精品解析：新疆泽普县职业技术高中2018-2019学年高一上学期12月月考数学试题

新疆泽普县职业技术高中2018-2019学年高一上学期12月月 考数学卷 一、单选题 1. 的定义域为（　　） A. B. C D. 2. 下列函数中，是奇函数，又在定义域内为增函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列四组函数中，与表示同一函数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 定义在上的偶函数，记，，，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 6. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域是，则的定义域是（　　） A. B. C. D. 9. 函数在上是减函数，则（　　） A. B. C. D. 10. 函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 11. 定义在上奇函数，当时，，则关于x的函数（）的所有零点之和为（　　） A. 10 B. C. 0 D. 12. 函数（且）的图象必经过点（　　） A. B. C. D. 13. 函数的值域是（　　） A. B. C. D. 14. 函数的单调递减区间为（　　） A. B. C. D. 15. 已知，则“”是“关于x的一元二次方程没有实数根”的（　　） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（　　） ①，②，③，④. A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 二、填空题 17. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，若方程 （ ）在区间 上有四个不同的根 ，，， ，则 ________________ . 18. 已知函数，若，则最大值是________. 19. 函数的值域是________. 20. 函数的值域为________. 21. 函数的定义域为________. 22. 已知函数是一次函数，且，则一次函数的解析式为________. 23. 下列结论中：①定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；②若，则函数不是奇函数；③函数是上的减函数；④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同；⑤若是二次函数的零点，且，那么一定成立.写出上述所有正确结论的序号：________. 24. 已知数列的通项公式为，则当________时，最大；当________时，最小. 三、解答题 25. 已知函数，用分段函数的形式表示该函数． 26. 设{是小于的正整数}，，.求，，，. 27. 计算； （1）的值； （2）已知，，计算的值. 28 已知函数，. （1）若，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，判断函数的单调性，并用定义给出证明； （3）当时，（）恒成立，求实数a的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新疆泽普县职业技术高中2018-2019学年高一上学期12月月 考数学卷 一、单选题 1. 的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数特征，偶次方根被开式是非负数即可求解. 【详解】由，得. ∴的定义域为. 故选：B. 2. 下列函数中，是奇函数，又在定义域内为增函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知函数分别确定函数的奇偶性与单调性，即可求得结论． 【详解】A.指数函数为非奇非偶函数，∴该选项错误； B.反比例函数定义域内没有单调性，∴该选项错误； C.幂函数为奇函数，且在定义域内为增函数，∴该选项正确； D.对数型函数为非奇非偶函数，∴该选项错误. 故选：C. 3. 下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一函数概念，判断函数的定义域及函数表达式是否相同即可得解. 【详解】A.，，，，定义域不同，故A错误； B.，，，，同一函数同，故B正确； C.，，，，定义域不同，故C错误； D.，，，，定义域不同，故D错误； 故选：B. 4. 定义在上的偶函数，记，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为偶函数便可得出，得到函数，从而可求出的值，进而得出的大小关系． 【详解】由于偶函数，所以， 即， 即， 所以.故. 当时，为单调递增函数. ，， 因为函数，在其定义域内为增函数， 而， 所以， 所以. 故选：B. 5. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数，指数函数，对数函数的单调性判断即可. 【详解】因为在上为增函数，故，即， 而在上为减函数，故，故， 因为在上为减函数，故，故， 故. 故选：A. 6. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由函数解析式判断其奇遇性与单调性，从而得解. 【详解】对于A，幂函数是奇函数，不是偶函数，故A错误； 对于B，是偶函数，且在上，单调递增，故B正确； 对于C，在上单调递减，故C错误； 对于D，是偶函数，且在上，单调递减，故D错误. 故选：B. 7. 设，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助对数函数的单调性和指数的运算即可判断. 【详解】因为在定义域内单调递增， 所以， 又，可得. 故选：D. 8. 已知函数定义域是，则的定义域是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论. 【详解】∵函数定义域是， ∴， 解得， 即函数的定义域为， 故选：C. 9. 函数在上是减函数，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的单调性即可求解. 【详解】∵函数在上是减函数， ∴， 解得， 故选：D. 10. 函数定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数中被开方数大于等于0，分母不为0，以及真数大于等于0 即可求解。 【详解】由题意得，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：C. 11. 定义在上奇函数，当时，，则关于x的函数（）的所有零点之和为（　　） A. 10 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数的性质及分段函数的表达式画出函数的图像转化为求函数与的两图像的交点横坐标的和即可. 【详解】函数的零点即为方程的解， 也就是当时函数与的两图像的交点的横坐标， 如图所示，两函数的图像至多有5个交点， 即函数至多有5个零点，设为， 当时，，令 ，解得； 当 时，，令，解得， 所以. 因函数在定义在上奇函数，所以. 又因，所以，即 当时，， 令，则， 所以函数（）的所有零点之和为. 故选：B. 12. 函数（且）的图象必经过点（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得当时，函数，从得到函数图象必经过的定点坐标． 【详解】当时，，故函数图象必经过点. 故选：D. 13. 函数的值域是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】∵， 由指数函数的单调性可得， . 即该函数值域是. 故选：C. 14. 函数的单调递减区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对复合函数的单调性分析即可解得 【详解】设，可得函数的定义域为或， 且在其定义域内为增函数， 所以即求函数在定义域或上的减区间， 再利用二次函数的性质求得减区间为， 所以函数的单调递减区间为. 故选：D. 15. 已知，则“”是“关于x的一元二次方程没有实数根”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的性质即可求解. 【详解】因为一元二次方程没有实数根，可得，，解得. 由可得， 而由推不出. 所以“”是“关于x的一元二次方程没有实数根”的必要不充分条件. 故选：B. 16. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（　　） ①，②，③，④. A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，分析“理想函数”具备的性质为奇函数且为减函数，由此判断各函数即可. 【详解】由题设知：①对于定义域上的任意x，恒有，则函数为奇函数， ②对于定义域上的任意，当时，恒有，则函数为减函数， 所以可知“理想函数”为奇函数且在定义域内递减， ①定义域为，为反比例函数， 是奇函数，但在整个定义域上不单调，不符合； ②定义域为R， ， 是奇函数，而由对数复合函数的性质知在上递增，不符合； ③定义域为R， ，是奇函数， ，故在上递减，符合； ④定义域为R，为奇函数， 因为当时，二次函数开口向下，为减函数， 当时，二次函数开口向上，为减函数，所以函数在定义域内为减函数，符合； 综上③④符合. 故选：C. 二、填空题 17. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，若方程 （ ）在区间 上有四个不同的根 ，，， ，则 ________________ . 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的周期性和单调性解答. 【详解】因为是定义在上的奇函数，满足， 所以， 所以的图像关于对称，且， 由 得 即函数周期，且函数在上也是增函数. 由此可做图如下： 此时方程在上有四个不同的根， 设 由对称性可得， ， 于是得 故答案为：. 18. 已知函数，若，则的最大值是________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用待定系数法求参数，再结合二次函数的性质分析即可. 【详解】因为，所以，即， 所以， 所以， 所以当时，的最大值为4， 故答案为：4. 19. 函数的值域是________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的解析式，利用二次函数的性质求值域． 【详解】∵函数， 配方可得： 开口向上，有最小值， 当时，最小值 所以函数的值域是. 故答案为：. 20. 函数的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】对该分段函数分别求其值域，最后将其综合得出结果. 【详解】当时，; 当时， 综上所述，函数的值域为 故答案为： 21. 函数的定义域为________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据函数中分母不为0，被开方数大于等于零，对数的真数大于零即可求解. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 即该函数的定义域为且， 故答案为：且. 22. 已知函数是一次函数，且，则一次函数的解析式为________. 【答案】或 【解析】 【分析】先设函数，再代入中，由系数对应相等求解即可. 【详解】∵函数是一次函数， ∴设，（）. ∴， ∴，解得或， 故答案为：或. 23. 下列结论中：①定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；②若，则函数不是奇函数；③函数是上的减函数；④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同；⑤若是二次函数的零点，且，那么一定成立.写出上述所有正确结论的序号：________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性定义和函数相等定义，幂函数的性质以及函数单调性和函数零点定义判断 【详解】①函数在区间上是增函数，任取，都有， 又函数在区间上是增函数，任取，都有， 所以任取,都有，符合增函数定义，故①正确； ②，，满足，但该函数是奇函数，故②错误； ③幂函数，因为，所以幂函数在上是减函数，故③正确； ④对应法则和值域相同的函数定义域不一定相同，如和；故④错误； ⑤对于二次函数，是函数的零点，，而不成立，故⑤错误. 综上可得，所有正确结论的序号是①③. 故答案为：①③. 24. 已知数列的通项公式为，则当________时，最大；当________时，最小. 【答案】 ①. 49 ②. 50 【解析】 【分析】对数列进行变形，求解的情况，分情况讨论由数列的单调性即可得解. 【详解】∵， 当时，，此时数列单调递增，此时最大， 当时，， 当时，，此时数列单调递增，此时最小， 即，因此，当时最大；当时最小. 故答案为：49，50. 三、解答题 25. 已知函数，用分段函数的形式表示该函数． 【答案】 【解析】 【分析】将函数的定义域分成两个区间，分别是和，即可求得分段函数的表达式. 【详解】∵函数的定义域为， 故可将定义域分成和. 当时，， 当时，. 故，. 26. 设{是小于的正整数}，，.求，，，. 【答案】，，， 【解析】 【分析】利用集合的交集、并集和补集运算公式进行求解. 【详解】，则； ； ，故； ，所以 27. 计算； （1）的值； （2）已知，，计算的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数、对数运算法则即可得解； （2）利用指对数互相转换，指数的运算法则即可得解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为，所以，又， 所以. 28. 已知函数，. （1）若，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，判断函数的单调性，并用定义给出证明； （3）当时，（）恒成立，求实数a的最小值. 【答案】（1） （2）是上的减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的对称性即可得解； （2）利用指数函数的性质判断的单调性，再利用函数的单调性，结合作差法即可得证； （3）对二次函数的对称轴进行分类讨论，利用二次函数的性质，分别求得的最大值解，从而列式得解. 【小问1详解】 因为，所以函数图象的对称轴方程为； 所以，所以； 【小问2详解】 因为， 所以是上的减函数； 设，且， 则； 因为，所以，，所以； 所以函数是上的减函数； 【小问3详解】 函数的对称轴是， 当时，，所以函数在上单调递减； 所以的最小值，所以； 当时，，所以函数在上单调递增； 所以的最小值，所以与，所以这种情况不存在； 所以a的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$