点,且∠AED=45°,求证:△ABE∽△ECD. 知识点2　判定两直角三角形相似 5. 如图,锐角△ABC的边AB,AC上的高CE和BF相交于点O,请写出图中的两对相似三角形　 　.  6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E是边AC上一点,且BE=BC,过点A作BE的垂线,交BE的延长线于点D,求证:△ADE∽△ABC. 7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,作DE⊥AC于E,F是AB中点,连EF交AD于点G. (1)求证:AD2=AB·AE; (2)若AB=3,AE=2,求的值. 【B层 能力进阶】 8.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是CD,BC上的点,若∠AEF=90°,则一定有 （ ） A.△ADE∽△AEF　 B.△ECF∽△AEF C.△ADE∽△ECF　 D.△ADE∽△ABF 9.如图,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为 （ ） A.8 B.10 C.12 D.14 10.(易错警示题·分类讨论遗漏情况) 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点P是AC的中点,过点P的直线l截下的三角形与△ABC相似,这样的直线l的条数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 11.如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长. 12.如图,AD和BE都是△ABC的高,相交于F点,连接DE. (1)求证:△CAB∽△CDE; (2)若点D是BC的中点,CE=6,BE=8,则AB的长为　　　　　.  【C层 创新挑战(选做)】 13.(模型观念、推理能力)如图,已知△ABC,∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC延长线于点P,Q. (1)求∠PAQ的度数; (2)若点M为PQ的中点,求证:PM2=CM·BM. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三　怎样判定三角形相似(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　利用两角分别相等判定两三角形相似 1.下列条件中,一定能判断两个等腰三角形相似的是 (C) A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角 C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个70°的内角 2.如图,AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则图中相似三角形共有 (C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3对 B.5对 C.6对 D.8对 3.(2024·梅州质检)在△ABC和△A'B'C'中,如果∠A=56°,∠B=28°,∠A'=56°,∠C'=28°,那么这两个三角形是否相似?答:△ABC∽△A'C'B',理由是两组角分别对应相等的两个三角形相似. 4.(2024·武汉期末)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,D分别是BC,AC上的点,且∠AED=45°,求证:△ABE∽△ECD. 【证明】∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠B=∠C=45°, ∵∠AEC=∠B+∠BAE, 即∠AED+∠CED=∠B+∠BAE, ∵∠AED=45°, ∴∠BAE=∠CED, ∴△ABE∽△ECD. 知识点2　判定两直角三角形相似 5. 如图,锐角△ABC的边AB,AC上的高CE和BF相交于点O,请写出图中的两对相似三角形　△ABF∽△ACE　△BOE∽△COF(答案不唯一)　.  6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E是边AC上一点,且BE=BC,过点A作BE的垂线,交BE的延长线于点D,求证:△ADE∽△ABC. 【证明】∵BE=BC,∴∠C=∠CEB, ∵∠CEB=∠AED,∴∠AED=∠C, ∵AD⊥BE,∴∠D=∠ABC=90°, ∴△ADE∽△ABC. 7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,作DE⊥AC于E,F是AB中点,连EF交AD于点G. (1)求证:AD2=AB·AE; (2)若AB=3,AE=2,求的值. 【解析】(1)∵AD⊥BC,DE⊥AC, ∴∠ADC=∠AED=90°, ∵∠DAE=∠DAC, ∴△DAE∽△CAD, ∴=, ∴AD2=AC·AE, ∵AC=AB,∴AD2=AB·AE. (2) 如图,连接DF. ∵AB=3,∠ADB=90°,BF=AF, ∴DF=AB=, ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=DC,∴DF∥AC, ∴===, ∴=. 【B层 能力进阶】 8.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是CD,BC上的点,若∠AEF=90°,则一定有 (C) A.△ADE∽△AEF　 B.△ECF∽△AEF C.△ADE∽△ECF　 D.△ADE∽△ABF 9.如图,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为 (B) A.8 B.10 C.12 D.14 10.(易错警示题·分类讨论遗漏情况) 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点P是AC的中点,过点P的直线l截下的三角形与△ABC相似,这样的直线l的条数是 (D) A.1 B.2 C.3 D.4 11.如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长. 【解析】∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠CBD, ∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠D=∠CBD,∴BC=CD,∵BC=4,∴CD=4, ∵∠D=∠ABD,∠CED=∠AEB, ∴△CDE∽△ABE,∴=, ∴=,∴CE=AE, ∵AC=6=AE+CE,∴AE=4. 12.如图,AD和BE都是△ABC的高,相交于F点,连接DE. (1)求证:△CAB∽△CDE; (2)若点D是BC的中点,CE=6,BE=8,则AB的长为　　　　　.  【解析】(1)∵AD,BE是△ABC的高, ∴∠ADC=∠BEC=90°, ∵∠C=∠C,∴△ACD∽△BCE, ∴=,即=, 又∵∠C=∠C,∴△CAB∽△CDE; (2)∵点D是BC的中点,AD⊥BC, ∴AB=AC, ∵在Rt△BEC中, CE=6,BE=8, ∴BC===10, ∴CD=BC=5, ∵△ACD∽△BCE, ∴=, ∴AD==, ∴AC===, ∴AB=AC=. 答案: 【C层 创新挑战(选做)】 13.(模型观念、推理能力)如图,已知△ABC,∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC延长线于点P,Q. (1)求∠PAQ的度数; (2)若点M为PQ的中点,求证:PM2=CM·BM. 【解析】(1)∵AP平分∠BAC, ∴∠PAC=∠BAC. 又∵AQ平分∠CAD,∴∠CAQ=∠CAD. ∴∠PAC+∠CAQ=∠BAC+∠CAD=(∠BAC+∠CAD). 又∵∠BAC+∠CAD=180°, ∴∠PAC+∠CAQ=90°,即∠PAQ=90°. (2)由(1)知∠PAQ=90°, 又∵M是线段PQ的中点, ∴PM=AM,∴∠APM=∠PAM. ∵∠APM=∠B+∠BAP,∠PAM=∠CAM+∠PAC,∠BAP=∠PAC, ∴∠B=∠CAM. 又∵∠AMC=∠BMA, ∴△ACM∽△BAM. ∴=, ∴AM2=CM·BM,即PM2=CM·BM. 学科网（北京）股份有限公司 $$