精品解析：湖南省芷江民族职业技术学校2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试题

芷江民族职业技术学校二○一四年下学期 高二年级月考试卷（数学） （总分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题4分，10小题共40分） 1. 数列，，，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2 已知等比数列中，，则公比（ ） A. 4 B. C. D. 16 3 已知数列中，，且，则（ ） A. 1001 B. 1000 C. 999 D. 998 4. 矩形中，，，则（ ） A. 2 B. 0 C. 4 D. 5. 设是公差为的等差数列，如果，则（ ） A. 182 B. C. D. 6. 已知、、、是公比为2的等比数列，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 下列结论中，正确的是（ ） A. 零向量只有大小没有方向 B. 若，都是单位向量，则 C. 对任一向量，总是成立的 D. 8. 等差数列中，，求（ ） A 45 B. 75 C. 180 D. 300 9. 在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 下面给出四个命题：①对于实数和向量、恒有：；②对于实数、和向量，恒有；③若，则有；④若，则，其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题4分，5小题共20分） 11. 等差数列3，8，13，公差______；通项公式______. 12. ______；______. 13. 数列前项和为，则其通项等于______. 14. 三个数、1、成等差数列，而三个数、1、成等比数列，则等于______. 15. 已知、、分别是边、、的中点，且，，，则下列各式：①；②；③；④其中正确的序号为______. 三、解答题：（每题10分，6题共60分） 16. 计算： （1）； （2）已知，求. 17. 在等比数列中，，求. 18. 求等比数列1，2，4，…从第6项到第10项的和. 19. 已知等差数列中，前项和为，且. （1）求通项公式； （2）当为何值时，最小？并求这个最小值. 20. 如图，的对角线AC和BD交于点M，，，试用基底，表示，，和． 21. 某地区荒山亩，从年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树亩，以后每一年比上一年多植树亩. （1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化？ （2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为，求的表达式； （3）若，计算（精确到1立方米）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 芷江民族职业技术学校二○一四年下学期 高二年级月考试卷（数学） （总分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题4分，10小题共40分） 1. 数列，，，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列通项的计算即可解得. 【详解】观察可知，该数列是首项为，公比为的等比数列， 则 故选：B. 2. 已知等比数列中，，则公比（ ） A. 4 B. C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列相隔两项相比等于公比的平方即可解得. 【详解】由题等比数列中，， 则，解得. 故选：C 3. 已知数列中，，且，则（ ） A. 1001 B. 1000 C. 999 D. 998 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式可证明数列为等差数列，由等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以有， 所以数列是以2为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以. 故选：A. 4. 矩形中，，，则（ ） A. 2 B. 0 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的概念和向量模的计算即可解得. 详解】由题 又为矩形互相平行且方向相等的两条边， 故 故选：A 5. 设是公差为的等差数列，如果，则（ ） A. 182 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】数列与数列可看出项数为33项，公差为的等差数列，运用等差数列前n项和公式即可得解. 【详解】由已知条件知数列与是项数为33项，公差为的等差数列. 则； 设， 则有 故选：D. 6. 已知、、、是公比为2的等比数列，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据为公比是的等比数列，可得到两两之间的关系，再代入所求即可解得. 【详解】由题是公比为的等比数列， 则 故. 故选：B 7. 下列结论中，正确的是（ ） A. 零向量只有大小没有方向 B. 若，都是单位向量，则 C. 对任一向量，总是成立的 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的概念逐项判断即可解得. 【详解】选项A：既有大小又有方向的量叫向量，A错误. 选项B：当向量方向不同时，，B错误. 选项C：零向量的模长为，C错误. 选项D：与的模长相等，D正确. 故选：D. 8. 等差数列中，，求（ ） A. 45 B. 75 C. 180 D. 300 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，即可求解 【详解】因为为等差数列， 则，即， 所以. 故选：C 9. 在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程求得两根，再结合等比数列下标性质解出，进一步判断正负即可解得. 【详解】解方程， 解得或, 或， 故， 解得， 又，即同号， 又则. 故选：D 10. 下面给出四个命题：①对于实数和向量、恒有：；②对于实数、和向量，恒有；③若，则有；④若，则，其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的运算律即可解得. 【详解】①：根据向量的数乘满足分配律，恒有，正确， ②：根据向量的数乘运算律，恒有，正确， ③：若时，与不一定相等，错误， ④：由于，和相等，正确. 故选：C. 二、填空题（每小题4分，5小题共20分） 11. 等差数列3，8，13，的公差______；通项公式______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用等差数列的定义与通项公式即可得解. 【详解】第一空：公差； 第二空：通项公式. 故答案为：； 12. ______；______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平面向量的加减法法则即可解得. 【详解】； . 故答案为：；. 13. 数列前项和为，则其通项等于______. 【答案】 【解析】 【分析】利用的通项公式即可解得. 【详解】由题当时，， 时，， 当时，适合上式， 故 故答案为： 14. 三个数、1、成等差数列，而三个数、1、成等比数列，则等于______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据等差中项与等比中项的性质即可解得 【详解】由题可得， 则 故答案为：1 15. 已知、、分别是的边、、的中点，且，，，则下列各式：①；②；③；④其中正确的序号为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算与基本定理即可得解. 【详解】 ①：由题，故①错误 ②：由题，故②正确. ③：由题，故③正确. ④：由题，故④正确. 故答案为：②③④ 三、解答题：（每题10分，6题共60分） 16. 计算： （1）； （2）已知，求. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量的运算法则即可解得 【小问1详解】 =. 【小问2详解】 由题将其展开 即 故. 17. 在等比数列中，，求. 【答案】 【解析】 分析】根据等比数列通项公式解出首项和公比即可. 【详解】设等比数列首项为公比为 则 则 解得 故 18. 求等比数列1，2，4，…从第6项到第10项的和. 【答案】 【解析】 分析】写出等比数列通项公式相加即可解得 【详解】由题该等比数列首相是，公比是 故通项公式 则 19. 已知等差数列中，前项和为，且. （1）求通项公式； （2）当为何值时，最小？并求这个最小值. 【答案】（1） （2）当时，最小，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据计算出等差数列的首项和公差，进而求得数列的通项公式； （2）代入首项和公差求出，然后计算最小值. 【小问1详解】 因为， 所以， 则， 又因为， 解得， 所以数列的通项公式为：. 【小问2详解】 因为 ， 所以当时，最小，最小值为. 20. 如图，的对角线AC和BD交于点M，，，试用基底，表示，，和． 【答案】，，， 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法法则，以及数乘运算求解． 【详解】由向量加法的平行四边形法则． 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以． 从而， ， ． 21. 某地区荒山亩，从年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树亩，以后每一年比上一年多植树亩. （1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化？ （2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为，求的表达式； （3）若，计算（精确到1立方米）. 【答案】（1）到年初植树后可以将荒山全部绿化. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设植树年后可将荒山全部绿化，记年初植树量为，依题意知数列是首项，公差的等差数列，利用等差数列的前项和公式得出关于的方程，即可求出答案； （2）由题意得年初木材量为，到年底木材量增加为，年初木材量为，到年底木材量增加为，，年初木材量为，到年底木材量增加为，结合错位相减法求出到年底木材总量即可； （3）直接把给出的代入（2）中求出的S计算. 【小问1详解】 设植树年后可将荒山全部绿化，记第年初植树量为， 依题意知数列是首项，公差的等差数列， 则即， ， ， 到年初植树后可以将荒山全部绿化. 【小问2详解】 年初木材量为，到年底木材量增加为， 年初木材量为，到年底木材量增加为， 年初木材量为，到年底木材量增加为， 则到年底木材总量， ① ② 得 . 【小问3详解】 . 答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$