错位相减法数列求和专项训练-2025届高三数学一轮复习

数列：错位相减法求和专项训练 数列：错位相减法求和专项训练 1．（2024·广东佛山·二模）已知数列和等差数列的前n项和分别为，，且，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 2．（2024·广东广州天河区·二模）已知数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)令，记为的前项和，证明：时，. 3．（2024·广东广州·二模）已知等差数列的前项和为，且为等差数列． (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：． 4．（2024·湖南邵阳·一模）设数列满足：.等比数列的首项，公比为2. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 5．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列的前n项和为，且，，设． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 6．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 7．（2024·福建漳州·二模）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意，求的最小整数值． 8．（2024·福建龙岩·一模）设等差数列的公差为，令，记分别为数列的前项和. (1)若，求数列的通项公式； (2)若数列是公比为正数的等比数列，，，求数列的前项和. 9．（2024·河北衡水·三模）已知数列满足：． (1)请写出的值，给出一个你的猜想，并证明； (2)设，求数列的前项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列：错位相减法求和专项训练 数列：错位相减法求和专项训练 1．（2024·广东佛山·二模）已知数列和等差数列的前n项和分别为，，且，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）由，得，即，解得，则， 设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以数列的通项公式为； 由，得当时，，两式相减得，即， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）及，得， 令数列的前n项和为， 则， 于是， 两式相减得， 所以. 2．（2024·广东广州天河区·二模）已知数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)令，记为的前项和，证明：时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， 作差可得，变形为，即，即，化简为， 因为，所以， 因为， 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以，， 作差可得， 所以， ， 设，则在给定区间上递减，又 故在是减函数，， 所以当时，. 3．（2024·广东广州·二模）已知等差数列的前项和为，且为等差数列． (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为等差数列中，，又， 所以，即①， 因为为等差数列，所以， 令时，，即，则②， 结合①②，解出，则， 所以的通项公式为． （2）由题设得，即， 所以①， 则②， 由①-②得：， 所以， 因为，所以，所以，即证． 4．（2024·湖南邵阳·一模）设数列满足：.等比数列的首项，公比为2. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. . . 即. 当时，，满足上式. ， 根据等比数列的首项，公比为2， 可知. （2）由（1）知：. ， . . . 5．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列的前n项和为，且，，设． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），即， 即，则，即， 即，又， 故数列是以为首项、以为公比的等比数列. （2）由（1）易得，即，则， 则， 有， 则 ， 故. 6．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）时，，即. 又，也符合， 所以时，，即. 又，所以， 所以，所以数列成等比数列. （2）由（1）易得.由可得，所以. 所以， 所以. 令， 则， 所以， 所以. 7．（2024·福建漳州·二模）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意，求的最小整数值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）因为，① 当时，，② ①②得， 即． 当时，也符合上式， 所以． （2）因为，所以， 令， 所以， 两式相减得， 所以． 因为，所以， 所以，故的最小整数值为1． 8．（2024·福建龙岩·一模）设等差数列的公差为，令，记分别为数列的前项和. (1)若，求数列的通项公式； (2)若数列是公比为正数的等比数列，，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，， 即，， ， 又，， ， ，解得:或， 又. （2）设数列公比为， ，， ，又， ， ， . ，① ，② ①②:， ， . 9．（2024·河北衡水·三模）已知数列满足：． (1)请写出的值，给出一个你的猜想，并证明； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，，猜想是以1为首项，为公比的等比数列，证明见解析 (2) 【详解】（1）解：因为，可得，，， 因此猜想是以1为首项，为公比的等比数列； 下面证明： 因为，即， 又因为，故是以1为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为． （2）解：由（1）知，当时，， 累加得， 所以， 当时，满足题意，所以对成立； 故，可得 其中， 设，则， 两式相减得，即， 综上可得，数列的前项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$