空间向量与立体几何：最值问题专项训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何：最值问题专项训练 空间向量与立体几何：最值问题专项训练 1．（23-24高三上·天津南开·期末）如图，在正方体中，为棱上一点（不含端点），为棱的中点. (1)若为棱的中点， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求平面和平面的夹角的余弦值； (2)求直线与所成角余弦值的取值范围. 2．（23-24高二上·江西赣州·期末）如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，，． (1)设平面平面，证明：； (2)直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面ABG？若存在，确定G的位置并说明理由； (3)若，，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围． 3．（23-24高二上·山东潍坊·期中）边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且. (1)证明：平面平面； (2)设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围. 4．（23-24高二上·山东淄博·期末）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的大小； (3)若线段上总存在一点，使得，求的最大值. 5．（23-24高二上·广东肇庆·期末）如图，平行四边形中，，，为的中点，将沿折起到的位置，使． (1)求点到平面的距离； (2)点为线段上一点，与平面所成的角为，求的最大值． 6．（23-24高二上·湖北六市联考·期末）如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； (2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围． 7．（23-24高二上·广东阳江市高新区·期末）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，平面为内的动点(含边界). (1)求平面与平面夹角的正弦值; (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 8．（23-24高二上·广东广州越秀区·期末）如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$空间向量与立体几何：最值问题专项训练 空间向量与立体几何：最值问题专项训练 1．（23-24高三上·天津南开·期末）如图，在正方体中，为棱上一点（不含端点），为棱的中点. (1)若为棱的中点， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求平面和平面的夹角的余弦值； (2)求直线与所成角余弦值的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【详解】（1）在正方体中以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 设正方体的棱长为2， 若为棱的中点，则，. 所以. （i）设平面的一个法向量为， 则即令，则. 设与平面所成角为，则有. 故直线与平面所成角的正弦值为. （ii）易知平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为，则有. 故平面和平面的夹角的余弦值为. （2）设直线与所成角为，则. 所以. 因为，所以，即，于是有， 所以，即. 故直线与所成角余弦值的取值范围为. 2．（23-24高二上·江西赣州·期末）如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，，． (1)设平面平面，证明：； (2)直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面ABG？若存在，确定G的位置并说明理由； (3)若，，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，G为DE中点，理由见解析 (3) 【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以. （2）解：存在为中点，使得平面. 理由如下： 取的中点，因为，可得， 又因为且，所以， 因为且平面，所以平面. （3）解：设点为中点，取和和中点为, 由（2）知，共面且平面，取与连线交于点， 连，则，可得为等腰梯形，所以， 建立如图示的空间直角坐标系O-xyz，则，，，， 因为，所以， 设到平面的距离为， 因为四边形和四边形为两个全等的等腰梯形，所以， 设，， 因为，所以，解得， 所以，， 可得，，，， 令，，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 令，则， 则， 令，则，所以在上单调递增， 当时，；当时， 所以，所以， 故平面BFG和平面DEA的夹角的余弦值的取值范围为． 3．（23-24高二上·山东潍坊·期中）边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且.    (1)证明：平面平面； (2)设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）在正方形中， ∵面面面，面面， ∴面， ∵面,∴， ∵在以为直径的半圆上，∴， 又∵面，面， 又面， ∴面面， （2）∵，∴ 又∵为二面角的平面角， ∴，同理. 在梯形中，. 取的中点，以为轴正半轴，以平行于的方向为轴正半轴，以平面内垂直于的方向为轴正半轴，建立如图空间直角坐标系：    则，设，， 则， 设平面的法向量为 则， 令，则， 设直线和平面所成角为， 则， 设， 则， 令， 当时，， 当时，， 令，任意， ， 因为，所以，，， 所以，所以在上为减函数， 故，所以， 所以， 所以， 所以直线和平面所成角的正弦值的取值范围. 4．（23-24高二上·山东淄博·期末）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的大小； (3)若线段上总存在一点，使得，求的最大值. 【答案】(1)证明负了解析； (2)； (3). 【详解】（1）设，连结，，矩形中，是线段的中点，是线段的中点， 则，，于是为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由平面平面，，平面平面，平面， 得平面，又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立如空间直角坐标系，， 则， ，，设平面的法向量为， 则，令，得， 由，得平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则，解得， 所以平面与平面夹角的大小为. （3）由（2）知，， 则，，设， 则，，于是， 由，得，即，因此，又， 所以，即的最大值为. 5．（23-24高二上·广东肇庆·期末）如图，平行四边形中，，，为的中点，将沿折起到的位置，使． (1)求点到平面的距离； (2)点为线段上一点，与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，，， 所以，为等边三角形，所以，，， 因为，，则， 所以，，即， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面， 取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为，， 因为，，则为等边三角形， 则， 所以，点到平面的距离为. （2）解：取的中点，连接，因为为的中点，则， 因为，所以，，又因为平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 设，其中， 所以，， 所以， ， 所以，当时，取最大值，且其最大值为. 6．（23-24高二上·湖北六市联考·期末）如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； (2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因二面角为直二面角，即平面平面，又， 平面平面，平面，则平面， 又平面，即得， 四边形为矩形，≌，则,即， 平面，于是平面，平面， 所以平面平面； （2）过E作平面，由（1）知平面，平面，故， 以为原点，射线EB，EA，Ez分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， ∵，，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 则， 设平面的法向量为，则，即， 则， 由图可知二面角为锐二面角， 从而有， 而，则，, 所以. 7．（23-24高二上·广东阳江市高新区·期末）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，平面为内的动点(含边界). (1)求平面与平面夹角的正弦值; (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由题意知，，又，则， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 则， 设平面与平面夹角为，则， 则， 即平面与平面夹角的正弦值为. （2）如（1）建系及图可知，平面的法向量为， 平面的法向量为， 设，则， 因为平面面，所以， 解得，所以， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 又为内的动点(含边界)所以，解得， 所以， 令，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 两边同乘以3可得直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 8．（23-24高二上·广东广州越秀区·期末）如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，，所以四边形为平行四边形，故, 又平面，平面,所以平面； 连接交于N，连接，因为四边形是正方形，故N为中点， M是的中点，在中，有，平面，平面, 所以平面，且平面，平面,, 所以平面平面. （2）如图，建立空间直角坐标系，设，， 则，又M是的中点， 故,，因为， 所以，解得，设，因点P为线段上一点， 则，即， 故，所以， 又，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 即，设直线与平面所成角为， 则     当时， 设，，所以， 当时，所以， 当时，，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$