精品解析：2024年江苏省中考数学模拟押试题

江苏省2024年中考数学模拟押题卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内．写在试题卷、草稿纸上均无效． 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（　　） A. 小丽从家到达公园共用时间20分钟 B. 公园离小丽家的距离为2000米 C. 小丽在便利店时间为15分钟 D. 便利店离小丽家的距离为1000米 2. 如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加下列条件，不一定能得出BE∥DF的是（　　） A. AE＝CF B. BE＝DF C. ∠EBF＝∠FDE D. ∠BED＝∠BFD 3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C D. 4. 把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（　　） A. 15 B. 17 C. 19 D. 24 5. 若关于x的一元二次方程x（x+2）=m总有两个不相等的实数根，则（　　） A. m＜﹣1 B. m＞1 C. m＞﹣1 D. m＜1 6. 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．将半径为5的“等边扇形”围成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（　　） A. B. π C. 50 D. 50π 7. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 一次函数与反比例函数在同一个坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是（） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 圆锥 10. 如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的解是____． 12. 有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是___ 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，点B坐标分别为，将线段沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为，则点A的对应点的坐标为___． 14. 一个圆锥的侧面展开图是半径为8 cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________． 15. 观察以下一列数：3，，，，，…则第20个数是_____． 16. 二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … 则的解为________． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 如图， 已知直线 与反比例函数 的图象交于 A、 B两点，且点 A 的横坐标为 4． （1）求值； （2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围． （3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P、 Q两点 （点P在第一象限） ，若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为，求点P 的坐标． 18. 观察下列等式： 22﹣2×1＝12+1① 32﹣2×2＝22+1② 42﹣2×3＝32+1③ … （1）第④个等式为　 　； （2）根据上面等式的规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示，n是正整数），并说明你猜想的等式正确性． 19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC. （1）求点A、B、D的坐标； （2）若△AOD与△BPC相似，求a的值； （3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由. 20. 为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档与的长分别为和，且它们互相垂直，座杆的长为．点、、在同一条直线上，且．（参考数据：，， （1）求车架档的长； （2）求车座点E到车架档距离（结果精确到）． 21. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，2） (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D与点C关于点M对称，试问在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BMP与△ABD相似？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，为的直径，，为上一点，过点作的弦，设． （1）若时，求、的度数各是多少？ （2）当时，是否存在正实数，使弦最短？如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由； （3）在（1）条件下，且，求弦的长． 24. 如图，在中，是高，点、、分别在、、上且，，试判断与的位置关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省2024年中考数学模拟押题卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内．写在试题卷、草稿纸上均无效． 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（　　） A. 小丽从家到达公园共用时间20分钟 B. 公园离小丽家的距离为2000米 C. 小丽在便利店时间为15分钟 D. 便利店离小丽家的距离为1000米 【答案】C 【解析】 【分析】由题中描述，结合函数图像，从中获取相关信息，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、小丽从家到达公园共用时间20分钟，说法正确，不符合题意； B、公园离小丽家的距离为2000米，说法正确，不符合题意； C、小丽在便利店时间为（分钟），说法错误，符合题意； D、便利店离小丽家的距离为1000米，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查从函数图像中获取信息，数形结合，搞清楚各段图形的意义是解决问题的关键． 2. 如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加下列条件，不一定能得出BE∥DF的是（　　） A. AE＝CF B. BE＝DF C. ∠EBF＝∠FDE D. ∠BED＝∠BFD 【答案】B 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，AD=BC，然后由AE=CF，∠EBF=∠FDE，∠BED=∠BFD均可判定四边形BFDE是平行四边形，则可证得BE//DF，利用排除法即可求得答案． 【详解】四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，AD=BC， A、∵AE=CF， ∴DE=BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE//DF，故本选项能判定BE//DF； B、∵BE=DF，DE//BF， 四边形BFDE可能是平行四边形也可能是等腰梯形， 本选项不一定能判定BE//DF； C、∵AD//BC， ∴∠BED+∠EBF=180°，∠EDF+∠BFD=180°， ∵∠EBF=∠FDE， ∴∠BED=∠BFD， 四边形BFDE是平行四边形， ∴BE//DF， 故本选项能判定BE//DF； D、∵AD//BC， ∴∠BED+∠EBF=180°，∠EDF+∠BFD=180°， ∵∠BED=∠BFD， ∴∠EBF=∠FDE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE//DF，故本选项能判定BE//DF． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，注意根据题意证得四边形BFDE是平行四边形是关键． 3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、它是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、它是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、它既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确； D、它是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C 4. 把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（　　） A. 15 B. 17 C. 19 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出是解题的关键．由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形个，第③个图案有三角形个，第④个图案有三角形，…第n个图案有三角形个（时），由此得出规律解决问题． 【详解】解：∵第①个图案有三角形1个， 第②图案有三角形个， 第③个图案有三角形个， … ∴第n个图案有三角形个（时）， 则第⑦个图中三角形的个数是个， 故选：D． 5. 若关于x的一元二次方程x（x+2）=m总有两个不相等的实数根，则（　　） A. m＜﹣1 B. m＞1 C. m＞﹣1 D. m＜1 【答案】C 【解析】 【分析】将关于x的一元二次方程化成标准形式，然后利用Δ>0，即得m的取值范围. 【详解】因为方程是关于x的一元二次方程方程，所以可得,Δ＝4+4m > 0，解得m>﹣1,故选C 【点睛】本题熟练掌握一元二次方程的基本概念是本题的解题关键. 6. 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．将半径为5的“等边扇形”围成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（　　） A B. π C. 50 D. 50π 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义得到扇形的弧长为5，然后根据扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积=•5•5=． 故选A． 【点睛】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 7. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8． ∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B． 考点：作图—基本作图；含30度角的直角三角形． 8. 一次函数与反比例函数在同一个坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当k＞0时，一次函数y=kx﹣k的图象过一、三、四象限，反比例函数y=的图象在一、三象限，∴A、C不符合题意，B符合题意；当k＜0时，一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限，反比例函数y=的图象在二、四象限，∴D不符合题意． 故选B． 9. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是（） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：观察可得，主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形，所以这个几何体是三棱柱，故选A． 考点：由三视图判定几何体. 10. 如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=1080，即可求得n=8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案． 【详解】解：设此多边形为n边形， 根据题意得：180（n-2）=1080， 解得：n=8， ∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°． 故选：A． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识，注意掌握多边形内角和计算公式（n-2）•180°，外角和等于360°是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的解是____． 【答案】 【解析】 【分析】观察可得方程最简公分母为，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，具体方法是方程两边同时乘以最简公分母，在此过程中有可能会产生增根，增根是转化后整式的根，不是原方程的根，因此要注意检验． 【详解】解： 方程两边同乘得： ， 整理、解得． 检验：把代入． ∴是原方程的解， 故答案为． 12. 有6张卡片，每张卡片上分别写有不同从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是___ 【答案】 【解析】 【分析】分别求出从1到6的数中3的倍数的个数，再根据概率公式解答即可． 【详解】有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，共有6种结果，其中卡片上的数是3的倍数的有3和6两种情况，所以从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是． 故答案为 【点睛】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比. 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为，将线段沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为，则点A的对应点的坐标为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移．解决本题的关键是正确理解题目．根据平移的性质即可得到结论． 【详解】解：∵将线段沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 一个圆锥的侧面展开图是半径为8 cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________． 【答案】cm 【解析】 【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．设此圆锥的底面半径为r， 【详解】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=， r=cm． 15. 观察以下一列数：3，，，，，…则第20个数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】观察已知数列得到一般性规律，写出第20个数即可． 【详解】解：观察数列得：第n个数为，则第20个数是． 故答案． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解答本题的关键． 16. 二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … 则的解为________． 【答案】或 【解析】 【分析】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x轴的另一个交点．继而求得答案. 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2）， ∴此抛物线的对称轴为：直线x=-， ∵此抛物线过点（1，0）， ∴此抛物线与x轴的另一个交点为：（-2，0）， ∴ax2+bx+c=0的解为：x=-2或1． 故答案为x=-2或1. 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点问题．此题难度适中，注意掌握二次函数的对称性是解此题的关键. 三、解答题（共8题，共72分） 17. 如图， 已知直线 与反比例函数 的图象交于 A、 B两点，且点 A 的横坐标为 4． （1）求值； （2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围． （3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P、 Q两点 （点P在第一象限） ，若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为，求点P 的坐标． 【答案】（1）32； （2）或 （3）点P的坐标是或 【解析】 【分析】（1）把点A的横坐标为4代入直线，得，即得A点坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值即可； （2）由正比例函数与反比例函数的对称性可得点B的坐标，观察图象即可确定不等式的解集； （3）由正比例函数与反比例函数的对称性知，四边形是平行四边形，从而得；设点P的横坐标为m（），得，过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，由反比例函数比例系数的几何意义得；分及两种情况进行考虑，利用建立方程求得m的值，即可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：把点A的横坐标为4代入直线，得，即A点坐标为， 把点代入双曲线得，， 【小问2详解】 解：由于正比例函数与反比例函数关于原点的中心对称图形， 则点A与点B关于原点对称， ∴点B的坐标为， 观察图象知，当时，或． 【小问3详解】 解：∵反比例函数图象与正比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ， ∴四边形是平行四边形， ； 设点P的横坐标为m（），得 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， 若，如图， ， ， ， 解得，（舍去）， ， 若，如图， 同理可得：， 解得，（舍去）， ， ∴点P的坐标是或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象与性质，比例系数的几何意义，平行四边形的判定等知识，注意数形结合与分类讨论思想的应用． 18. 观察下列等式： 22﹣2×1＝12+1① 32﹣2×2＝22+1② 42﹣2×3＝32+1③ … （1）第④个等式为　 　； （2）根据上面等式的规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示，n是正整数），并说明你猜想的等式正确性． 【答案】（1）52﹣2×4＝42+1；（2）（n+1）2﹣2n＝n2+1，证明详见解析． 【解析】 【分析】（1）根据①②③的规律即可得出第④个等式； （2）第n个等式为（n+1）2﹣2n＝n2+1，把等式左边的完全平方公式展开后再合并同类项即可得出右边． 【详解】（1）∵22﹣2×1＝12+1① 32﹣2×2＝22+1② 42﹣2×3＝32+1③ ∴第④个等式为52﹣2×4＝42+1， 故答案为52﹣2×4＝42+1， （2）第n个等式为（n+1）2﹣2n＝n2+1． （n+1）2﹣2n＝n2+2n+1﹣2n＝n2+1． 【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC. （1）求点A、B、D的坐标； （2）若△AOD与△BPC相似，求a的值； （3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由. 【答案】（1）（1）A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.（2）a的值为.（3）当a=时，D、O、C、B四点共圆. 【解析】 【详解】【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴相交，则y=0，得出A（a，0），B（3，0），与y轴相交，则x=0，得出D（0，3a）. （2）根据（1）中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴x=，AO=a，OD=3a，代入求得顶点C（，-），从而得PB=3- =，PC=；再分情况讨论：①当△AOD∽△BPC时，根据相似三角形性质得， 解得：a= 3（舍去）； ②△AOD∽△CPB，根据相似三角形性质得 ，解得：a1=3（舍），a2=； （3）能；连接BD，取BD中点M，根据已知得D、B、O在以BD为直径，M（，a）为圆心的圆上，若点C也在此圆上，则MC=MB，根据两点间的距离公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案. 【详解】（1）∵y=（x-a）（x-3）（0<a<3）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）， ∴A（a，0），B（3，0）， 当x=0时，y=3a， ∴D（0，3a）； （2）∵A（a，0），B（3，0），D（0，3a）.∴对称轴x=，AO=a，OD=3a， 当x= 时，y=- ， ∴C（，-）， ∴PB=3-=，PC=， ①当△AOD∽△BPC时， ∴， 即 ，   解得：a= 3（舍去）； ②△AOD∽△CPB， ∴， 即 ， 解得：a1=3（舍），a2= . 综上所述：a的值为； （3）能；连接BD，取BD中点M， ∵D、B、O三点共圆，且BD为直径，圆心为M（，a）， 若点C也在此圆上， ∴MC=MB， ∴ ， 化简得：a4-14a2+45=0， ∴（a2-5）（a2-9）=0， ∴a2=5或a2=9， ∴a1=，a2=-，a3=3（舍），a4=-3（舍）， ∵0<a<3， ∴a=， ∴当a=时，D、O、C、B四点共圆. 【点睛】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进行分析，熟练应用相关知识是解题的关键. 20. 为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档与的长分别为和，且它们互相垂直，座杆的长为．点、、在同一条直线上，且．（参考数据：，， （1）求车架档的长； （2）求车座点E到车架档的距离（结果精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可． （2）过点作，在中，利用三角函数求，即可得到答案． 此题主要考查了勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 【小问1详解】 解： 在中，， ， 车架档的长是； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ， ， 车座点到车架档的距离约是． 21. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，2） (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D与点C关于点M对称，试问在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BMP与△ABD相似？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y=﹣x2+x+2；(2)满足条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）或（，5）或（，﹣5）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的表达式； （2）使△BMP与△ABD相似的有三种情况，分别求出这三个点的坐标. 【详解】(1)∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）， ∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）， ∵抛物线与y轴交于点C（0，2）， ∴a×1×（﹣4）=2， ∴a=﹣， ∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2； (2)如图1，连接CD，∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2， ∴抛物线的对称轴为直线x=， ∴M（，0），∵点D与点C关于点M对称，且C（0，2）， ∴D（3，﹣2）， ∵MA=MB，MC=MD， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∵A（﹣1，0），B（4，0），C（3，﹣22）， ∴AB2=25，BD2=（4﹣1）2+22=5，AD2=（3+1）2+22=20， ∴AD2+BD2=AB2， ∴△ABD是直角三角形， ∴∠ADB=90°， 设点P（，m）， ∴MP=|m|， ∵M（，0），B（4，0）， ∴BM=， ∵△BMP与△ABD相似， ∴①当△BMP∽ADB时， ∴， ∴， ∴m=±， ∴P（，）或（，﹣）， ②当△BMP∽△BDA时， ， ∴， ∴m=±5， ∴P（，5）或（，﹣5）， 即：满足条件的点P的坐标为P（，）或（，﹣）或（，5）或（，﹣5）． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用. 22. 铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)y＝10x+100；(2)这种干果每千克应降价9元；(3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可得到函数的解析式； （2）根据销售量×每千克利润＝总利润列出方程求解即可； （3）根据销售量×每千克利润＝总利润列出函数解析式求解即可． 【详解】(1)设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b， 把(2，120)和(4，140)代入得，， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝10x+100； (2)根据题意得，(60﹣40﹣x)(10x+100)＝2090， 解得：x＝1或x＝9， ∵为了让顾客得到更大的实惠， ∴x＝9， 答：这种干果每千克应降价9元； (3)该干果每千克降价x元，商贸公司获得利润是w元， 根据题意得，w＝(60﹣40﹣x)(10x+100)＝﹣10x2+100x+2000， ∴w＝﹣10(x﹣5)2+2250， ∵a=-10，∴当x＝5时， 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，此类题目主要考查学生分析、解决实际问题能力，又能较好地考查学生“用数学”的意识． 23. 如图，为的直径，，为上一点，过点作的弦，设． （1）若时，求、的度数各是多少？ （2）当时，是否存在正实数，使弦最短？如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由； （3）在（1）的条件下，且，求弦的长． 【答案】（1）， ;（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）连结AD、BD,利用m求出角的关系进而求出∠BCD、∠ACD的度数; （2）连结,由所给关系式结合直径求出AP，OP，根据弦CD最短，求出∠BCD、∠ACD的度数，即可求出m的值． （3）连结AD、BD，先求出AD，BD，AP，BP的长度，利用△APC∽△DPB和△CPB∽△APD得出比例关系式，得出比例关系式结合勾股定理求出CP，PD，即可求出CD． 【详解】解：（1）如图1，连结、． 是的直径 ， 又， ， （2）如图2，连结． ，， ，则， 解得 要使最短，则于 ， ， ， 故存在这样的值，且； （3）如图3，连结、． 由（1）可得， ，， ， ，， ， ， ①， ② 同理 ， ③， 由①得，由③得 ， 在中，， ， 由②，得， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和锐角三角函数关系和圆周角定理等知识，掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键． 24. 如图，在中，是高，点、、分别在、、上且，，试判断与的位置关系，并说明理由. 【答案】DG∥BC；证明见解析. 【解析】 【分析】根据垂直的定义可得∠EFB=∠CDB=90°，根据同位角相等两直线平行可得CD∥EF，再根据两直线平行，同位角相等求出∠2=∠BCD，根据等量代换可得∠1=∠BCD，再根据内错角相等，两直线平行证明即可． 详解】DG∥BC．理由如下： ∵CD是高，EF⊥AB， ∴∠EFB=∠CDB=90°， ∴CD∥EF， ∴∠2=∠BCD， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠BCD， ∴DG∥BC． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟记平行线的性质与判定方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$