第四章　整式的加减 巩固训练课件 2024-2025学年人教版数学（2024）七年级上册

4.1　整　式 第1课时　单 项 式 第四章　整式的加减 一、 选择题（每小题4分，共24分） 1. 在 ，2x2y， ，－5，a中，单项式的个数是（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列代数式中，属于次数为3的单项式的是（　D　） A. －m3n B. 3 C. 4t3－3 D. C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 下列说法正确的是（　A　） A. －πx是一次单项式 B. 0不是单项式 C. －2πab2的系数是－2 D. －32xy2的次数是5 A 4. 已知2xb－2是关于x的三次单项式，则b的值为（　A　） A. 5 B. 4 C. 6 D. 7 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 有一组按一定规律排列的单项式：a，－a2，a3，－a4，a5，－a6， …，第n个单项式为（　C　） A. an B. －an C. （－1）n＋1an D. （－1）nan C 6. 已知单项式4x2y的系数与一个单项式的次数相同，则这个单项式可以 是（　C　） A. 4xy2 B. 4xy C. 3xy3 D. 3x2y C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、 填空题（每小题5分，共25分） 7. （江西中考）单项式－5ab的系数为 ⁠. 8. 写出一个系数是2024，且只含x，y两个字母的三次单项 式： .（答案不唯一） 9. 若（a－2）x2y｜a｜＋1是关于x，y的五次单项式，则（a＋1）3 ＝ ⁠. 10. 若关于x，y的单项式3xym与－ax2y3的系数、次数分别相同，则a ＝ ，m＝ ⁠. －5　 2024xy2　 （答案不唯一） －1　 －3　 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 如图，在一块长为a米、宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏 油马路，马路的任何地方的横向宽度都是2米，则马路的面积为 ⁠ 平方米. 第11题 2b　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、 解答题（共51分） 12. （20分）用单项式填空，并指出它们的系数和次数： （1） 每包书有12册，n包书有 ⁠册； 解：（1） 它的系数为12，次数为1 （2） 底面积为acm2、高为hcm的圆柱的体积是 cm3； 解：（2） 它的系数为1，次数为2 （3） 棱长为acm的正方体的体积是 cm3； 解：（3） 它的系数为1，次数为3 12n　 ah　 a3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （4） 一台电视机的原价是b元，现按原价的九折出售，这台电视机的 现价是 元. 解：（4） 它的系数为0.9，次数为1 0.9b　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （12分）已知单项式－2x2y的系数和次数分别是a，b. （1） 求ab－ab的值； 解：因为单项式－2x2y的系数和次数分别是－2，3，所以a＝－2，b ＝3. （1） ab－ab＝（－2）3－（－2）×3＝－8＋6＝－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2） 若｜m｜＋m＝0，求｜b－m｜－｜a＋m｜的值. 解：因为单项式－2x2y的系数和次数分别是－2，3，所以a＝－2，b ＝3. （2） 因为｜m｜＋m＝0，所以｜m｜＝－m.所以m不大于0.所以b －m＞0，a＋m＜0.所以｜b－m｜－｜a＋m｜＝b－m＋（a＋ m）＝b＋a＝3＋（－2）＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （9分）已知8xmy4与 x3y｜m－n｜都是关于x，y的七次单项式，求m2 －n2的值. 解：因为8xmy4与 x3y｜m－n｜都是关于x，y的七次单项式，所以m＋4 ＝7，3＋｜m－n｜＝7，解得m＝3，n＝－1或m＝3，n＝7.当m＝ 3，n＝－1时，m2－n2＝8；当m＝3，n＝7时，m2－n2＝－40.综上所 述，m2－n2的值为8或－40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （10分）已知x2y｜a｜＋（b＋2）是关于x，y的五次单项式，求a2 －3ab的值. 解：因为x2y｜a｜＋（b＋2）是关于x，y的五次单项式，所以2＋｜a｜＝5，b＋2＝0，解得a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.当a＝－3，b＝－2时，a2－3ab＝9－18＝－9；当a＝3，b＝－2时，a2－3ab＝9＋18＝27.综上所述，a2－3ab的值为－9或27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$4.1　整　式 第2课时　多项式及整式 第四章　整式的加减 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1. 有下列各式：π，2x2＋2xy＋y2，a＋1，a2－ ，－ .其中，多项 式的个数是（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 下列关于多项式0.3x2y－2x3y2－7xy3＋1的说法中，错误的是（　B　） A. 这个多项式为五次四项式 B. 四次项的系数是7 C. 常数项是1 D. 按y的指数由高到低的顺序排列为－7xy3－2x3y2＋0.3x2y＋1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 二次三项式2x2－3x－1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 （　A　） A. 2，－3，－1 B. 2，3，1 C. 2，3，－1 D. 2，－3，1 4. 在－ mn，m，8， ，x2＋2x＋6， ， ， 中，整式有 （　C　） A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个 A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. ★为开展劳动教育，某校想把一块周长为30m的长方形荒地按如图所 示的方式等距外扩bm，改造成一个长方形劳动基地，并且用栅栏围起 来，则需要栅栏（　B　） A. （30＋4b）m B. （30＋8b）m C. 4bm D. 8bm 第5题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、 填空题（每小题6分，共36分） 6. 多项式3x2－ x－2是 次 项式，它的一次项是 　－ x　. 7. 将多项式5x2y＋y3－3xy2－x3按x的指数由低到高的顺序排列为 ⁠ ⁠. 8. 已知多项式ax5＋bx3＋cx＋9，当x＝－1时，多项式的值为17，则当 x＝1时，该多项式的值为 ⁠. 二　 三　 － x　 y3 －3xy2＋5x2y－x3　 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 如图所示为一名同学数学笔记的一部分.若要将这个式子补充完整， 则 里补充的内容可以是 .（答案不唯一） 第9题 10. 若多项式3x2＋kx－2x＋1（k为常数）中不含有x的一次项，则k ＝ ⁠. 11. ★有一组多项式：a＋b2，a2－b4，a3＋b6，a4－b8，…，请观察它 们的规律，则第10个多项式为 ⁠. 2x3　 （答案不唯一） 2　 a10－b20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、 解答题（共39分） 12. （9分）用多项式填空，并指出它们的项和次数. （1） 弟弟比哥哥小3岁，当哥哥x岁时，弟弟的年龄是 岁； 解：（1） 它的项分别为x，－3，次数是1 （2） a的3倍与b的平方的2倍的和是 ⁠； 解：（2） 它的项分别为3a，2b2，次数是2 （x－3）　 3a＋2b2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （3） 小明买单价为p元的商品n件，付给卖家q元，应找回 ⁠ 元. 解：（3） 它的项分别为q，－pn，次数为2 （q－ pn）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （8分）已知－5x3y｜a｜－（a－4）x－6是关于x，y的七次三项 式，求a2－2a＋1的值. 解：因为－5x3y｜a｜－（a－4）x－6是关于x，y的七次三项式，所以 3＋｜a｜＝7，a－4≠0，解得a＝－4.所以a2－2a＋1＝（－4）2－2× （－4）＋1＝25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （10分）若关于x，y的多项式（3a＋2）x2＋（9a＋10b）xy－x ＋2y＋7不含二次项，求3a－5b的值. 解：由题意，得3a＋2＝0，9a＋10b＝0，所以3a＝－2，即9a＝－6. 代入9a＋10b＝0，得－6＋10b＝0，所以10b＝6，即5b＝3.所以3a－ 5b＝－2－3＝－5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （12分）有一个多项式a10－3a9b＋5a8b2－7a7b3＋…＋mb10. （1） 根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式为几次几 项式吗？ 解：（1） 这个多项式为十次十一项式 （2） 最后一项的系数m的值为多少？ 解：（2） 由题意， 得m＝2×11－1＝21 （3） 这个多项式的第七项和第八项分别是什么？ 解：（3） 由题意，得第七项是13a4b6，第八项是－15a3b7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$4.2　整式的加法与减法 第1课时　合并同类项 第四章　整式的加减 一、 选择题（每小题4分，共20分） 1. （内江中考）下列单项式中，属于ab3的同类项的是（　A　） A. 3ab3 B. 2a2b3 C. －a2b2 D. a3b 2. （青海中考）计算12x－20x的结果是（　B　） A. 8x B. －8x C. －8 D. x2 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 下列计算正确的是（　B　） A. a2＋a2＝a4 B. 3a2b－5ba2＝－2a2b C. 4a－3a＝1 D. 3a2＋2a3＝5a5 4. 若单项式am－1b2与 a2bn的和仍是单项式，则nm的值是（　C　） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 5. ★若3a2＋mb3和（n－2）a4b3可以合并，且它们的和为0，则mn的值 是（　A　） A. －2 B. －1 C. 2 D. 1 B C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、 填空题（每小题4分，共24分） 6. 已知单项式2a4b－2m＋7与3a2mbn＋2是同类项，则m＋n的值为 ⁠. 7. 若－2x2yb＋3xay3＝x2y3，则｜a－b｜＝ ⁠. 8. 某服装店打折出售服装，第一天卖出a件，第二天比第一天多卖出12 件，第三天卖出的件数是第一天的2倍，则该服装店这三天共卖出服 装 件. 3　 1　 （4a＋12）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 若关于x，y的多项式xy3＋2ax2－5xy＋3x2－9不含x2项，则a＝ ⁠. 10. 规定新运算：a*b＝a＋b，a#b＝a－b，其中a，b为有理数.化简 [（a2b）*（3ab）]＋[（5a2b）#（4ab）]的结果为 ⁠. 11. 有两个单项式，这两个单项式是同类项且次数都是3.请写出符合条件 的两个单项式： ，将这两个单项式相加，结果是 ⁠.唯一） － 6a2b－ab　 2x3，3x3　 5x3　 （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、 解答题（共56分） 12. （12分）合并下面各式的同类项： （1） a3＋a2b－ab2＋a2b－ab2＋b3； 解：原式＝a3＋2a2b－2ab2＋b3 （2） 2x2y－2xy－4xy2＋xy＋4x2y－3xy2. 解：原式＝6x2y－xy－7xy2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （12分）先合并同类项，再求值：6ab2－ab2－3a2b＋15a2b－ 5ab2，其中a＝ ，b＝－1. 解：原式＝12a2b.当a＝ ，b＝－1时，原式＝12× ×（－1） ＝－3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （14分）小丽在同桌小美的典型题摘抄本上看到这样一道题：当x＝ － ，y＝0.89时，求多项式6x3－5x3y＋2x2y＋2x3＋5x3y－2x2y－8x3 ＋7的值.小丽对小美说：“题目中给的条件‘x＝－ ，y＝0.89’是多 余的.”小丽说得有道理吗？为什么？ 解：小丽说得有道理　因为原式＝7，即原式的值与x，y的取值无关， 所以题目中给的条件“x＝－ ，y＝0.89”是多余的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （18分）“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化 简求值中应用极为广泛.比如，4x－2x＋x＝（4－2＋1）x＝3x，类似 地，我们把a－b看成一个整体，则4（a－b）－2（a－b）＋（a－ b）＝（4－2＋1）（a－b）＝3（a－b）. 请运用“整体思想”解答下列问题： （1） 化简8（a＋b）＋6（a＋b）－2（a＋b）的结果是 ⁠ ⁠； 12（a＋ b）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2） 先化简，再求值：9（x＋y）2＋3（x＋y）＋7（x＋y）2－ 7（x＋y），其中x＋y＝ ； 解：（2） 原式＝（9＋7）（x＋y）2＋（3－7）（x＋y）＝16（x＋ y）2－4（x＋y）.当x＋y＝ 时，原式＝16× －4× ＝2 （3） 若x2－2y＝4，求3x2－6y＋2的值. 解：（3） 因为x2－2y＝4，所以3x2－6y＋2＝3×4＋2＝14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$4.2　整式的加法与减法 第2课时　去 括 号 第四章　整式的加减 一、 选择题（每小题4分，共24分） 1. 下列各式中，去括号不正确的是（　B　） A. a－（b－c＋d）＝a－b＋c－d B. a－b－（c－d）＝a－b－c－d C. a＋b－（－c－d）＝a＋b＋c＋d D. a＋（b＋c－d）＝a＋b＋c－d B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. 将－[a－（b－c）]去括号，下列结果正确的是（　A　） A. －a＋b－c B. －a－b＋c C. －a－b－c D. －a＋b＋c 3. 下列变形正确的是（　C　） A. －（a＋2）＝a－2 B. －2（2a－1）＝－2a＋1 C. －a＋1＝－（a－1） D. 1－a＝－（a＋1） A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 计算－2y－2（x－y）的结果是（　B　） A. －2x－4y B. －2x C. 2x－4y D. －4x＋2y 5. 与代数式1－m＋m2相等的式子是（　B　） A. 1－（－m＋m2） B. 1－（m－m2） C. 1－（m＋m2） D. 1－（－m－m2） 6. 已知a－b＝－3，c＋d＝2，则（b＋c）－（a－d）的值为（　B　） A. 1 B. 5 C. －5 D. －1 B B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、 填空题（每小题4分，共24分） 7. （常州中考）计算：2a2－（a2＋2）＝ ⁠. 8. （3x2＋1）－（　 　）＝2x2－2x＋5. 9. 若要使等式（ax2－2xy＋y2）－（－ax2＋bxy＋2y2）＝6x2－9xy＋ cy2成立，则a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠. 10. 若一个长方形的长为3a＋b，宽比长短a－b，则这个长方形的周长 为 ⁠. a2－2　 x2＋2x－4　 3　 7　 －1　 10a＋6b　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 规定一种运算：a*b＝（a＋b）－（a－b），其中a，b为有理 数，则（a*b）＋[（b－a）*b]＝ ⁠. 12. ★有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则｜a＋c｜ ＋｜c－b｜－｜a＋b｜＝ ⁠. 第12题 4b　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、 解答题（共52分） 13. （8分）化简： （1） 2（2b－3a）＋3（2a－3b）； 解：原式＝4b－6a＋6a－9b＝－5b （2） 4a2＋2（3ab－2a2）－（7ab－1）. 解：原式＝4a2＋6ab－4a2－7ab＋1＝－ab＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. （14分）先化简，再求值： （1） （5a2＋2a＋1）－4（3－8a＋2a2）＋（3a2－a），其中a＝ ； 解：原式＝5a2＋2a＋1－12＋32a－8a2＋3a2－a＝33a－11.当a＝ 时，原式＝33× －11＝11－11＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2） 5a2b－[4a2b－（ab＋1）]，其中a＝－2，b＝ . 解：原式＝5a2b－（4a2b－ab－1）＝5a2b－4a2b＋ab＋1＝a2b＋ ab＋1.当a＝－2，b＝ 时，原式＝（－2）2× ＋（－2）× ＋1＝ 4× －1＋1＝2－1＋1＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. （14分）如图①，将一张边长为a的正方形纸片剪去两个相同的小 长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图②），再将剪下的两个小 长方形拼成一个新长方形（如图③）. 第15题 （1） 用含有a，b的式子表示新长方形的周长； 解：（1） [（a－b）＋（a－3b）]×2＝（2a－4b）×2＝4a－8b， 所以新长方形的周长为4a－8b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2） 若a＝8，剪去的小长方形的宽为1，则新长方形的周长是多少？ 解：（2） 因为剪去的小长方形的宽为1，所以新长方形的宽为a－3b ＝2.又因为a＝8，所以8－3b＝2，解得b＝2.当a＝8，b＝2时，新长 方形的周长为4a－8b＝32－16＝16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. （16分）观察下列各式：－a＋b＝－（a－b），2－3x＝－（3x －2），5x＋30＝5（x＋6），－x－6＝－（x＋6）.以上式子的变形都 是添括号，是去括号法则的逆用. （1） 你能总结出添括号的法则吗？ 解：（1） 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变 符号；如果括号前面是负号，那么括到括号里的各项都改变符号（合理 即可） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2） 在－3x2＋2xy＋y2－2x＋y－1中，不改变式子的值，把含字母x 的项放在前面带“＋”的括号里，同时把不含字母x的项放在前面带 “－”的括号里. 解：（2） 原式＝－3x2＋2xy－2x＋y2＋y－1＝（－3x2＋2xy－2x） －（－y2－y＋1） （3） 已知a2＋b2＝5，1－b＝－1，求－1＋a2＋b＋b2的值. 解：（3） 因为a2＋b2＝5，1－b＝－1，所以－1＋a2＋b＋b2＝－ （1－b）＋（a2＋b2）＝－（－1）＋5＝6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$4.2　整式的加法与减法 第3课时　整式的加减 第四章　整式的加减 一、 选择题（每小题5分，共30分） 1. （无锡中考）若x＋y＝2，z－y＝－3，则x＋z的值为（　C　） A. 5 B. 1 C. －1 D. －5 2. 一个多项式与x2－2x＋1的和是3x－2，则这个多项式为（　C　） A. x2－5x＋3 B. －x2＋x－1 C. －x2＋5x－3 D. x2－5x－13 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 如果A和B都是二次多项式，那么A＋B一定是（　A　） A. 次数不高于2的整式 B. 四次多项式 C. 二次多项式 D. 次数不低于2的多项式 4. 已知某三角形的周长为3m－n，其中两边的和为m＋n－4，则此三 角形第三边的长为（　C　） A. 2m－4 B. 2m－2n－4 C. 2m－2n＋4 D. 4m－2n＋4 A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 某同学做了一道数学题：“已知两个多项式A，B，A＝ ，B ＝3x－2y，求A－B（ 处被墨水弄污了）.”他误将“A－B” 看成了“A＋B”，结果得到x－y，则A－B的结果是（　B　） A. 4x－3y B. －5x＋3y C. －2x＋y D. 2x－y B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. ★如图，两个正方形的面积分别为25，9，两个涂色部分的面积分别 为a，b（a＞b），则a－b的值为（　C　） A. 4 B. 9 C. 16 D. 25 第6题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、 填空题（每小题6分，共24分） 7. 化简2（a＋1）－5a的结果是 ⁠. 8. 已知多项式A＝2x3－2mx2＋3x－1，B＝－x3＋2x2＋nx＋6.若A－B 的结果中不含x2项和x项，则m＝ ，n＝ ⁠. 9. （泰州中考）若2a－b＋3＝0，则2（2a＋b）－4b的值为 ⁠. －3a＋2　 －1　 3　 －6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 某天数学课上，老师讲了整式的加减.放学后，小明拿出课堂笔记复 习老师课堂上讲的内容，他突然发现一道题：（－x2＋3yx－ y2）－ （－ x2＋ xy－ y2）＝－ x2－xy＋ y2，其中两处的数字被墨水弄污 了，那么这两处的数字之积是 ⁠. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、 解答题（共46分） 11. （10分）下面是小彬同学进行整式化简的过程，请认真阅读并回答 问题. 　15x2y＋4xy2－4（xy2＋3x2y） ＝15x2y＋4xy2－（4xy2＋12x2y）…第一步 ＝15x2y＋4xy2－4xy2＋12x2y…第二步 ＝27x2y…第三步 （1） 前面的化简步骤中，第一步的依据是 ⁠； 分配律　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 前面的化简步骤中，第 ⁠步开始出现错误，这一步错误的原 因是 ⁠； （3） 请写出该整式正确的化简过程，并计算当x＝－2，y＝3时该整式 的值. 解：原式＝15x2y＋4xy2－（4xy2＋12x2y）＝15x2y＋4xy2－4xy2－ 12x2y＝3x2y.当x＝－2，y＝3时，原式＝3×（－2）2×3＝36 二　 去括号没变号　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. （10分）先化简，再求值： （1） 5（3a2b－ab2）－4（－ab2＋3a2b），其中a＝ ，b＝1； 解：原式＝15a2b－5ab2＋4ab2－12a2b＝3a2b－ab2.当a＝ ，b＝1 时，原式＝3×（ ）2×1－ ×12＝ － ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） （x＋3y－3xy）－2（xy－2x－y），其中x＋y＝ ，xy＝－ . 解：原式＝x＋3y－3xy－2xy＋4x＋2y＝5x＋5y－5xy.因为x＋y＝ ，xy＝－ ，所以5（x＋y）＝5x＋5y＝1，5xy＝－ .所以原式＝1 －（－ ）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. （12分）小王购买了一套经济适用房，他准备给地面铺上地砖，房 子的平面示意图如图所示（单位：米）. 第13题 （1） 用含x，y的整式表示地面的总面积； 解：（1） 地面的总面积为6（x＋2＋2）－2（6－3－y） ＝6x＋24－6＋2y＝（6x＋2y＋18）平方米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 如果每平方米地砖的价格为200元，那么铺地砖的总费用为多 少元？ 解：（2） 总费用为200×（6x＋2y＋18）＝（1200x＋400y＋3600）元 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. （14分）已知A＝4x2－4xy＋y2，B＝4x2－4xy. （1） 求2A－B的值，其中x＝－1，y＝1； 解：（1） 因为A＝4x2－4xy＋y2，B＝4x2－4xy，所以2A－B＝ 2（4x2－4xy＋y2）－（4x2－4xy）＝8x2－8xy＋2y2－4x2＋4xy＝4x2 －4xy＋2y2.当x＝－1，y＝1时，原式＝4×（－1）2－4×（－1）×1 ＋2×12＝10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 试比较式子A，B的大小. 解：（2） 因为A＝4x2－4xy＋y2，B＝4x2－4xy，所以A－B＝4x2 －4xy＋y2－（4x2－4xy）＝4x2－4xy＋y2－4x2＋4xy＝y2.当y＝0 时，A－B＝0，所以A＝B. 当y≠0时，A－B＞0，所以A＞B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$小专题（三）　整式的规律探究问题 第四章　整式的加减 类型一　探索数的变化规律 1. 如图所示的各图形中的三个数之间均具有相同的规律，探索上述规 律，用含m，n的代数式表示p： ⁠. 第1题 p＝m（n＋1）　 1 2 3 4 5 6 7 2. 仔细观察下列有关联的三行数： 第一行：－2，4，－8，16，－32，64…… 第二行：0，6，－6，18，－30，66…… 第三行：－1，2，－4，8，－16，32…… （1） 求第一行的第8个数； 解：（1） 第一行的第n个数是（－2）n，第一行的第8个数是（－2）8 ＝256 1 2 3 4 5 6 7 （2） 求第二行的第n个数和第三行的第n个数. 解：（2） 第二行的第n个数是（－2）n＋2，第三行的第n个数是 × （－2）n 1 2 3 4 5 6 7 类型二　探索单项式的变化规律 3. 观察下列单项式：3x2，5x3，7x4，…. （1） 对于这组单项式，你发现了什么规律？ 解：（1） 观察3x2，5x3，7x4，…，可得系数是从3开始连续的奇数， 次数是从2开始连续的整数 （2） 根据你发现的规律，第5个单项式和第6个单项式分别是什么？ 解：（2） 由（1）可得，第5个单项式为11x6，第6个单项式为13x7 1 2 3 4 5 6 7 （3） 根据上面的归纳，猜想第n个单项式. 解：（3） 由（1）可得，第n个单项式为（2n＋1）xn＋1 （4） 请你根据猜想，写出第2024个单项式. 解：（4） 由（3）中的猜想可得，第2024个单项式为（2×2024＋1） x2024＋1＝4049x2025 1 2 3 4 5 6 7 4. 观察下列单项式：xy，－4x2y，7x3y，－10x4y，13x5y，－16x6y，…. （1） 请你写出第8个、第9个单项式. 解：（1） 因为xy＝（－1）1＋1×（3×1－2）x1y，－4x2y＝ （－1）2＋1×（3×2－2）x2y，7x3y＝（－1）3＋1×（3×3－2）x3y，…，所以第8个单项式为（－1）8＋1×（3×8－2）x8y＝－22x8y，第9个单项式为（－1）9＋1×（3×9－2）x9y＝25x9y 1 2 3 4 5 6 7 （2） 第n个单项式的系数是多少？ 解：（2） 由（1）可得，第n个单项式的系数是（－1）n＋1× （3n－2） （3） 第n个单项式的次数是多少？ 解：（3） 由（1）可得，第n个单项式的次数是n＋1 （4） 根据上面的归纳，请写出第n个单项式. 解：（4） 由（1）可得，第n个单项式为（－1）n＋1×（3n－2）xny 1 2 3 4 5 6 7 类型三　探索月历的变化规律 5. 如图所示为某月的月历，用一个正方形任意框出其中的9个数，设正 方形最中间的数为x. 第5题 1 2 3 4 5 6 7 （1） 用含x的式子表示框出的9个数的和； 解：（1） 这9个数的和可表示为x－7＋x＋7＋x－1＋x＋1＋x－8＋ x＋6＋x－6＋x＋8＋x＝9x，即这9个数的和为9x （2） 若框出的9个数的和为180，则框出的最大数是多少？ 解：（2） 由题意，得9x＝180，解得 x＝20，则x＋8＝28，所以框出 的最大数为28 1 2 3 4 5 6 7 类型四　探索图形的变化规律 6. 如图所示为一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组成 的，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10 个三角形…… 第6题 （1） 第5个图案有 ⁠个三角形； 16　 1 2 3 4 5 6 7 （2） 第n个图案有 个三角形（用含n的式子表示）； （3） 第2024个图案有几个三角形？ 解：当n＝2024时，3n＋1＝3×2024＋1＝6073，所以第2024个图案有 6073个三角形 （3n＋1）　 第6题 1 2 3 4 5 6 7 类型五　探索等式的变化规律 7. 仔细观察下列等式：52－12＝8×3，92－52＝8×7，132－92＝8×11， 172－132＝8×15…… （1） 请写出第6个等式： ⁠； （2） 请写出第n个等式： ⁠ （用含n的等式表示）； 252－212＝8×23　 （4n＋1）2－（4n－3）2＝8（4n－1）　 1 2 3 4 5 6 7 （3） 运用上述规律，计算：8×11＋8×15＋…＋8×95＋8×99. 解：原式＝（132－92）＋（172－132）＋…＋（972－932）＋（1012－ 972）＝132－92＋172－132＋…＋972－932＋1012－972＝1012－92＝10201 －81＝10120 1 2 3 4 5 6 7 $$第四章 整式的加减 小专题(二) 整式的化简求值 类型一直接代入求值 1.若x=-3,求-x2十2x-10的值 解:当x=-3时.原式=-(-3)2+2x(-3)-10=-9-6-10 --25 类型二 先化简,再直接代入求值 2.先化简,再求值:3xv十(x2v十xy)-2(2xv-x2v),其中x=- 1.y-2. 解:原式=3xv+x2y+xv-4xy+2x2v=3x2v.当x=-1,v=2时$ 原式-3×(-1)2×2-3×2-6 ($ x2+xy)-3(2-xy), 3.先化简,再求值: 其中x,v在数轴上 对应点的位置如图所示 2 第3题 解:原式=5x+xy-3x+x=2x+xv.由数轴,得x=2,y=-1. 当x=2,=-1时,原式-2x22+$×2x(-1)=8-5-3$ 类型三 先求字母的值,再代入求值 4.先化简,再求值:2a2b-a2-2(a2b-a2+1)+a2,其中 b满足 a-1士(b十1)2-0 解:原式-2a2b -3a2-a2b+-2-2+a2)=2a2b-(5a2-a2b -2)=2b-5+b+2=3b-5q+2.因为 |-1 |+(b+$ 2=0.所以a=1,b=-1.当a=1.b=-1时,原式=3x1x (-1)-5×12+2--3-5+2--6 5.若关于x.v的多项式ax2十2xv-x与3x2-2bxv十3v的差不含二次 项,求2(3a2b-ab2)-3(ab2十1-2a2b)-3的值 解:原式$=6a2b-2a b$-3a b2-3+6a$b-3-12a 2b-5a b2-6.因为多 项式ax2+2xv-x与3x2-2bxv+3y的差不含二次项,ax2+2xy-x- (3x2-2bxy+3y)=ax2+2xv-x-3x2+2bxy-3=(a-3) 2+ (2+2b)xv-x-3y,所以a-3=0,2+2b=0,解得a=3,b= -1.当a=3,b=-1时,原式=12×32x(-1)-5×3x(-1)2-6$ --108-15-6--129 类型四 利用整体思想求代数式的信 6.已知m2-mn=21,mn-n2=-12,求下面代数式的值 (1)m2-n2; 解:因为 2-mn=21.mn-n2=-12.所以(m2-mn)+ 2)-n-222-12-9 解:因为m2-mn=21,mn-n2=-12,所以(m2-mn)-(mn n=n-2m+ =21--12)=21+1233 7. “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法,它在多项式 的化简与求值中应用极为广泛,如我们把a十3看成一个整体,则 3(+3)-2 (+3b)+5 (+3b) = (3-2+5) (+3 -6(a十3b). (1)把(2a-b)2看成-个整体,化简2(2a-b)2-5(2a-b)2 十6(2a-b)2的结果是 3(2a-b)2; (2) 已知x2十3v-2-0,求3x2+9v十2018的值; 解:(2)因为x2+3y-2=0,所以x2+3v=2.所以3x2+9v+2018 -3(x2+3v)+2018-3×2+2018-6+2018-2024 (3) 已知a-2b=1,2b-c=-3,c-d=6,求(a-c)-(2b$ 一c)十(2b一d)的值 解:(3) (a-c)-(2b-c) +(2b-d)=a-c-2b+c+2b $d=(-2b)+(2b-c)+(c-d).因为-2b=1.2b- -3.c-d=6,所以原式=1+(-3)十6=4 8.理解与思考:整体代换是数学解题中的一种思想方法例如 若x2十x=0.求x2十x十1186的值 我们将x2十x作为一个整体代入,则原式三0十1186三1186 方照上面的解题方法,解决下列问题 (1) 若a十b=3,求2(a十b)-4a-4b十21的值 解:(1) 因为a十b=3,所以2(a+b)-4a-4b+21-2(a+b) -4(a+)+21-2×3-4×3+21=15第四章小测 第四章　整式的加减 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1. 下列说法正确的是（　B　） A. 单项式－3πa2b的系数是－3 B. 单项式－2ah2的次数是3 C. 2x2＋3xy－1是四次三项式 D. 25与x5是同类项 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 下列计算正确的是（　D　） A. 3a＋2a＝5a2 B. 7xy－4xy＝3 C. 3m＋2n＝5mn D. 3x2y－4yx2＝－x2y 3. （温州中考）某地居民生活用水收费标准如下：每月用水量不超过17 立方米，每立方米a元；超过的部分每立方米（a＋1.2）元.该地某用户 上月用水量为20立方米，则应缴水费（　D　） A. 20a元 B. （20a＋24）元 C. （17a＋3.6）元 D. （20a＋3.6）元 D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. ★设M＝x2＋3x＋7，N＝－x2＋3x－4，则M与N的大小关系是 （　C　） A. M＜N B. M＝N C. M＞N D. 无法确定 5. ★若无论x，y取何值，（2x2－my＋12）－（nx2＋3y－6）的值都 为18，则m＋n的值为（　D　） A. 5 B. －5 C. 1 D. －1 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题（每小题6分，共24分） 6. 已知3x2ym＋1与－2xn－2y3（m，n是常数）的差是单项式，则（m－ n）3＝ ⁠. 7. 一艘轮船在静水中的速度为（a＋b）千米/时，逆水航速为（2a－ b）千米/时，则顺水航速为 千米/时. －8　 3b　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. ★化学中直链烷烃的名称用“碳原子个数＋烷”来表示，当碳原子个 数为1～10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、 壬、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则辛烷的 分子结构式中“H”的个数是 ⁠. 第8题 18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. ★★把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地 放在一个底面为长方形（长为mcm、宽为ncm）的盒子底部（如图 ②），将盒子底部未被卡片覆盖的部分涂色，则图②中涂色部分的周长 和是 ⁠cm. 第9题 4n　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题（共51分） 10. （8分）（1） 化简：（2x2y＋3xy）－（6xy－3x2y）； 解：原式＝2x2y＋3xy－6xy＋3x2y＝5x2y－3xy （2） 先化简，再求值：6y2－（2x2－y）＋2（x2－3y2），其中x＝ －2023，y＝2024. 解：原式＝6y2－2x2＋y＋2x2－6y2＝y.当y＝2024时，原式＝2024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. （12分）已知A＝3x2－x＋2y－4xy，B＝2x2－3x－y＋xy. （1） 化简：2A－3B； 解：（1） 因为A＝3x2－x＋2y－4xy，B＝2x2－3x－y＋xy，所以 2A－3B＝2（3x2－x＋2y－4xy）－3（2x2－3x－y＋xy）＝6x2－ 2x＋4y－8xy－6x2＋9x＋3y－3xy＝7x＋7y－11xy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 当x＋y＝ ，xy＝－1时，求2A－3B的值. 解：（2） 因为x＋y＝ ，xy＝－1，所以2A－3B＝7x＋7y－11xy＝ 7（x＋y）－11xy＝7× －11×（－1）＝6＋11＝17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. ★（15分）老师写出一个整式：（ax2＋bx－1）－（4x2＋3x）（其 中a，b为常数），并让同学们给a，b赋予不同的数值进行计算. （1） 甲同学给出了一组数值，最后计算的结果为2x2－3x－1，则甲同 学给出a，b的值分别是a＝ ，b＝ ⁠； （2） 乙同学给出了a＝5，b＝－1，请化简整式； 解：（2） 当a＝5，b＝－1时，原式＝（5x2－x－1）－（4x2＋3x） ＝5x2－x－1－4x2－3x＝x2－4x－1 6　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3） 丙同学给出了一组数值，最后的计算结果与x的取值无关，请写 出丙同学的计算结果. 解：（3） 因为（ax2＋bx－1）－（4x2＋3x）＝（a－4）x2＋（b－ 3）x－1，且最后的计算结果与x的取值无关，所以原式＝－1，即丙同 学的计算结果是－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. ★（16分）在七年级活动课上，有三名同学各拿一张卡片，卡片上 分别为A，B，C三个代数式，三张卡片如图所示，其中C表示的代数 式是未知的. 第13题 （1） 若A为二次二项式，则k的值为 ⁠； （2） 若A－B的结果为常数，则这个常数是 ，此时k的值为 ⁠ ⁠； 1　 5　 －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3） 当k＝－1时，C＋2A＝B，求C. 解：当k＝－1时，A＝－2x2＋2x＋1.因为C＋2A＝B，所以C＝B－ 2A＝－2（x2－x＋2）－2（－2x2＋2x＋1）＝－2x2＋2x－4＋4x2－ 4x－2＝2x2－2x－6 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$