精品解析：2024年河南省郑州市九年级第三次中招数学模拟预测卷（三）

2024河南省郑州市九年级第三次中招模拟预测卷（三） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，共30分） 1. 如图，点、表示的实数互为相反数，则点表示的实数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0即可求解． 【详解】解：因为数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是-2， 所以点B表示的数是2， 故选：A． 【点睛】此题考查了相反数的性质，数轴上两点间的距离，解题的关键是利用数形结合思想解答． 2. 2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】解：4.59亿． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为，其中，确定与的值是解题的关键． 3. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据三视图中主视图的定义即可判断． 【详解】根据几何体三视图中主视图的定义； 正方体的主视图是矩形，不符合题意； 圆柱体的主视图是矩形，不符合题意； 圆锥的主视图是三角形，符合题意； B、球的主视图是圆，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了几何体的三视图的主视图，解题的关键是：掌握三视图中主视图的定义，是由正面往后看． 4. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，即可求解． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、当时，，则，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形内角和为可得，再根据直角三角形的性质可得，进而可得的和． 【详解】解：四边形的内角和为，直角三角形中两个锐角和为 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，本题是一道根据四边形内角和为和直角三角形的性质求解的综合题，有利于锻炼学生综合运用所学知识的能力． 6. 下列一元二次方程有实数解的是（　　） A. 2x2﹣x+1＝0 B. x2﹣2x+2＝0 C. x2+3x﹣2＝0 D. x2+2＝0 【答案】C 【解析】 【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断． 【详解】A选项中，，故方程无实数根； B选项中，，故方程无实数根； C选项中，，故方程有两个不相等的实数根； D选项中，，故方程无实数根； 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键． 7. 如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（　　） A. （2，7） B. （3，7） C. （3，8） D. （4，8） 【答案】A 【解析】 【详解】过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°， ∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°， ∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO， ∴， ∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1， ∴OA=3，CD：AD=，∴CE=OD=2，DE=OA=1， ∴OE=7，∴C（2，7）， 故选A． 8. 为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求出免一次作业对应区域的面积，再根据投中“免一次作业”的概率免一次作业对应区域的面积大圆面积进行求解即可. 【详解】解：由题意得，大圆面积为， 免一次作业对应区域的面积为， ∴投中“免一次作业”的概率是， 故选B． 【点睛】本题主要考查了几何概率，扇形面积，正确求出大圆面积和免一次作业对应区域的面积是解题的关键． 9. 已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　　 A. 1或 B. -或 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a． 【详解】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量）， ∴对称轴是直线x=-=-1， ∵当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0， ∵-2≤x≤1时，y的最大值为9， ∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9， ∴3a2+3a-6=0， ∴a=1，或a=-2（不合题意舍去）． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 10. 如图，菱形的边长是4厘米，，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记的面积为S厘米，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键． 应根据和两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解． 【详解】解：作于点E， 当时， ， ， ； 当时，作于N，作于M， ， ， ， ； 只有选项D图形符合． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 函数的自变量x的取值范围是______． 【答案】x≤3 【解析】 【详解】由题意可得，3-x≥0， 解得x≤3． 故答案为：x≤3． 12. 如图，在中，，则的度数为___________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 13. 如图，一次函数y＝x＋2的图像与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据∠OPC＝45°，PC＝PO，证明∠BPC=∠AOP，从而证明△BPC≌△AOP，得到PB=AO=2，过点P作PD⊥y轴，求得PD，BD，DO，根据点所在象限即可确定点P的坐标． 【详解】∵一次函数y＝x＋2的图像与坐标轴分别交于A，B两点， ∴A（-2，0），B（0，2）， ∴OA=OB， ∴∠PAO=∠CBP=45°， ∵∠OPC＝45°，PC＝PO， ∴∠PCO=∠COP=67.5°， ∴∠BPC=∠AOP=22.5°， ∴△BPC≌△AOP， ∴PB=AO=2， 过点P作PD⊥y轴，垂注为D， 则PD=BD==， ∴DO=OB-BD=2-， ∵点P在第二象限， ∴点P（，）， 故答案为：（，）． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与象限和线段之间的关系，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点确定，灵活运用三角形全等的判定和性质是接退的关键． 14. 如图，A点坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐 标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_____________． 【答案】（1，1）或（4，4） 【解析】 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示， ∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3）， ∴E点的坐标为（1，1）； ②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示， ∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3）， ∴M点的坐标为（4，4）． 综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）． 故答案为（1，1）或（4，4）． 15. 在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作交的延长线于点G，求出，然后由旋转的性质可知点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线的距离最大，求出距离的最大值，然后计算即可． 【详解】解：如图，在中，，，点是斜边的中点， ∴，，， ∴， 过点A作交的延长线于点G， ∴， 又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动，， ∴点F到直线的距离的最大值为，（如图，G、A、F三点共线时） ∴面积的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，圆的基本性质等知识，根据旋转的性质求出点F到直线距离的最大值是解答本题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． （3）设 化简； 当时，记此时的值为，当时，记此时的值为； 解关于的不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），；（2）；（3）①，②，详见解析 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，解二元一次方程组，分式的化简求值，解一元一次不等式等： （1）先计算平方差、单项式乘多项式，再合并同类项，最后将代入求值； （2）将方程组中的两个方程相减，可得，再根据得出关于k的不等式，解不等式即可； （3）先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，约分化简即可； 根据中结论，通过裂项相消法计算出的值，求出不等式的解集，最后在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：， 当时， 原式； （2）解： 得：， ， ， ， 解得：； （3）解： ； 时，， 时，， 时，， …… 时，， ， ， ， ， 解得：， 原不等式的解集是，在数轴上表示如下所示， 17. 目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． （1）根据图中信息求出m=　 　，n=　 　； （2）请你帮助他们将这两个统计图补全； （3）根据抽样调查结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？ （4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”D同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 【答案】（1）100、35； （2）补图见解析； （3）800人；（4） 【解析】 【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值； （2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形； （3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案； （4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得． 【详解】（1）∵被调查的总人数m=10÷10%=100人， ∴支付宝的人数所占百分比n%=×100%=35%，即n=35， （2）网购人数为100×15%=15人，微信对应的百分比为×100%=40%， 补全图形如下： （3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%=800人； （4）列表如下： 共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种， 所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：___________度，___________度； （2）求楼的高度（结果保留根号）； （3）求此时无人机距离地面的高度． 【答案】（1）75；60 （2）米 （3）110米 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求； （2）在中，求出DE的长度再根据计算即可； （3）作于点G，交于点F，证明即可． 【小问1详解】 过点A作于点E， 由题意得： ∴ 【小问2详解】 由题意得：米，． 在中，， ∴， ∴ ∴楼的高度为米． 【小问3详解】 作于点G，交于点F， 则 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴（AAS）． ∴． ∴ ∴无人机距离地面的高度为110米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 19. 如图，为的直径，点C是上一点，点D是外一点，，连接交于点E． （1）求证：是的切线． （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论； （2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根据OF∥AC，得到，证得OF为△ABC的中位线，求出OF及EF，即可求出的值． 【小问1详解】 证明：连接OC， ∵为的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠OCB=90°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO, ∵， ∴∠BCD=∠ACO， ∴∠BCD+∠OCB=90°， ∴OC⊥CD， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：过点O作OF⊥BC于F， ∵， ∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x， ∴BE=BC-CE=1.5x， ∵∠C=90°， ∴AC=， ∵OA=OB，OF∥AC， ∴， ∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x， ∴OF为△ABC的中位线， ∴OF=， ∴=． 【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键． 20. 如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣＝0的解； （3）求△AOB的面积； （4）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝﹣，一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；（2）x1＝﹣4，x2＝2；（3）6；（4）﹣4＜x＜0或x＞2 【解析】 【分析】（1）把B（2，-4）代入反比例函数y=得出m的值，再把A（-4，n）代入一次函数的解析式y=kx+b，运用待定系数法求其解析式； （2）经过观察可发现所求方程的解应为所给函数的两个交点的横坐标； （3）先求出直线y=-x-2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算； （4）观察函数图象得到当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象下方，即使kx+b-＜0. 【详解】解：（1）∵B（2，﹣4）在y＝上， ∴m＝﹣8． ∴反比例函数的解析式为y＝﹣． ∵点A（﹣4，n）在y＝﹣上， ∴n＝2． ∴A（﹣4，2）． ∵y＝kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4）， ∴． 解得：． ∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2． （2）∵A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点， ∴方程kx+b﹣＝0的解是x1＝﹣4，x2＝2． （3）∵当y＝0时，x＝﹣2． ∴点C（﹣2，0）． ∴OC＝2． ∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝×2×4+×2×2＝6； （4）∵当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象下方 ∴不等式kx+b﹣＜0的解集为﹣4＜x＜0或x＞2． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求解析式以及函数图像交点的意义的解题的关键. 21. 为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批、两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套型一体机. （1）求今年每套型、型一体机的价格各是多少万元 （2）该市明年计划采购型、型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套型一体机的价格比今年上涨25%，每套型一体机的价格不变，若购买型一体机的总费用不低于购买型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 【答案】（1）今年每套型的价格各是1.2万元、型一体机的价格是1.8万元；（2）该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划． 【解析】 【分析】(1)直接利用今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套型一体机，分别得出方程求出答案； (2)根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案． 【详解】(1)设今年每套型一体机的价格为万元，每套型一体机的价格为万元， 由题意可得：， 解得：， 答：今年每套型的价格各是1.2万元、型一体机的价格是1.8万元； (2)设该市明年购买型一体机套，则购买型一体机套， 由题意可得：， 解得：， 设明年需投入万元， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最小值， 故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确找出等量关系是解题关键． 22. 如图在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和． （1）求此二次函数的表达式； （2）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）分别求出图象对称轴及时x的值，结合图象即可得到x的取值范围． 【小问1详解】 将（1，0）和代入中，得 ， 解得， ∴此二次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵， ∴图象对称轴为直线， ∵图象与y轴交点为， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，或． 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，配方法将函数解析式化为顶点式，确定函数图象的顶点坐标，对称轴，利用函数图象求函数值，熟记二次函数的性质是解题的关键． 23. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展． （1）温故：如图，在中，于点，正方形的边在上，顶点，分别在，上，若，，求正方形的边长． 操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在怎样解题中的方法进行操作：如图，任意画，在上任取一点，画正方形，使，在边上，在内，连结并延长交于点，画于点，交于点，于点，得到四边形小波把线段称为“波利亚线”． （2）推理：证明图中的四边形是正方形． 拓展：在（2）的条件下，在射线上截取，连结，如图当时，猜想的度数，并尝试证明． 请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题． 【答案】（1）温故： （2）推理：详见解析；拓展：，详见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、正切的应用等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）推理：由题意得四边形是矩形，，可证，即可求解；拓展：设，，则，，，可得，进一步证即可； 【小问1详解】 解：如图中， ， ， ，即， 解得． 【小问2详解】 解：能画出这样的正方形，如图中，正方形即为所求． 推理：证明：如图中， 由画图可知：， 四边形是矩形，， ， ， 同理可得：， ， ， ， 四边形是正方形． 拓展：如图中，结论：． 理由：由，可以假设，，则，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024河南省郑州市九年级第三次中招模拟预测卷（三） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，共30分） 1. 如图，点、表示的实数互为相反数，则点表示的实数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 2. 2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ） A B. C. D. 6. 下列一元二次方程有实数解的是（　　） A. 2x2﹣x+1＝0 B. x2﹣2x+2＝0 C. x2+3x﹣2＝0 D. x2+2＝0 7. 如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（　　） A （2，7） B. （3，7） C. （3，8） D. （4，8） 8. 为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（ ） A B. C. D. 9. 已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　　 A. 1或 B. -或 C. D. 1 10. 如图，菱形的边长是4厘米，，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记的面积为S厘米，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 函数的自变量x的取值范围是______． 12. 如图，在中，，则的度数为___________． 13. 如图，一次函数y＝x＋2的图像与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为______． 14. 如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐 标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_____________． 15. 在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． （3）设 化简； 当时，记此时的值为，当时，记此时的值为； 解关于的不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 17. 目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． （1）根据图中信息求出m=　 　，n=　 　； （2）请你帮助他们将这两个统计图补全； （3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？ （4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”D同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 18. 无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：___________度，___________度； （2）求楼的高度（结果保留根号）； （3）求此时无人机距离地面的高度． 19. 如图，为的直径，点C是上一点，点D是外一点，，连接交于点E． （1）求证：是的切线． （2）若，求的值． 20. 如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣＝0的解； （3）求△AOB的面积； （4）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集． 21. 为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批、两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套型一体机. （1）求今年每套型、型一体机价格各是多少万元 （2）该市明年计划采购型、型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套型一体机的价格比今年上涨25%，每套型一体机的价格不变，若购买型一体机的总费用不低于购买型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 22. 如图在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和． （1）求此二次函数的表达式； （2）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 23. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展． （1）温故：如图，在中，于点，正方形的边在上，顶点，分别在，上，若，，求正方形的边长． 操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在怎样解题中的方法进行操作：如图，任意画，在上任取一点，画正方形，使，在边上，在内，连结并延长交于点，画于点，交于点，于点，得到四边形小波把线段称为“波利亚线”． （2）推理：证明图中的四边形是正方形． 拓展：在（2）的条件下，在射线上截取，连结，如图当时，猜想的度数，并尝试证明． 请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$