【暑期预习衔接】第八单元数学广角—数与形（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

第八单元数学广角-数与形 （知识梳理+专项练习） 亲子辅导  根据图形的变化找出数的变化规律，并能根据这一规律进行推广及应用 寓教于乐 1．指导孩子仔细观察图形的变化情况与相对应的数的计算变化规律。 2．亲子互动：家长根据生活和生产中遇到的图形变化规律，指导孩子找出它的计算规律。如：出示一个正方形，你想到了什么？（可想到边、角的特点；对称轴条数、面积和周长的计算方法等等）。 一、选择题 1．甲住一楼，乙住三楼，丙住五楼。昨天下午，甲先到乙家，等乙扫完地后他们去找丙；刚上五楼就遇到了丙，于是三人立即一起下楼去玩。下面（    ）比较准确地描述了甲的活动。 A． B． C． D． 2．如图是一组有规律的图案，第1个图案中有8个小正方形，第2个图案中有12个小正方形，第3个图案中有16个小正方形……依此规律若第n个图案中有240个小正方形，则n的值为（    ）。 A．48 B．50 C．59 D．60 3．用6根小棒可以拼成1个正六边形，用11根小棒可以拼成2个正六边形，用16根小棒可以拼3个正六边形，照这样拼下去，用46根可以拼（ ）个正六边形． A．6 B．7 C．8 D．9 4．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的是（    ）。 A．52＋32 B．82 C．52－32 5．观察下图，按照规律画下去，图⑥中应该有（ ）个白色的正方形。 A．78124 B．15625 C．15624 D．3124 6．用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第6个图形用了（    ）根小棒 A．20 B．24 C．25 二、填空题 7．找规律。 按上面的规律依次摆下去，摆第5个图形需要( )个，摆第10个图形需要( )个，摆第n个图形需要( )个。 8．照下图排列，请你写出第6幅图有( )个点。 9．观察思考。 如图，每个图案都是由一样大小的小三角形摆成的，仔细观察摆放规律，第六个图形的最底层有( )个小三角形，第六个图形一共有( )个小三角形。 10．下图中每个小正方形的边长是1cm，按以上规律继续画下去，则第五幅图阴影部分的面积是( )，如果画到第n幅图，阴影部分的面积是( )。 11．如图所示，每个三角形图都是由若干个小三角形组成。照这样的规律排列下去，第7个三角形图包含( )个小三角形，列出的算式是( )。 小三角形个数： 12．如果照下图这样排列下去，第5个图形中涂色的小三角形有( )个；第10个图形中涂色的小三角形有( )个，没有涂色的小三角形有( )个。 13．用小棒照下面的样子摆出三组图形。 (1)摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用( )根小棒，摆3个正方形要用( )根小棒。接着往下摆，摆到第4组时，要用( )根小棒。摆6个正方形用( )根小棒。 (2)摆n个正方形需要( )根小棒；当n＝100时，一共需要( )根小棒。 14．如图，一张桌子可坐4人，2张桌子拼起来可坐6人，3张桌子拼起来可坐8人。像这样( )张桌子拼起来可坐38人。 15．图①摆1个正方形用4根小棒，图②摆2个正方形用7根小棒，照这样摆下去，第50个图形需要用( )根小棒。 …… 三、判断题 16．判断。   。( ) 17．如图，像这样摆下去，摆n个正方形需要多少根小棒，用式子表示是4n。( ) …… 18．有一组数：1、2、5、10、17、26…根据这组数的排列规律，第8个数应是50。( ) 19．在一个扇形统计图中，经济作物的扇形圆心角是60度，则经济作物的面积占总面积的。　( ) 20．照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( ) 四、解答题 21．张伟在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接成一个图形，这个图形中可能有几个三角形？ 22．如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题． （1）请完成下列表格： 图 ① ② ③ ④ 顶点数（m） 4 7 8 10 边数（n） 6 9 区域数（f） 3 3 5 6 （2）根据表中的数值，写出平面图的 m、n、f 之间的关系； （3）如果一个平面图形有 20 个顶点和 11 个区域，求这个平面图形的边数． 23．用黑、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用黑瓷砖。（如图所示） （1）填写下列表格。想一想，这些数量之间有什么关系？ 大正方形每边的块数 3 黑瓷砖块数 8 （2）如果所拼的图形中，用了64块白瓷砖，那么，黑瓷砖用了多少块？ 24．六年级同学去春游，租了2只同样的大船和5只同样的小船，正好坐满100人．每只大船比小船多坐8人，每只小船可以坐多少人？ 25．观察下面点阵中的规律，回答下面的问题： ①方框内的点阵包含了（   ）个点。 ②照这样的规律，第12个点阵中应包含多少个点？ 我是这样想的： 26．用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。 （1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。 （2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（    ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（    ）根小棒。 27．用小棒摆正方形，列表如下： 正方形个数 摆成的图形 小棒的根数 1 4 2 7 3 10 4 13 …… …… …… （1）每多摆1个正方形，就增加（    ）根小棒。 （2）摆20个正方形需要多少根小棒？ 28．先填表,再作答． (1)将表格补充完整． 多边形 … 边数 3 4 5 6 … 内角和 180° 360° … (2)用式子表示多边形内角和与边数之间的关系． (3)一个八边形的内角和是多少度? 29．下面是六年级学生作息时间情况统计图． (1)请你算一算六年级学生每天上课时间和校内外活动时间分别是多少． (2)小学生每天的睡眠时间不能少于9小时,你觉得六年级学生睡眠时间安排合理吗? 30．张林带着他心爱的小狗去外婆家．他步行的速度是每分钟80米，小狗以每分钟200米的速度奔向了外婆家．小狗过了8分钟到达外婆家后又立刻返回，路上遇见张林后它又返回奔向外婆家…… 就这样它不停来回跑．当张林到达外婆家时，小狗总共跑了多少米？ 31．下图是由三角形构成的．     (1)填写下表．     图号 ① ② ③ ④ 白色三角形个数 黑色三角形个数 (2)照这样的规律画下去，第10个图形中有多少个白色三角形、多少个黑色三角形？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】首先甲家在一楼，所以在0时，甲的楼层为0，甲先到乙家，等乙扫完地后，所以在上升一个高度后要有横着的一段时间，等乙扫完地后，他们去找丙，楼层高度再增加，刚上五楼就遇到丙，于是三人立即一起下楼去玩，那么没有停留，没有横着的时间，楼层高度在下降直至为0。据此解答。 【详解】根据分析可知，较准确地描述了甲的活动的折线统计图是： 故答案为：B 【点睛】解答此题的关键是根据题意分析折线统计图，进而得出答案。 2．C 【分析】根据题意可知，第1个图案中有8个小正方形，第2个图案中有（8＋4）个小正方形，第3个图案中有（8＋4＋4）个小正方形，以此类推，第n个图案中[8＋4（n－1）]个小正方形，据此化简为4n＋4，若第n个图案中有240个小正方形，则4n＋4＝240，然后解出方程即可。 【详解】第n个图案中，小正方形个数： 8＋4（n－1） ＝8＋4n－4 ＝（4n＋4）个 4n＋4＝240 解：4n＋4－4＝240－4 4n＝236 4n÷4＝236÷4 n＝59 若第n个图案中有240个小正方形，则n的值为59。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 3．D 【详解】略 4．A 【分析】把算式1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1看作两部分，1＋3＋5＋7＋9和5＋3＋1，根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋7＋9＝52，5＋3＋1＝32，据此解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9）＋（5＋3＋1） ＝52＋32 ＝25＋9 ＝34 所以，与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的是52＋32。 故答案为：A 【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。 5．D 【分析】图1中白色正方形的个数是0个，图2中白色正方形的个数是4个，图3白色正方形的个数为5×4＋4＝24（个），图4白色正方形的个数为5×24＋4＝124（个），图5白色正方形的个数为5×124＋4＝624（个），图6白色正方形的个数为5×624＋4＝3124（个）。 【详解】根据分析可知，图⑥中应该有3124个白色的正方形。 故答案为：D 【点睛】解答此题的关键是根据图形的序数与白色正方形个数的关系找出计算的规律，然后根据解答。 6．C 【分析】图1用5根小棒摆成，图2用9根小棒摆成，图3用13根小棒摆成，仔细观察发现，每增加一个五六边形其小棒根数增加4根，所以可得第n个图形需要小棒5＋4（n－1）＝4n＋1根，据此即可解答问题。 【详解】由图可知： 图形1的小棍根数为5； 图形2的小棍根数为9； 图形3的小棍根数为13； … 由该搭建方式可得出规律：图形每增加1，小棍的个数增加4， 所以可以得出规律：搭第6个图形需要小棍根数为： 5＋4×（6－1） ＝5＋4×5 ＝5＋20 ＝25（根） 故答案为：C 【点睛】本题是一道关于图形变化规律型的，关键在于通过题中图形的变化情况，通过归纳与总结找出普遍规律求解即可。 7． 25 100 n2 【分析】通过观察图形可知，第1幅图有1个圆形，第2幅图有（2×2）个圆形，第3幅图有（3×3）个圆形，第4幅图有（4×4）个圆形……所以第n幅图有（n×n）个圆形。据此解答。 【详解】根据分析可知，5×5＝25（个） 10×10＝100（个） n×n＝n2（个） 摆第5个图形需要25个，摆第10个图形需要100个，摆第n个图形需要n2个。 【点睛】本题主要考查图形的规律，明确第n幅图的圆形数是（n×n）。 8．51 【分析】观察第一幅图有1个黑点，第一幅图有5个黑点，第三幅图有12个黑点，第四幅图有22个黑点，相邻两幅图黑点之间的差是5－1＝4，12－5＝7，22－12＝10，它们的差都是3，据此求出第6幅图黑点的个数即可。 【详解】第5幅图黑点的个数是：10＋3＋22＝35（个） 第6幅图黑点的个数是： 10＋3＋3＋35 ＝16＋35 ＝51（个） 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 9． 11 36 【详解】略 10． 15 n（n＋1）÷2 【分析】边长1cm的正方形面积是1cm2，观察可知，第几幅图，阴影部分的面积就从几依次加到1，据此分析。 【详解】5＋4＋3＋2＋1＝15（cm2） n＋（n－1）＋……＋3＋2＋1 ＝ n（n＋1）÷2（cm2） 第五幅图阴影部分的面积是15，如果画到第n幅图，阴影部分的面积是n（n＋1）÷2。 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 11． 49 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72 【分析】从图中可知，第1个图有1个小三角形，1＝12； 第2个图有4个小三角形，第1层1个，第2层3个，所以4＝1＋3，也可以写成4＝22；即1＋3＝22； 第3个图有9个小三角形，第1层1个，第2层3个，第3层5个，所以9＝1＋3＋5，也可以写成9＝32；即1＋3＋5＝32； …… 由此可得出第7个图包含小三角形的个数，并写出算式。 【详解】第7个三角形图包含49个小三角形； 列出的算式是：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72。 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 12． 15 55 66 【详解】【分析】根据观察，图中涂色三角形的个数分别是，1、1＋2、1＋2＋3…由此即可得出第n个图形涂色的小三角形的总个数为1＋2＋3＋…＋n；没有涂色的小三角形有1＋2＋3＋…＋n＋1，据此即可解答问题。 【解答】解：根据题干分析可得：第n个图形涂色的小三角形个数为1＋2＋3＋…＋n，没有涂色的小三角形个数为1＋2＋3＋…＋n＋1， 当n＝5时，1＋2＋3＋4＋5＝15（个） 当n＝10时，涂色小三角形有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55（个） 没有涂色小三角形有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＝66（个） 第5个图形中涂色的小三角形有15个；第10个图形中涂色的小三角形有55个，没有涂色的小三角形有66个。 13．(1) 7 10 16 19 (2) 3n＋1 301 【分析】（1）观察图形可知，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，摆4个正方形要用13根小棒……发现：每增加一个正方形，小棒的数量增加3根，据此找到规律，按此规律解答。 （2）摆1个正方形要用4根小棒，4＝3×1＋1； 摆2个正方形要用7根小棒，7＝3×2＋1； 摆3个正方形要用10根小棒，10＝3×3＋1； 摆4个正方形要用13根小棒，13＝3×4＋1； …… 规律：摆n个正方形要用（3n＋1）根小棒；按此规律解答。 【详解】（1）摆1个正方形要用4根小棒； 摆2个正方形要用小棒：4＋3＝7（根） 摆3个正方形要用小棒：7＋3＝10（根） 摆4个正方形要用小棒：10＋3＝13（根） 摆到第4组时，即摆5个正方形要用小棒：13＋3＝16（根） 摆6个正方形要用小棒：16＋3＝19（根） 摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒。接着往下摆，摆到第4组时，要用16根小棒。摆6个正方形用19根小棒。 （2）摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒； 当n＝100时 3n＋1 ＝3×100＋1 ＝300＋1 ＝301（根） 一共需要301根小棒。 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并用含字母的式子表示规律，然后按规律解题。 14．18 【分析】把桌子左右两边的人先单独算，则1张桌子就表示增加2人，n张桌子可以坐（2n＋2），据此解答即可。 【详解】当2n＋2＝38时，求得n＝18。 像这样18张桌子拼起来可坐38人。 【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到题中的规律。 15．151 【分析】观察图示可得，图①摆1个正方形用4根小棒，图②摆2个正方形时增加了3根小棒；图③摆3个小正方形时又增加了3根小棒；我们可以依据这种增长的趋势分析总结出图形的一般变化规律，再代入数值50，即可求得答案。 【详解】图①：4根 图②：（根） 图③：（根） 图形n： （根） 当时， （根） 【点睛】从第二个图形开始，正方形每增加1个，小棒就增加3根，故第n个图形，增加小棒的根数就是根，这就是本题存在的一般规律。当n的值为50时，只要将其带入这种规律计算即可。 16．× 【分析】根据题意可知，每个图依次增加两个苹果，据此判断即可。 【详解】根据题意可知，苹果的个数依次为2、4、6、8，最后一个图中苹果个数不对； 故答案为：×。 【点睛】根据题图找到规律是解答本题的关键。 17．× 【分析】由图可知，一个正方形需要4根小棒，两个小正方形需要（4＋3）根小棒，三个小正方形需要（4＋3＋3）根小棒，由此可以推断，除了第一个正方形需要4根小棒，之后每增加一个正方形只需要3根小棒，那么摆n个正方形只需要4＋3（n－1）根小棒，化简即可验证。 【详解】4＋3（n－1） =4＋3n－3 =3n＋1（根） 摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。 故答案为：× 【点睛】此题考查学生的归纳总结能力以及含有字母的式子的化简，找到题干中的排列规律是解题的关键。 18．√ 【分析】这组数据每相邻的两个数之间的差分别是1、3、5、7、9、11、13……，根据这个规律可以知道第七个数字和第八个数字分别是多少。 【详解】第七个数字： 第八个数字： 故答案为：√ 19．√ 【详解】【思路分析】因为圆周角是360°，经济作物的扇形圆心角是60度，说明经济作物占总面积的60°÷360°＝。据此解答即可。 【规范解答】解：由题意得：经济作物种植面积占总面积的：60°÷360°＝。 答：经济作物种植面积占总面积的。 故正确答案为：√ 【名师点评】本题考查扇形统计图及相关计算。在扇形统计图中，每部分占总部分的分率等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比值。 20．√ 【分析】由图可知，第1个图形一共有9个方块，可以写成：3×[3＋2×（1－1）]个方块； 第2个图形一共有15个方块，可以写成：3×[3＋2×（2－1）]个方块； 第3个图形一共有21个方块，可以写成：3×[3＋2×（3－1）]个方块； … 第n个图形一共有3×[3＋2×（n－1）]个方块； 第1个图形一共有1个黑色方块，第2个图形一共有2个黑色方块，第3个图形一共有3个黑色方块……则第n个图形有n个黑色方块； 白色方块的数量＝方块的总数量－黑色方块的数量，据此求出第10个图形中黑色方块和白色方块，再进行比较，即可解答。 【详解】根据分析可知，第10个图形方块有： 3×[3＋2×（10－1）] ＝3×[3＋2×9] ＝3×[3＋18] ＝3×21 ＝63（个） 黑色方块有10个； 白色方块有：63－10＝53（个） 照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。 原题干说法正确。 故答案为：√ 21．8个  4个  3个  0个 【解析】略 22．（1）12，15； （2）m+f-1=n； （3）20+11-1=30 【详解】略 23．（1）4，5，6，7   12，16，20，24 （2）36块 【分析】（1）大正方形每边的块数每增加1块，所用的黑瓷砖块数就增加4块； （2）白瓷砖的总块数是每个边上的块数的平方，而黑瓷砖的总数量是白瓷砖一边的数量加1的四倍。 【详解】（1） 大正方形每边的块数增加1块，所用的黑瓷砖数就增加4块； （2）64＝8×8； （8＋1）×4 ＝9×4 ＝36（块）； 答：黑瓷砖用了36块。 【点睛】解答本题的关键是根据图形找到规律，再根据规律来求解。 24．12人． 【详解】试题分析：设每只大船坐x人，那么每只小船就坐x﹣8人，大船可坐2x人，小船可坐5×（x﹣8）人，再根据两船可坐总人数是100人可列方程：2x+5×（x﹣8）=100，依据等式的性质即可求解． 解：设每只大船坐x人，则每只小船就坐x﹣8人，根据题意得： 2x+5×（x﹣8）=100 2x+5x﹣40=100 7x﹣40+40=100+40 7x÷7=140÷7 x=20 20﹣8=12（人） 答：每只小船可坐12人． 【点评】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可． 25．①13； ②34个；我是这样想的：竖直方向的点与序列号相同，两个斜线上的点数比序列号少1，所以第12个点阵中应包含12＋11＋11＝34（个）。 【分析】①第（1）个点阵有1个点，第（2）点阵有4个点，第（3）个点阵有7个点，第（4）个点阵有10个点，从第（2）开始，每一个点阵比前一个多3个点，则第（5）有10＋3＝13个点。 ②竖直方向的点与序列号相同，两个斜线上的点数比序列号少1，所以第12个点阵中应包含12＋11＋11＝34 （个）。 【详解】①方框内的点阵包含了13个点。 ②12＋11＋11＝34 （个）；我是这样想的：竖直方向的点与序列号相同，两个斜线上的点数比序列号少1，所以第12个点阵中应包含12＋11＋11＝34 （个）。 【点睛】本题主要考查学生的观察和分析问题的能力。 26．（1）见详解； （2）50；7n＋1 【分析】（1）由图可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要（8＋7）根小棒，摆3个八边形需要（8＋7×2）根小棒，摆4个八边形需要（8＋7×3）根小棒…… （2）由（1）可知，每增加一个八边形需要增加7根小棒，摆n个八边形需要[8＋（n－1）×7]根小棒，求出当n＝7时式子的值就是摆7个八边形需要小棒的数量，据此解答。 【详解】（1）分析可知： （2）摆n个八边形需要小棒的根数为：8＋（n－1）×7 ＝8＋7n－7 ＝（7n＋1）根 当n＝7时。 7n＋1 ＝7×7＋1 ＝49＋1 ＝50（根） 所以，摆7个八边形需要50根小棒，如果想摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。 【点睛】分析图形找出八边形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。 27．（1）3； （2）61根 【分析】由列表可知，摆1个小正方形需要4根小棒；摆2个小正方形需要（4＋3）根小棒；摆3个小正方形需要（4＋3＋3）根小棒；摆4个小正方形需要（4＋3＋3＋3）根小棒…… 摆n个小正方形需要4＋（n－1）×3根小棒；把n＝20代入含有字母的式子计算出结果即可。 【详解】（1）每多摆1个正方形，就增加（3）根小棒。 （2）分析可知摆n个小正方形需要4＋（n－1）×3＝3n＋1根小棒 当n＝20时 3n＋1＝3×20＋1＝61（根） 答：摆20个正方形需要61根小棒。 【点睛】分析列表找出图形变化的规律，并用含有字母的式子表示出规律是解答题目的关键。 28．(1)540°；720° (2)(n-2)×180° (3)1080° 【解析】略 29．(1)6小时 4.08小时 (2)合理 【详解】(1)24×25%=6(小时)，24×17%=4.08（小时） （2）24×41.5%=9.96(小时)，9.96>9，安排合理． 30．200×8÷80×200＝4000（米） 【解析】略 31．(1) 图号 ① ② ③ ④ 白色三角形个数 0 1 3 6 黑色三角形个数 1 3 6 10 (2) 45个   55个 【详解】(2)白色三角形：0＋1＋2＋…＋9＝45(个) 黑色三角形：1＋2＋3＋…＋10＝55(个) 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$