精品解析：浙江省温州市某职业高中2022-2023学年高三上学期第一次返校考数学试题

2022年温州市某职校高三返校考测试卷 姓名____________ 准考证号____________ 本试题卷共三大题，共4页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸上. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分） 在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或未涂均不得分. 1. 已知集合，，则如图阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. 且 B. C. D. 4. 5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同的选择方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 如图，已知点M是的边BC的中点，点E在边AC上，且EC=2AE，则（ ） A. B. C. D. 6. 若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则此圆弧所对圆心角的弧度值为（ ） A. B. C. D. 7. 若角满足，则角必不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 直线的斜率为（ ） A. 1 B. C. 不存在 D. 0 9. 方程所表示的曲线为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 线段 10. 已知平面，且，，则直线与直线（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 没有公共点 11. “”是“直线与直线互相平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 已知为实数，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 13. “龟与兔竞走，兔行速，中道而眠，龟行迟，努力不息.及兔醒，则龟已先至矣.”下列函数图象可以体现这一故事过程的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，动点Р在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从运动到点，第2次从运动到点，第3次从运动到点，…，依此运动规律，经过2020次运动后，动点P的纵坐标是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2020 15. 从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于30的概率为（ ） A. B. C. D. 16. 已知，则（ ） A. B. C. D. 17. 已知点，且，则点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 18. 要得到函数的图像只需将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 19. 对于任意实数，直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上三项均有可能 20. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 若，则的最小值为___________. 22. 已知定义域为的函数的图象关于轴对称，且当时函数是增函数，则___________（填“>”“<”或“=”）. 23. 在数列中，若，且，则___________. 24. 的展开式中倒数第三项的系数是___________. 25. 已知，则___________. 26. 已知动圆过定点，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为___________. 27. 如图所示，有一个“倒圆锥形”容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放置一个半径为3cm的铁球，再注满水，水刚好漫过球体，则此时该容器中水的体积为___________. 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤. 28. 计算：. 29. 对符号作如下规定：，已知函数. （1）求的值； （2）点，为函数图象上相邻的两个最高点，点为图象上的某个最低点，求的面积. 30. 已知圆C的圆心坐标为，且与直线：相切. （1）求圆的标准方程； （2）将直线向上平移1个单位得到直线，求被圆所截得的弦长. 31. 按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，用来表示餐桌的张数，用来表示可坐人数. （1）求和. （2）若，求数列的前项和. 32. 如图所示，在直三棱柱中，已知，，，且二面角的大小为.. （1）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑（biēnào）”，试判断三棱锥是否为“鳖臑”，并求其表面积； （2）求直线与平面所成的角的正切值. 33. 在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）求角的大小； （2）若的面积为2，求a，b，c的值. 34. 某家电超市计划从厂家采购甲、乙两种型号的空调共20台：甲空调的采购单价（元/台）与采购数量（台）满足；乙空调的采购单价（元/台）与采购数量（台）满足. （1）经家电超市与厂家协商，采购甲空调的数量不少于乙空调数量的，且甲空调的采购单价不低于元，问该家电超市共有几种进货方案? （2）该家电超市计划分别以元/台和元/台的销售价格售出甲、乙两种型号的空调，且能全部售完，在（1）的条件下，问甲、乙两种型号的空调各采购多少台时总利润最大?并求最大利润. 35. 已知椭圆. （1）若直线与椭圆有公共点，求的取值范围； （2）求椭圆上的点到直线的最短距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年温州市某职校高三返校考测试卷 姓名____________ 准考证号____________ 本试题卷共三大题，共4页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸上. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分） 在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或未涂均不得分. 1. 已知集合，，则如图阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合的元素，然后求出题干中阴影部分表示的集合，即可得到结果. 【详解】已知集合，即， 又集合， 题干中阴影部分表示的集合的元素在集合中， 但不在集合中，即为：. 故选：C. 2. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据不等式的解集求得参数，再代入不等式求解. 【详解】不等式可化为，即， 题目已知，的解集为， ∴，，得到， 故，不等式为， 此时，的解集为. 故选：D. 3. 函数的定义域为（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据要使函数有意义，则分母不为0，真数大于0，且即可求解. 【详解】由题意得，，解得. 故函数定义域为. 故选：B. 4. 5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同的选择方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】按分步计数原理可求解. 【详解】解：由于5个人中每个人都有3种选择， 按分步计数原理，不同的休息方案种数是（种）. 故选：B. 5. 如图，已知点M是的边BC的中点，点E在边AC上，且EC=2AE，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为点是边的中点，. 所以. 故选：C. 6. 若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则此圆弧所对圆心角的弧度值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆的直径和正方形边长的关系，再由弧度公式求解即可. 【详解】设圆的直径为2r，则圆的内接正方形的边长为， 因为圆弧长度等于圆内接正方形的边长， 所以圆弧的长度为， 所以圆心角的弧度为. 故选：D. 7. 若角满足，则角必不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的符号与角的象限的关系，根据特殊情况，进而求解 【详解】当为第一象限角时，， 此时 故选：A 8. 直线的斜率为（ ） A. 1 B. C. 不存在 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线倾斜角的定义分析即可. 【详解】因为直线，即， 与x轴平行，斜率为0. 故选：D. 9. 方程所表示的曲线为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 线段 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程表示的几何意义可判断结论. 【详解】因为方程表示动点到两定点的距离之和为常数8，且， 即， 所以方程所表示的曲线为线段. 故选：D. 10. 已知平面，且，，则直线与直线（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 没有公共点 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面平行的性质即可得解. 【详解】由题意得直线与直线平行或异面，所以没有公共点. 故答案为：D 11. “”是“直线与直线互相平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线平行的性质得到，从而利用充要条件的证明方法即可得解. 【详解】当直线与直线互相平行时， 则，即，解得或， 当时，即，可化为， 而即， 此时直线与直线重合，不满足题意； 当时，即，可化为， 而即，可化为， 此时直线与直线互相平行，满足题意； 综上，，此时，即必要性成立； 当时，取，由上知此时两直线重合，即充分性不成立； 所以“”是“直线与直线互相平行”的必要不充分条件. 故选：B. 12. 已知为实数，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质，取特殊值判断即可. 【详解】已知a为实数， 当时，，故错误， 当时，，故错误， 当时，，故错误， 因为，所以，故C正确 故选：C 13. “龟与兔竞走，兔行速，中道而眠，龟行迟，努力不息.及兔醒，则龟已先至矣.”下列函数图象可以体现这一故事过程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干图形，对图像逐一进行分析，最终得出结果. 【详解】A中，兔子先到达终点，不合题意； B中，兔子与乌龟同时到达终点，不合题意； D中，乌龟的速度大于兔子的速度，不合题意； B中，在开始行驶的时候，兔子比乌龟的速度快，中途兔子在睡眠，所以路程停止，时间继续. 后来兔子醒来之后开始加速，但最终乌龟领先于兔子到达终点，符合题意. 故选：B. 14. 如图，动点Р在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从运动到点，第2次从运动到点，第3次从运动到点，…，依此运动规律，经过2020次运动后，动点P的纵坐标是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2020 【答案】B 【解析】 【分析】分析动点Р在平面直角坐标系中运动时横纵坐标的规律，即可求解. 【详解】依题意可知， 动点Р的横坐标为运动的第几次，第次就为，纵坐标为四个数一个循环. 因为， 所以经过2020次运动后，动点P的横坐标是2020，纵坐标为1. 故选：B. 15. 从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于30的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出事件总数，再写出大于30的基本事件，求解概率即可. 【详解】从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数， 基本事件总数， 这个数大于30包含的基本事件有： 31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共12个， 这个数大于30的概率为. 故选：D. 16. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用降幂公式、诱导公式可得 【详解】因为， 所以， . 故选：D 17. 已知点，且，则点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据算术平方根底数为非负求得值，即可得到点坐标，即可求解. 【详解】∵中，且， ∴且，即. 此时，，故点坐标为. ∴点关于原点的对称点的坐标为. 故选：B. 18. 要得到函数的图像只需将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象变换规律得出结论. 【详解】∵， ∴将函数的图像向右平移个单位可得到函数的图像. 故选：D. 19. 对于任意实数，直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上三项均有可能 【答案】C 【解析】 【分析】由直线恒过定点，且定点在圆内，从而即可判断直线与圆相交. 【详解】由题意得，直线恒过定点， 将圆的一般方程化为标准方程得， 故圆心坐标为，半径， 故直线过圆心，所以直线与圆相交. 故选：C 20. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出双曲线的方程，然后根据渐近线的公式，求得参数，进而求解 【详解】由题意得，设双曲线的方程为,则该双曲线的渐近线方程为, 又由该双曲线的一条渐近线经过点,则, 解得,则, 则该双曲线的离心率 故选：D 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 若，则的最小值为___________. 【答案】20 【解析】 【分析】根据对数的运算集合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 即. 由基本不等式可得， ， 即. 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 22. 已知定义域为的函数的图象关于轴对称，且当时函数是增函数，则___________（填“>”“<”或“=”）. 【答案】> 【解析】 【分析】根据该函数为偶函数和函数的增减性，进而求解. 【详解】因为该图像关于轴对称，且定义域为关于原点对称. 所以为偶函数. 所以在与的增减性相反， 因为当时,函数是增函数. 所以当时,函数是减函数. 因为, 所以. 故答案为: . 23. 在数列中，若，且，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据和递推式，求得即可. 【详解】因为， 所以，， ，， ，， ，. 故答案为：. 24. 的展开式中倒数第三项的系数是___________. 【答案】84 【解析】 【分析】根据二项式定理得出的展开式共有8项，于是倒数第三项即为第6项，代入二项式的通项公式即可得答案． 【详解】因为的展开式共有8项，于是倒数第三项即为第6项， 所以由二项式的通项公式得，， 故展开式中倒数第三项的系数是. 故答案为：. 25. 已知，则___________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】先将所求整式化为分式，再将原式分子分母同除，化为正切即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 26. 已知动圆过定点，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义进行分析即可. 【详解】因为动圆过定点，且与直线相切， 所以动圆的轨迹为以为焦点与准线的抛物线， 所以， 所以其圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 27. 如图所示，有一个“倒圆锥形”容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放置一个半径为3cm的铁球，再注满水，水刚好漫过球体，则此时该容器中水的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用半径求解圆锥的高，水的体积即为圆锥的体积减球的体积，即可求解. 【详解】球截面圆为圆锥轴截面三角形内切圆， 因为为正三角形，故O为的重心， 设AB中点为E，则， 因为，所以，， 所以圆锥的高为9，底面圆半径为， 所以圆锥的体积为， 球的体积为， 所以水的体积为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤. 28. 计算：. 【答案】2 【解析】 【分析】由指数幂，对数运算，排列数，组合数和特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】 . 29. 对符号作如下规定：，已知函数. （1）求的值； （2）点，为函数图象上相邻的两个最高点，点为图象上的某个最低点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意代入函数即可求解. （2）根据函数解析式求出函数的最大最小值，再根据三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 已知， 所以 ， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 其中，，， 所以的高为，底边长为， 所以. 30. 已知圆C的圆心坐标为，且与直线：相切. （1）求圆的标准方程； （2）将直线向上平移1个单位得到直线，求被圆所截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，可得圆心到直线距离，据此可求解； （2）依题意得直线：，求得圆心到直线的距离，根据弦长公式可求解. 【小问1详解】 ∵圆心到直线：的距离， ∴， ∴圆的标准方程为； 【小问2详解】 依题意得直线：. ∵圆心到直线：的距离， ∴直线被圆所截得的弦长为. 31. 按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，用来表示餐桌的张数，用来表示可坐人数. （1）求和. （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）22；. （2）. 【解析】 【分析】（）观察图片找出规律即可得解. （）由等差及等比数列的前项和公式，结合分组求和即可得解. 【小问1详解】 由图可知. 所以. 【小问2详解】 . ∴. . 32. 如图所示，在直三棱柱中，已知，，，且二面角的大小为.. （1）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑（biēnào）”，试判断三棱锥是否为“鳖臑”，并求其表面积； （2）求直线与平面所成的角的正切值. 【答案】（1）三棱锥为鳖臑， （2）. 【解析】 【分析】（1）利用“鳖臑”的定义，结合线面垂直的性质与判定定理即可判断，再求表面积即可； （2）先找到线面角的平面角，从而得解. 【小问1详解】 三棱锥为鳖臑，理由如下： 在中，因为，所以， 则，所以是直角三角形， 因为平面，平面，所以， 则是直角三角形， 同理，，是直角三角形，， 又，平面， 所以平面，又平面，故， 所以是直角三角形，所以三棱锥为鳖臑， 因为，， 所以为二面角的平面角，所以， 在中，，， 所以. 【小问2详解】 因为平面， 所以为直线与平面所成的角. 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为. 33. 在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）求角的大小； （2）若的面积为2，求a，b，c的值. 【答案】（1） （2），，. 【解析】 【分析】（1）先由同角的三角函数的平方关系求解与，再由两角差的余弦公式求解的值，求出的弧度数，即可求解角的大小. （2）由正弦定理和三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 ∵，∴为锐角， ∴， ∵，∴， ∴，∴为锐角， ∴， ∵， ∴，∴. 【小问2详解】 根据正弦定理， ∴. ∵，∴. ∵，∴，， ∴. 34. 某家电超市计划从厂家采购甲、乙两种型号的空调共20台：甲空调的采购单价（元/台）与采购数量（台）满足；乙空调的采购单价（元/台）与采购数量（台）满足. （1）经家电超市与厂家协商，采购甲空调的数量不少于乙空调数量的，且甲空调的采购单价不低于元，问该家电超市共有几种进货方案? （2）该家电超市计划分别以元/台和元/台的销售价格售出甲、乙两种型号的空调，且能全部售完，在（1）的条件下，问甲、乙两种型号的空调各采购多少台时总利润最大?并求最大利润. 【答案】（1）8种 （2）甲空调采购台，乙空调采购7台时总利润最大，为元. 【解析】 【分析】（1）根据不等式组的应用解决实际问题即可. （2）建立二次函数模型，利用二次函数求最值即可. 【小问1详解】 设采购甲空调台，则采购乙空调台. 所以 解得，. 即 所以该家电超市共有8种进货方案. 【小问2详解】 根据题意且由（1）可得 ， 当时，， 即甲空调采购台，乙空调采购7台时总利润最大，为元. 35. 已知椭圆. （1）若直线与椭圆有公共点，求的取值范围； （2）求椭圆上的点到直线的最短距离. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）因为直线与椭圆有公共点，联立直线方程和椭圆方程得到的二次函数至少有一个解，即，即可求得的取值范围； （2）设与直线平行的一条直线为，且与椭圆相切，联立方程求出m的值，再根据椭圆上的点到直线的最短距离等于两平行直线之间的距离即可求解. 【小问1详解】 把代入，得. 因为直线与椭圆有公共点， 所以，解得， 即当时，直线与椭圆有公共点， 【小问2详解】 根据题意，设与直线平行的一条直线为，且与椭圆相切， 由得， 得，解得或， 所以切线方程为或， 所以椭圆上的点到直线的最短距离等于两平行直线与之间的距离. 因为， 所以椭圆上的点到直线的最短距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $