2024年中考数学二轮专题复习学案 ：圆综合拓展训练

圆综合提升专题巩固 例题1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G． （1）求证：AD平分∠CAB； （2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=1． ①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由； ②求⊙O的半径． 例题2、如图，AB、CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，且BE∥CD，过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC． （1）求证：BC平分∠ABP； （2）求证：PC2=PB•PE； （3）若BE﹣BP=PC=4，求⊙O的半径． 例题3、如左图，半圆O的直径AB＝6，AM和BN是它的两条切线，CP与半圆O相切于点P，并与AM，BN分别相交于C，D两点． （1）请直接写出∠COD的度数； （2）求AC·BD的值； （3）如图②，连接OP并延长并AM于点Q，连接DQ，试判断△PQD能否与△ACO相似．若能相似，请求AC︰BD的值；若不能相似，请说明理由． 随练1、如图，四边形ABCD是平形四边形，点B在以AD为直径的⊙O上，AD＝4，∠BAD＝45°，AF平分∠BAD交⊙O于点E，交BC于点F，连接BE、ED、BD． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：△ABF∽△BED； （3）求AF2的值． 随练2、如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长； （3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围． 随练3、如图1，是的外接圆，是直径，是外一点且满足，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求直径的长； （3）如图2，当时，与交于点，试写出、、之间的数量关系并证明． 随练4、平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B＝90°，AC＝2CE＝m，BC＝n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°） （1）当α＝0°时，连接DE，则∠CDE＝________°，CD＝________； （2）试判断：旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）若m＝10，n＝8，当α＝∠ACB时，求线段BD的长； （4）若m＝6，，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长． 随练5、如图1，点O在线段AB上，（不与端点A、B重合），以点O为圆心，OA的长为半径画弧，线段BP与这条弧相切与点P，直线CD垂直平分PB，交PB于点C，交AB于点D，在射线DC上截取DE，使DE＝DB，已知AB＝6，设OA＝r． （1）求证：OP∥ED； （2）当∠ABP＝30°时，求扇形AOP的面积，并证明四边形PDBE是菱形； （3）过点O作OF⊥DE于点F，如图2所示，线段EF的长度是否随r的变化而变化？若不变，直接写出EF的值；若变化，直接写出EF与r的关系． 例题1、如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G． （1）求证：FG是⊙O的切线； （2）若tanC＝2，求的值． 例题2、如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若，，求DE的长． 例题3、如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D （1）求证：AO平分∠BAC； （2）若BC=6，sin∠BAC=，求AC和CD的长。 例题4、如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M；P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA=PD，AD的延长线交⊙O于点E． （1）求证：弧BE=弧CE； （2）若ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5=0的两根，求BE的长； （3）若MA=6，sin∠AMF=，求AB的长． 例题5、如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长； （3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值． 随练1、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点G，过D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F，交AC于点E． （1）求证：BD=CD； （2）若AE=6，BF=4，求⊙O的半径； （3）在（2）条件下判断△ABC的形状，并说明理由． 随练2、如图，已知是的直径，与的两直角边分别交于点、，点是弧的中点，，连接． （1）求证：直线是的切线． （2）若，，求的值． 随练3、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE． （1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径 随练4、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）求证：PC=PF； （3）若tan∠ABC=，AB=14，求线段PC的长． 随练5、如图，在⊙O中，CD为O的直径，AB＝AC，AF⊥CD，垂足为F，射线AF交CB于点E． （1）如图①，求证：∠FAC＝∠ACB． （2）如图②，连接EO并延长交AC于点G，证明：AC＝2FG． （3）如图③，在（2）的条件下，若，四边形FECG的面积为，求AC的长． 拓展 拓展1、如图，已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E． （1）求证：CB平分∠ACE； （2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径． 拓展2、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：； （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN•MC的值． 拓展3、如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）求证：△PBD∽△DCA； （3）当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长． 拓展4、如图，弦BE与弦CD交于点G，点E为弧DC的中点，过点B的直线交DC延长线于点A，AB∥DE． （1）若AB＝AG，求证：AB是⊙O切线； （2）在（1）条件下，若，DE＝10，求⊙O的半径． （3）求证：AG2－BG2＝AC•AG． 拓展5、如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）求证：∠PCA=∠ABC； （3）过点A作AE∥PC交⊙O于点F，连接BE，若sin∠P= ，CF=5，求BE的长． 拓展6、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE． （1）求证：△ECF∽△GCE； （2）求证：EG是⊙O的切线； （3）延长AB交GE的延长线于点M，若，，求EM的值． 拓展7、已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2=EH•EA； （3）若⊙O的半径为5，sinA= ，求BH的长． 拓展8、如图1，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD且⊙O于点D，连结AD交DC于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）如图2，若将图1中的半径OB所在直线向上平移，交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，求证：∠C＝2∠A； （3）如图3，在（2）的条件下，若CD＝13，，求DE的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$