第二十一章 一元二次方程 单元测试2024-2025学年人教版数学九年级上册

阶段测评卷 (第二十一章) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题4分,共40分) 1.下列方程中,一元二次方程是( ) A.x-=0 B.x2+1=0 C.ax2+bx+c=0 D.x-y-1=0 2.下列将一元二次方程(x+2)(x-3)=5化成一般形式正确的是( ) A.x2+x-11=0 B.x2-x-11=0 C.x2-x-6=0 D.x2+x-6=0 3.用配方法解方程x2-8x=1时,需要两边同时加上( ) A.4 B.8 C.16 D.64 4.(2023·南宁青秀区质检)已知关于x的一元二次方程x2-2x+a2-9=0的一个根是0,则a的值是( ) A.4 B.3 C.-3 D.3或-3 5.一元二次方程2x2=x的解是( ) A.x=0 B.x= C.x1=0,x2= D.x1=0,x2=- 6.一元二次方程x2-2x+3=0根的情况是( ) A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 7.若关于x的一元二次方程x2-(4+m)x+3m=0的常数项是-6,则它的一次项是( ) A.-2x B.-2 C.2x D.2 8.(2023·南宁兴宁区质检)若α,β是x2-2x-4=0的两根,则α2+β2的值是( ) A.-4 B.4 C.10 D.12 9.等腰三角形一边长为2,它的另外两条边长度是关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实根,则k的值是( ) A.8 B.9 C.12 D.8或9 10.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:“直田积八百九十一步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?”意思是:一块矩形田地的面积为891平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?依题意得,长比宽多( ) A.15步 B.12步 C.9步 D.6步 二、填空题(每小题4分,共24分) 11.(2024·南宁邕宁区质检)若方程(m+2)x2+5x-7=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是　 　.  12.已知a为方程x2-x-6=0的一个根,则代数式2a-2a2+5的值为 　.  13.已知关于x的一元二次方程(k-2)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是　 　.  14.(2024·钦州浦北县质检)以-3和6为根且二次项系数为1的一元二次方程是　 　.  15.如图,有一张长12 cm,宽9 cm的矩形纸片,在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是70 cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是x cm,根据题意,可列方程为　 .  16.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号Max{a,b}表示a,b中的较大值,如:Max{1,3}=3,按照这个规定,方程Max{1,x}=x2-6的解为　 　.  三、解答题(共36分) 17.(8分)解方程:x2-16=4x. 18.(9分)嘉嘉与淇淇两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下. 嘉嘉:两边同时除以(x-3),得3=x-3,解得x=6. 淇淇:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0, 提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0. 则x-3=0或3-x-3=0, 解得x1=3,x2=0. (1)嘉嘉的解法　　　　　,淇淇的解法　　　　　;(填“正确”或“不正确”)  (2)请你给出正确的解法. 19.(9分)已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长. (1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由; (2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由. 20.(10分)(2024·玉林玉州区期中)为促进乡村振兴发展,着力打造乡村旅游重点村,广西某旅游村在今年的国庆节假期,接待游客达2万人次,预计后年的国庆节假期接待游客有望达到2.88万人次,该旅游村内一家特色粉店希望在国庆节假期卖粉获得好的收益,经测算可知,该粉的成本价为每份10元,若每份卖15元,平均每天将销售128份,若价格每提高1元,则平均每天少销售8份,每天店内所需其他各种费用为232元. (1)求预计该旅游村明、后两年国庆节假期游客人次的年平均增长率; (2)为了更好地维护旅游村形象,物价局规定每份粉售价不得超过20元,当每份粉提高多少元时,店家才能实现每天净利润600元?(净利润=总收入-总成本-其他各种费用) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶段测评卷 (第二十一章) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题4分,共40分) 1.下列方程中,一元二次方程是(B) A.x-=0 B.x2+1=0 C.ax2+bx+c=0 D.x-y-1=0 2.下列将一元二次方程(x+2)(x-3)=5化成一般形式正确的是(B) A.x2+x-11=0 B.x2-x-11=0 C.x2-x-6=0 D.x2+x-6=0 3.用配方法解方程x2-8x=1时,需要两边同时加上(C) A.4 B.8 C.16 D.64 4.(2023·南宁青秀区质检)已知关于x的一元二次方程x2-2x+a2-9=0的一个根是0,则a的值是(D) A.4 B.3 C.-3 D.3或-3 5.一元二次方程2x2=x的解是(C) A.x=0 B.x= C.x1=0,x2= D.x1=0,x2=- 6.一元二次方程x2-2x+3=0根的情况是(A) A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 7.若关于x的一元二次方程x2-(4+m)x+3m=0的常数项是-6,则它的一次项是(A) A.-2x B.-2 C.2x D.2 8.(2023·南宁兴宁区质检)若α,β是x2-2x-4=0的两根,则α2+β2的值是(D) A.-4 B.4 C.10 D.12 9.等腰三角形一边长为2,它的另外两条边长度是关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实根,则k的值是(B) A.8 B.9 C.12 D.8或9 10.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:“直田积八百九十一步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?”意思是:一块矩形田地的面积为891平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?依题意得,长比宽多(D) A.15步 B.12步 C.9步 D.6步 二、填空题(每小题4分,共24分) 11.(2024·南宁邕宁区质检)若方程(m+2)x2+5x-7=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是　m≠-2　.  12.已知a为方程x2-x-6=0的一个根,则代数式2a-2a2+5的值为　-7　.  13.已知关于x的一元二次方程(k-2)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是　k>1且k≠2　.  14.(2024·钦州浦北县质检)以-3和6为根且二次项系数为1的一元二次方程是　x2-3x-18=0　.  15.如图,有一张长12 cm,宽9 cm的矩形纸片,在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是70 cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是x cm,根据题意,可列方程为　(12-2x)(9-2x)=70　.  16.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号Max{a,b}表示a,b中的较大值,如:Max{1,3}=3,按照这个规定,方程Max{1,x}=x2-6的解为　x=3或x=-　.  三、解答题(共36分) 17.(8分)解方程:x2-16=4x. 【解析】x2-16=4x, 移项,得x2-4x-16=0, 这里a=1,b=-4,c=-16, ∵b2-4ac=(-4)2-4×1×(-16)=80>0, ∴x===2±2, ∴x1=2+2,x2=2-2. 18.(9分)嘉嘉与淇淇两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下. 嘉嘉:两边同时除以(x-3),得3=x-3,解得x=6. 淇淇:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0, 提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0. 则x-3=0或3-x-3=0, 解得x1=3,x2=0. (1)嘉嘉的解法　　　　　,淇淇的解法　　　　　;(填“正确”或“不正确”)  【解析】(1)嘉嘉的解法不正确,淇淇的解法不正确; 答案:不正确　不正确 (2)请你给出正确的解法. 【解析】(2)正确的解法是:3(x-3)=(x-3)2, 移项,得3(x-3)-(x-3)2=0, 提取公因式,得(x-3)(3-x+3)=0, 则x-3=0或3-x+3=0, 解得x1=3,x2=6. 19.(9分)已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长. (1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由; 【解析】(1)△ABC是等腰三角形,理由如下: ∵x=-1是一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0的根, ∴(a+b)-2c+(b-a)=0, a+b-2c+b-a=0, b-c=0, ∴b=c, ∴△ABC是等腰三角形; (2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由. 【解析】(2)△ABC是直角三角形,理由如下: ∵方程有两个相等的实数根, ∴(2c)2-4(a+b)(b-a)=0, ∴a2+c2=b2, ∴△ABC是直角三角形. 20.(10分)(2024·玉林玉州区期中)为促进乡村振兴发展,着力打造乡村旅游重点村,广西某旅游村在今年的国庆节假期,接待游客达2万人次,预计后年的国庆节假期接待游客有望达到2.88万人次,该旅游村内一家特色粉店希望在国庆节假期卖粉获得好的收益,经测算可知,该粉的成本价为每份10元,若每份卖15元,平均每天将销售128份,若价格每提高1元,则平均每天少销售8份,每天店内所需其他各种费用为232元. (1)求预计该旅游村明、后两年国庆节假期游客人次的年平均增长率; 【解析】(1)设年平均增长率为x, 依题可得2(1+x)2=2.88, 解得:x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去), 答:预计该旅游村明、后两年国庆节假期游客人次的年平均增长率为20%. (2)为了更好地维护旅游村形象,物价局规定每份粉售价不得超过20元,当每份粉提高多少元时,店家才能实现每天净利润600元?(净利润=总收入-总成本-其他各种费用) 【解析】(2)设当每份粉提高a元时,店家才能实现每天净利润600元, 依题可得:(15+a-10)(128-8a)-232=600, 即a2-11a+24=0, 解得:a1=3,a2=8, 当a1=3时,售价为15+3=18<20,符合题意; 当a2=8时,售价为15+8=23>20,不符合题意,舍去. 答:每份粉提高3元时,店家能实现每天净利润600元. 学科网（北京）股份有限公司 $$