精品解析：2022年山东省青岛市局属学校中考数学模拟试题（三）

山东省青岛市局属学校2022年中考模拟试题 数学模拟3 （考试时间：120分钟；满分：120分） 本试题共四道大题，含24道小题．其中第1－8题为选择题；第9－14题为填空题；第15－24题为解答题．请用2B铅笔涂卡，黑色中性笔答题，将答案答在答题纸的相应位置上，务必对准题号． 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达680 000 000元，这个数用科学记数法表示正确的是（　　） A. 6.8×109元 B. 6.8×108元 C. 6.8×107元 D. 6.8×106元 4. 由几个大小不同的正方形组成的几何图形如图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉50条鱼做记号，然后放回湖里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后，再捕捞第二次，鱼共200条，有10条做了记号，则估计湖里有多少条鱼（ ） A. 400条 B. 500条 C. 800条 D. 1000条 6. 某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（ ） A. 10% B. 19% C. 9.5% D. 20% 7. 已知的半径，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则． 其中正确命题的个数是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 8. 某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 计算：=_____________ ； 10. 某剧团甲乙两个女舞蹈队的平均身高都是1.65米，甲队身高的方差是，乙队身高的方差是，那么两队中身高更整齐的是_______队．（填“甲”或“乙”）． 11. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为__． 12. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，轴于点C，则的面积为_________ 13. 如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为，圆心角为，则图中阴影部分的面积是________． 14. 如图，菱形的边长为1，；作于点，以为一边，作第二个菱形，使；作于点，以为一边作第三个菱形，使；……依此类推，这样作的第个菱形的边的长是____________ . 三、作图题（本题满分4分） 15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，求作点P，使点P到A、B两点的距离相等，且P到两边的距离也相等． 结论∶ 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）化简： （2）一元二次方程总有实数根，则m的范围． 17. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分． 组别 听写正确的个数 组中值 A 4 B 12 C 20 D 28 E 36 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共随机抽查了 名学生，并补全条形统计图； （2）该校共有名学生，如果听写正确的个数少于24个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数． 18. 某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下： 将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片（除数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去． （1）请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果； （2）你认为这个规则公平吗？请说明理由． 19. 如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆，小明在离旗杆下方大楼底部点24米的点处放置一台测角仪，测角仪的高度为1.5米，并在点处测得旗杆下端的仰角为40°，上端的仰角为45°，求旗杆的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 20. 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数： （1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ 21. 如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE=CF，DE∥BF，∠1=∠2． （1）求证：△AED≌△CFB； （2）若AD⊥CD，四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由． 22. 如图①所示，在A、B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶，图②是客车、货车离C站的距离（千米），（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象． （1）填空：A、B两地相距________千米； （2）求两小时后，货车离C站的距离与行驶时间x之间的函数关系式； （3）客、货两车何时相遇？ 23. 阅读下列材料： 已知：如图1，在中，，，，P为边上的一动点，以，为边构造，求对角线的最小值及此时的值是多少． 在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得的最小值为3．参考小明的做法，解决以下问题： （1）继续完成阅读材料中的问题：当的长度最小时，=　　； （2）如图3，延长到点E，使（n为大于0的常数）．以，为边作，那么对角线的最小值为　　，此时=　　； （3）如图4，如果P为边上的一动点，延长到点E，使（n为大于0的常数），以，为边作，那么对角线的最小值为　　，此时=　　． 24. 已知：把和按如图（1）摆放点与点重合，点、、在同一条直线上．，，，，． 如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以的速度沿向点匀速移动．当的顶点移动到边上时，停止移动，点也随之停止移动．与相交于点，连接，设移动时间为． 解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；是否存在某一时刻，使面积最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． （3）是否存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛市局属学校2022年中考模拟试题 数学模拟3 （考试时间：120分钟；满分：120分） 本试题共四道大题，含24道小题．其中第1－8题为选择题；第9－14题为填空题；第15－24题为解答题．请用2B铅笔涂卡，黑色中性笔答题，将答案答在答题纸的相应位置上，务必对准题号． 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 乘积为的两个数互为倒数，又 ， ∴ 的倒数是． 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达680 000 000元，这个数用科学记数法表示正确的是（　　） A. 6.8×109元 B. 6.8×108元 C. 6.8×107元 D. 6.8×106元 【答案】B 【解析】 【详解】680 000 000元=6.8×108元． 故选：B． 【点睛】考点：科学记数法—表示较大的数． 4. 由几个大小不同的正方形组成的几何图形如图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据从上面看得到的图形是俯视图，从上面看有两排，前排右边一个，后排三个正方形， 故选A． 5. 为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉50条鱼做记号，然后放回湖里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后，再捕捞第二次，鱼共200条，有10条做了记号，则估计湖里有多少条鱼（ ） A. 400条 B. 500条 C. 800条 D. 1000条 【答案】D 【解析】 【详解】设湖中有x条鱼，则200：10=x：50， 解得x=1000（条）． 故选：D． 【点睛】考点：用样本估计总体． 6. 某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（ ） A. 10% B. 19% C. 9.5% D. 20% 【答案】A 【解析】 【详解】解：把原价看作“1”，设每次降价率为x,则第一次降价后的价格为：1×(1-x),第二次降价后的价格为：1×（1-x）2,则可列方程：1×（1- x）2=1×81%，解得：x1=10%,x2=1.9(不合题意，舍去)，故选A. 考点：一元二次方程的应用. 7. 已知的半径，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则． 其中正确命题的个数是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，命题与定理．采用分类讨论的思想是解此题即可． 【详解】解： ①若时，直线与圆相离，圆上没有点到直线的距离等于的点，则，故正确； ②若时，直线与圆相离，圆上的点到直线的距离等于的点有1个，则，故正确； ③若，直线与圆相交或相离或相切，圆上的点到直线的距离等于的点有2个，则，故错误； ④若时，直线与圆相交，圆上的点到直线的距离等于的点有3个，则，故错误； ⑤若时，直线与圆相交，圆上的点到直线的距离等于的点有4个，则，故正确． 故选：C． 8. 某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图知蓄水池上宽下窄，深度h和放水时间t的比不一样，前者慢后者快，即前者的斜率小，后者斜率大， 分析各选项知只有A正确．B斜率一样，C前者斜率大，后者小，D也是前者斜率大，后者小， 因此B、C、D排除． 故选A． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 计算：=_____________ ； 【答案】 【解析】 【分析】先对二次根式化简，然后再进行求解． 【详解】解：原式=； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算是解题的关键． 10. 某剧团甲乙两个女舞蹈队的平均身高都是1.65米，甲队身高的方差是，乙队身高的方差是，那么两队中身高更整齐的是_______队．（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，掌握方差的意义是解答本题的关键．根据方差的意义，方差越小数据越稳定进行判断即可． 【详解】解：，则甲队中身高更整齐． ∴两队中身高更整齐的是甲队． 故答案为：甲． 11. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为__． 【答案】3 【解析】 【分析】利用平行四边形的对边平行且相等，进而求得AE=DE=AB，即可得出答案； 【详解】∵CE平分∠BCD交AD边于点E， ∴， ∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，准确计算是解题的关键． 12. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，轴于点C，则的面积为_________ 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由A与点B关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案. 【详解】∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∴的面积 故答案为：1 13. 如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为，圆心角为，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据菱形的性质得到是等边三角形，进而证明，得出四边形的面积等于的面积，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， , , 是是等边三角形， , , 的高为， , 扇形的半径为，圆心角为, , , , 在和中, , , , , 故答案为： ． 14. 如图，菱形的边长为1，；作于点，以为一边，作第二个菱形，使；作于点，以为一边作第三个菱形，使；……依此类推，这样作的第个菱形的边的长是____________ . 【答案】 【解析】 【详解】解：第一个菱形边长为1，由题得：第二个菱形的边长为， 第三个菱形的边长为，以此类推， 第n个菱形的边长为. 故答案为：. 三、作图题（本题满分4分） 15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，求作点P，使点P到A、B两点的距离相等，且P到两边的距离也相等． 结论∶ 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质和作法是解题的关键． 作线段的垂直平分线，再作的角平分线，两者交点即为点P． 【详解】解：如图所示，点P即为所求， 结论：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等； 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）化简： （2）一元二次方程总有实数根，则m的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算和一元二次方程根的判别式． （1）先计算括号内的分式的减法，再计算除法即可； （2）根据一元二次方程总有实数根得到，即可求出m的范围． 【详解】（1）解： （2）解：∵方程总有实数根， ∴， 即， ∴． 17. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分． 组别 听写正确的个数 组中值 A 4 B 12 C 20 D 28 E 36 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共随机抽查了 名学生，并补全条形统计图； （2）该校共有名学生，如果听写正确的个数少于24个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数． 【答案】（1）； 补全条形统计图如下： （2）人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据“B组”的频数和所占的百分比，利用频率，即可求出调查人数，进而求出“D组”的频数和“E组”的频数，再补全条形统计图即可； （2）求出“不合格”所占的百分比即可估计总体中“不合格”的人数． 【小问1详解】 解：本次共随机抽查了学生（名）， “D组”的频数为：（名）， “E组”的频数为：（名）， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数大约为名． 18. 某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下： 将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片（除数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去． （1）请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果； （2）你认为这个规则公平吗？请说明理由． 【答案】 （1）根据题意列表得： （2）公平，理由： 由列表得：共16种情况，其中奇数有8种，偶数有8种， ∴和为偶数和和为奇数的概率均为 ， ∴这个游戏公平． 【解析】 【分析】（1）用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可； （2）求得两人获胜的概率，若相等则公平，否则不公平． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了游戏公平性及列表与列树形图的知识，难度不大，是经常出现的一个知识点． 19. 如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆，小明在离旗杆下方大楼底部点24米的点处放置一台测角仪，测角仪的高度为1.5米，并在点处测得旗杆下端的仰角为40°，上端的仰角为45°，求旗杆的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】3.8 【解析】 【详解】试题分析：过点B作BF⊥DE于点F，则BF=AE=24，,在△BCF中利用，求出CF的长度，在△BDF中，DF=BF=24，然后可求CD的长． 试题解析：如图：过点B作BF⊥DE于点F，则BF=AE=24，,在△BCF中,因为，所以CF=0.84×24≈20.16（m），在△BDF中，因为∠DBF＝45°，所以DF=BF=24，所以CD="DF-CF=" =24-20.16=3.84≈3.8（m）． 考点：解直角三角形的实际应用. 20. 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数： （1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）35元 （2）30元或40元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数求最值的方法，以及一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）根据理解题意列出二次函数关系式，根据求二次函数最值的方法求解便可解出答案; （2）把2000代入二次函数关系式，根据函数性质，确定单价． 【小问1详解】 由题意，得：， 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． 【小问2详解】 由题意，得：， 解这个方程得：，． 答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元． 21. 如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE=CF，DE∥BF，∠1=∠2． （1）求证：△AED≌△CFB； （2）若AD⊥CD，四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）四边形ABCD是矩形；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠F，再利用“角角边”证明△AED和△CFB全等即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得AD=BC，∠DAE=∠BCF，再求出∠DAC=∠BCA，然后根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． 【详解】（1）证明：∵DE∥BF， ∴∠E=∠F， 在△AED和△CFB中， ， ∴△AED≌△CFB（AAS）； （2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下： ∵△AED≌△CFB， ∴AD=BC，∠DAE=∠BCF， ∴∠DAC=∠BCA， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AD⊥CD， ∴四边形ABCD是矩形． 22. 如图①所示，在A、B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶，图②是客车、货车离C站的距离（千米），（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象． （1）填空：A、B两地相距________千米； （2）求两小时后，货车离C站的距离与行驶时间x之间的函数关系式； （3）客、货两车何时相遇？ 【答案】（1）420 （2） （3）客、货两车经过小时相遇 【解析】 【分析】（1）由题意可知：B、C之间的距离为60千米，A、C之间的距离为360千米，两段距离相加即可； （2）根据货车两小时到达C站，求得货车的速度，进一步求得到达A站的时间，设两小时后，货车距离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式，利用待定系数法进行求解即可； （3）根据两函数图象相交，可知辆车相遇，求得的函数关系式，再与（2）中的函数关系式联立，可得方程组，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，B、C之间的距离为60千米，A、C之间的距离为360千米， （千米）， ∴A、B两地相距420千米， 故答案为：420． 【小问2详解】 解：设2小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数表达式为，根据题意得： 货车的速度为：， ，， ∴点P的坐标为， ∵点D的坐标为：， ∴将、代入， 可得， 解得， ． 【小问3详解】 解：设客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数表达式为，由题意可得： ， 解得：， ， 将两个函数关系式联立可得：，解得， 答：客、货两车经过小时相遇． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用、解二元一次方程组，根据题意并结合图象，理解其图象表示的意义是解题的关键． 23. 阅读下列材料： 已知：如图1，在中，，，，P为边上的一动点，以，为边构造，求对角线的最小值及此时的值是多少． 在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得的最小值为3．参考小明的做法，解决以下问题： （1）继续完成阅读材料中的问题：当的长度最小时，=　　； （2）如图3，延长到点E，使（n为大于0的常数）．以，为边作，那么对角线的最小值为　　，此时=　　； （3）如图4，如果P为边上的一动点，延长到点E，使（n为大于0的常数），以，为边作，那么对角线的最小值为　　，此时=　　． 【答案】（1）；（2）3，；（3），． 【解析】 【分析】（1）易证四边形是矩形，由条件“四边形是平行四边形可得，从而得到的值． （2）由题可知：当时，最短．可以证到四边形是矩形．从而可以得到，，由可以用表示，从而求出的值． （3）由题可知：当时，最短．过点C作，垂足为H，可以证到四边形是矩形，从而有，．由可以用表示．易证，从而可以求出，，从而有，，则有，从而求出AP=，进而求出的值． 【详解】解：（1）如图2， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． （2）如图5， 由题可知：当时，最短． ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）过点C作，垂足为H，如图6， 由题可知：当时，最短． ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂线段最短，矩形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 24. 已知：把和按如图（1）摆放点与点重合，点、、在同一条直线上．，，，，． 如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以的速度沿向点匀速移动．当的顶点移动到边上时，停止移动，点也随之停止移动．与相交于点，连接，设移动时间为． 解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；是否存在某一时刻，使面积最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． （3）是否存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）与之间的函数关系为；当时， （3）当，点、、三点在同一条直线上 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，列式计算即可； （2）作，交于，根据正弦的定义用含的代数式表示，根据三角形的面积公式求出函数关系式，根据二次函数的性质求出的最小值； （3）作，交于，证明，根据相似三角形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：点在线段的垂直平分线上， ． ，，， ． ． ． 由题意知：，， ． ． 在中，由勾股定理得：． 则． ． 解得：． 答：当时，点在线段的垂直平分线上． 【小问2详解】 过作，交于， ∴． 在和中，， ． 解得：． ，， ． ∴ ． ∵ ∴当时，． 答：；当时，四边形的面积最小，最小面积为． 【小问3详解】 假设存在某一时刻，使点、、三点在同一条直线上． 过作，交于， ． ， ． ． ． ，． ， ，、、在同一条直线上， ，． ， ． ， 即． 解得：，经检验是原方程的解． 答：当，点、、三点在同一条直线上． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、正弦的定义，相似三角形的判定和性质、二次函数的最值的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $