精品解析：2024年湖南初中学业水平考试模拟数学试卷题（五）

2024年湖南初中学业水平考试模拟试卷（五） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请匆折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 随着全球新一轮科技革命和产业变革的蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2024年第一季度新能源汽车售209万辆，同比增长31.8%．其中209万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是( ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 5. 不等式组，解集是（ ） A. B. C. D. 无解 6. 如图，a，b是两条平行的小路，小何沿与小路b的夹角为55°的方向前进，到点O处时，向左拐60°继续前进，则他拐弯后的路线与小路a的夹角（∠1）的度数是（ ） A. 50° B. 55° C. 65° D. 75° 7. 骰子各面上的点数分别是1，2，…，6，抛掷一枚骰子，点数是2倍数的概率是（　　） A. B. C. D. 1 8. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成角（即），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距25米（即米），则彩旗绳的长度为（　 ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 当代数式值为1时，则x的值为（ ） A. 2 B. C. 2或4 D. 2或 10. 如图，是锐角三角形的外接圆，．垂足分别为D，E，F，连接．若，的周长为20，则的长为（　　） A. 8 B. 4 C. D. 3 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解： ________________． 12. 定义一种新运算：对于两个非零实数，，若，则的值是_____． 13. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示： 成绩 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 人数/名 1 3 2 3 1 则这10名运动员成绩的中位数是___________． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点P在一次函数图像上，若满足的点P只有1个，则b的取值范围是_____． 15. 如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段圆心角为的圆弧组成的．的圆心为点C，半径为，的圆心为点D，半径为，…，，，，的圆心依次为A，B，C，D循环，则弧的长是____________． 16. 某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算． 18. 先化简，再求值；，其中为满足的整数． 19. 如图，已知锐角中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2） 20. 香港是我国发达的城市之一，是一座高度繁荣的自由港和国际大都市，与纽约、伦敦并称为“纽伦港”，是全球第三大金融中心．香港自古以来就是中国的领土，它是英国在十九世纪通过同清政府签订的三个不平等条约，先后强行割让和租借去的土地，2024年香港回归祖国27周年．为纪念香港回归，加强爱国教育，某中学对全体学生进行“香港回归，爱我中华”测试，学校随机抽取了部分学生的测试成绩，并根据测试成绩绘制两种统计图表（不完整），请结合图中信息解答下列问题： 学生测试成绩频数分布表 组别 成绩x分 人数 A 8 B m C 24 D n （1）表中的m值为 ，n值为 ； （2）求扇形统计图中部分所在扇形的圆心角度数； （3）若测试成绩80分以上（含80分）为优秀，根据调查结果请估计全校2000名学生中测试成绩为优秀的人数． 21. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 2023年12月17日上午，第二届济南市全民阅读大会暨全民阅读冬季讲读活动开幕式在济南市图书馆中心馆举行．济南市直有关部门负责同志、中小学生代表、市民代表、媒体记者等共计500余人参加活动．为积极响应建设“书香济南”的号召，某校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同． （1）男装、女装的单价各是多少？ （2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？ 23. 在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 24. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点． （1）求长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． 探究：在图2中 （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小． 25. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的镜面函数．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的镜面函数的图象如图②所示，且它的镜面函数的解析式为，也可以写成． （1）在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象． （2）函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值． （3）已知，，，，，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有个交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年湖南初中学业水平考试模拟试卷（五） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请匆折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，相反数，熟知这两个定义是解题的关键，先化简，再根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：∵， 5的相反数是， ∴的相反数是， 故选：A 2. 随着全球新一轮科技革命和产业变革的蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2024年第一季度新能源汽车售209万辆，同比增长31.8%．其中209万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将209万等于写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：209万等于． 故选A． 3. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误； C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键． 4. 如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是( ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】，计算-1.732与-3，-2，-1的差的绝对值，确定绝对值最小即可. 【详解】， ， ， ， 因为0.268＜0.732＜1.268， 所以 表示的点与点B最接近， 故选B. 5. 不等式组，的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】A 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 6. 如图，a，b是两条平行的小路，小何沿与小路b的夹角为55°的方向前进，到点O处时，向左拐60°继续前进，则他拐弯后的路线与小路a的夹角（∠1）的度数是（ ） A. 50° B. 55° C. 65° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点O作OA//b，则∠2=55°，即可求出∠3=65°，再利用平行可得∠1=∠3=65°； 【详解】解：如图，过点O作OA//b，则∠2=55°， ∵∠2+∠3+60°=180° ∴∠3=180°-∠2-60°=180°-55°-60°=65° ∵a∥b ∴OA∥a ∴∠1=∠3=65° 故答案选：C 【点睛】本题主要考查了平行的性质，解题的关键是数形结合思想的应用． 7. 骰子各面上的点数分别是1，2，…，6，抛掷一枚骰子，点数是2倍数的概率是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键． 根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：∵抛掷一枚骰子，共有6种等可能的结果，偶数有3种， ∴点数是偶数的概率． 故选A． 8. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成角（即），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距25米（即米），则彩旗绳的长度为（　 ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 根据直角三角形的边角关系即可解答． 【详解】解：如图，由题意得，， 在中， ∵， ∴米． 故选：C． 9. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 当代数式的值为1时，则x的值为（ ） A. 2 B. C. 2或4 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可． 【详解】解：由规律可得：， 令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键． 10. 如图，是锐角三角形的外接圆，．垂足分别为D，E，F，连接．若，的周长为20，则的长为（　　） A. 8 B. 4 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、垂径定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 由垂径定理可得，根据三角形的中位线定理得到，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解： ________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 定义一种新运算：对于两个非零实数，，若，则的值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算、相反数的定义、新定义运算等知识点，理解新定义运算法则成为解题的关键． 根据将可化为；可化成，然后根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴可化为， ∴ 故答案为：1． 13. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示： 成绩 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 人数/名 1 3 2 3 1 则这10名运动员成绩的中位数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求数据的中位数，熟悉中位数的概念是解题的关键． 按照求中位数的方法进行即可． 【详解】解：把数据按从小到大排列，最中间的两个数为第5、6两个数据，它们分别是，， ∴中位数为：． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点P在一次函数的图像上，若满足的点P只有1个，则b的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接,证明是等腰直角三角形，则点在线段上，根据题意，只有1个点P，则不与重合，利用由平移得到b的取值范围． 【详解】， , 是等腰直角三角形 满足的点P在射线和射线上上 把代入 解得： 满足的点P只有1个 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数性质，待定系数法求解析式，两点距离公式，一次函数图像的平移，通过数形结合找到点P是解题的关键． 15. 如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段圆心角为的圆弧组成的．的圆心为点C，半径为，的圆心为点D，半径为，…，，，，的圆心依次为A，B，C，D循环，则弧的长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化类，解题关键是根据图形求出求弧长半径的规律．先观察图形，分别找出的半径，从而得到后一段的圆心角所对的弧比相邻的前一段的圆心角所对的弧的半径大，从而求出的半径，从而找出规律，求出的半径，最后根据弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：由题意可知： 半径为1， 的半径为， 的半径为2， 的半径为…， ∴后一段的圆心角所对的弧比相邻的前一段的圆心角所对的弧的半径大， ∴ 的半径为3，即，  的半径为5，即，  的半径为7，即， …， ∴的半径为：， ∴的半径为：， ∴的长为：， 故答案为：． 16. 某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键． 设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个， 由题意得：，解得： ， ∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 故答案为12． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先运用乘方、特殊角的三角函数值、算术平方根、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值；，其中为满足的整数． 【答案】， 【解析】 【分析】利用分式的混合运算的法则化简后，将代入运算即可. 【详解】解：原式 ∵a为满足的整数且， ∴， ∴取，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键. 19. 如图，已知锐角中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1）见详解；（2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤，即可作的平分线，作出AC的中垂线交CD于点O，再以点O为圆心，OC为半径，画圆，即可； （2）连接OA，根据等腰三角形的性质得AD=BD=，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图所示： （2）连接OA， ∵，的平分线， ∴AD=BD=，CD⊥AB， ∵的半径为5， ∴OD=， ∴CD=CO+OD=5+=， ∴BC=， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查尺规基本作图，等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，理解三角形外接圆的圆心是三角形各条边中垂线的交点，是解题的关键． 20. 香港是我国发达的城市之一，是一座高度繁荣的自由港和国际大都市，与纽约、伦敦并称为“纽伦港”，是全球第三大金融中心．香港自古以来就是中国的领土，它是英国在十九世纪通过同清政府签订的三个不平等条约，先后强行割让和租借去的土地，2024年香港回归祖国27周年．为纪念香港回归，加强爱国教育，某中学对全体学生进行“香港回归，爱我中华”测试，学校随机抽取了部分学生的测试成绩，并根据测试成绩绘制两种统计图表（不完整），请结合图中信息解答下列问题： 学生测试成绩频数分布表 组别 成绩x分 人数 A 8 B m C 24 D n （1）表中的m值为 ，n值为 ； （2）求扇形统计图中部分所在扇形的圆心角度数； （3）若测试成绩80分以上（含80分）为优秀，根据调查结果请估计全校2000名学生中测试成绩为优秀的人数． 【答案】（1）12，36 （2） （3）估计全校2000名学生中测试成绩为优秀的人数为1500人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、由样本估计总体、求扇形统计图圆心角度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用频数和百分比先求出总人数，再根据频数总数百分比求出的值，然后用总数减去、、的人数即可求出的值； （2）用乘以部分所占比例即可得出圆心角度数； （3）由样本估计总体的计算方法计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：抽取学生的总数：（人）， （人）， （人）， 故答案为：12，36； 【小问2详解】 解：扇形统计图中部分所在扇形的圆心角度数是：； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计全校2000名学生中测试成绩为优秀的人数为1500人． 21. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的判定和性质，即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 22. 2023年12月17日上午，第二届济南市全民阅读大会暨全民阅读冬季讲读活动开幕式在济南市图书馆中心馆举行．济南市直有关部门负责同志、中小学生代表、市民代表、媒体记者等共计500余人参加活动．为积极响应建设“书香济南”的号召，某校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同． （1）男装、女装的单价各是多少？ （2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？ 【答案】（1）男装单价为100元，女装单价为120元 （2）当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键． （1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设参加活动的女生有a人，则男生有人， 列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设男装单价为x元，女装单价为y元， 根据题意得：， 解得： 答：男装单价为100元，女装单价为120元； 【小问2详解】 解：设参加活动的女生有a人，则男生有人， 根据题意可得， 解得：， ∵a为整数， ∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数， 故一共有11种方案， 设总费用为w元，则， ∵， ∴当时，w有最小值，最小值为（元） 此时，（套）． 答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元． 23. 在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 小问1详解】 证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D是的中点； 【小问2详解】 ； 证明：如图2，延长到H使，连接，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴，是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 24. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点． （1）求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． 探究：在图2中 （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小． 【答案】（1）；（2）；（3），，． 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂径定理计算即可； （2）由切线的性质证明进而得到，利用锐角三角函数求，再与（1）中相减即可； （3）由半圆的中点为得到，得到分别求出线段与的长度，再相减比较即可． 【详解】解：（1）连接， ∵为圆心，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ． （2）∵与半圆的切点为， ∴ ∵ ∴于点， ∵，， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为： ． （3）∵于点， ∴， ∵半圆的中点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键． 25. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的镜面函数．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的镜面函数的图象如图②所示，且它的镜面函数的解析式为，也可以写成． （1）在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象． （2）函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值． （3）已知，，，，，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有个交点，求的取值范围． 【答案】（1）图象见解析 （2）的值为3或 （3）的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图象即可； （2）分直线过“镜面函数”图象与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可； （3）先求出关于的“镜面函数”解析式，再分以及顶点在上的情况和时，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：如图③，即为函数函数关于直线的“镜面函数”的图象， 【小问2详解】 对于，当时，， 函数与轴的交点坐标为，， 当时，，即函数与的交点为，， 当直线经过点，时，， 根据对称性，此时，函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点； 当直线与原抛物线只有一个交点时，也有三个公共点， ∴， 整理得，， 此时，， 解得，， 时，， 综上，的值为或； 【小问3详解】 解：函数关于的“镜面函数”解析式为， 当时，， ， 解得，； 当的顶点在上时， 解得或舍， 此时，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边有个交点，不合题意， ， 当时，， ， 解得，； 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$