精品解析：安徽省合肥华美技工学校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷

合肥华美技工学校2022-2023学年第一学期 高二年级（数学）期中考试试题卷 考试时间：120分钟 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 已知点，，则直线AB的斜率是（ ）． A. B. C. 3 D. 2. 若， ，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线方程，则此直线在轴上的截距分别是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 5. 向量，，若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 三棱柱中，若=，=，=，则=（ ） A. B. C. D. 7. 若三条直线，与直线交于一点，则（ ） A. -2 B. 2 C. D. 8. 若点与关于直线l对称，则直线l的倾斜角α为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 下列命题中为假命题的是（ ） A. 向量与的长度相等 B. 空间向量就是空间中的一条有向线段 C. 若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 D. 不相等的两个空间向量的模必不相等 10. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 直线过点，且、到的距离相等，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在四校锥中，底面为正方形，，则以下结论中，正确的有（ ） A. ＋＋＋ B. ＋ C. ＋ D. ·= · 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 若三点共线则的值为________. 14. 设直线的倾斜角是直线的倾斜角的，且在轴上的截距是3，则直线的方程是____________. 15. 直线的斜率是关于k的方程的两根，若，则________. 16. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则l与的位置关系为________. 三、解答题（共6小题，共计70分） 17. 如图，已知三角形的顶点为，，，求： （1）直线AB的方程； （2）AB的中位线所在的直线方程． 18. 已知空间三点 （1）求向量，的夹角 （2）求以为边的平行四边形面积； 19. 已知点和直线： （1）试把直线的一般式方程改写成点斜式方程，并据此求出直线过定点M的坐标； （2）试求：点到直线的距离最大值 20. 四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点.证明：DE//平面PFB； 21. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 22. 在三棱锥中，，，点O、D分别是、的中点，底面，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥华美技工学校2022-2023学年第一学期 高二年级（数学）期中考试试题卷 考试时间：120分钟 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 已知点，，则直线AB的斜率是（ ）． A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的斜率公式结合，计算即可. 【详解】因为点，， 则直线AB的斜率． 故选：D. 2. 若， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数组性线运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B. 3. 已知直线方程，则此直线在轴上的截距分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程中横截距，纵截距直接求值. 【详解】已知直线方程， 所以在轴上的横截距为， 在轴上的纵截距为， 所以直线在轴上的截距分别为. 故选：C. 4. 已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据法平面的性质即可解得 【详解】设该平面法向量为 则即 故 解得， 令，得， 故该平面的一个法向量为 故选：C 5. 向量，，若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量平行得易得答案. 【详解】因为，，， 所以， 所以. 故选：A. 6. 三棱柱中，若=，=，=，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量运算法则即可求解. 【详解】因为，， ， 所以. 故选：D. 7. 若三条直线，与直线交于一点，则（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立已知直线求解交点，将交点代入中即可求解. 【详解】由，解得， 所以交点为：， 代入，得， 解得：. 故选：C. 8. 若点与关于直线l对称，则直线l的倾斜角α为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点坐标先求所在直线的斜率，再根据两点关于直线对称易得答案. 【详解】因为，， 所以， 直线的斜率为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 下列命题中为假命题的是（ ） A. 向量与的长度相等 B. 空间向量就是空间中的一条有向线段 C. 若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 D. 不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的定义和空间向量的模易得答案. 【详解】A：相反向量的模相等，故A正确， B：空间向量可以用空间中的一条有向线段来表示，但不是有向线段，故B错误， C：若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球，故C错误， D：相反向量的模相等，故D错误. 故选：BCD. 10. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共面向量定理结合基底的定义逐项判断. 【详解】对于A，假设共面，则， 所以，可知该方程组无解，即三个向量不共面，A选项正确； 对于B，假设共面，则； 所以，解得，即三个向量共面，B选项错误； 对于C，假设共面，则； 所以，该方程组无解，即三个向量不共面，C选项正确； 对于D，假设共面，则； 所以，解得，即三个向量共面，D选项错误； 故选：AC. 11. 直线过点，且、到的距离相等，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分类讨论点M与点N是在直线同侧还是异侧，根据在同侧与直线MN平行，在异侧过MN中点，求解斜率，再由点斜式方程求出直线方程，化为一般式方程即可. 【详解】因为点M和点N到直线的距离相等， 即点M与点N可能在直线同侧或异侧， 所以可知直线平行于直线或过线段的中点， 当直线平行直线MN时，, 所以直线的方程为，整理得:， 当直线经过线段MN的中点时，中点为，即， 所以直线的斜率为：, 所以直线的方程为，整理得：, 故选：AC. 12. 如图，在四校锥中，底面为正方形，，则以下结论中，正确的有（ ） A. ＋＋＋ B. ＋ C. ＋ D. ·= · 【答案】CD 【解析】 【分析】连接与，交于点，利用向量的加法，减法运算可知选项A，B错误，C正确，再由向量的数量积运算的定义可知选项D正确 【详解】连接与，交于点，如图所示， 对于选项A：为，的中点， ，， ，故选项A错误； 对于选项B：，， ，故选项B错误； 对于选项C：，， ，故选项C正确； 对于选项D：底面为正方形，， 各侧面为全等的等腰三角形， ， 又，， ，故选项D正确. 故选：CD. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 若三点共线则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率相等即可求解. 【详解】由题意得，三点所在直线斜率存在且相等. 则. 解得. 故答案为：. 14. 设直线的倾斜角是直线的倾斜角的，且在轴上的截距是3，则直线的方程是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角得出直线的倾斜角，然后根据直线在轴上的截距为，以及根据直线的斜截式方程，即可得出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以倾斜角是， 所以直线的倾斜角是，直线的斜率为， 直线在轴上的截距为， 所以直线的方程为， 故答案为：. 15. 直线的斜率是关于k的方程的两根，若，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系和两直线垂直的性质，列方程即可求解. 【详解】因为是关于k的方程的两根， 所以，又因为，所以， 所以，解得. 故答案为：2. 16. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则l与的位置关系为________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据法向量与直线方向向量的关系，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为, 所以，则或. 故答案为：或. 三、解答题（共6小题，共计70分） 17. 如图，已知三角形的顶点为，，，求： （1）直线AB的方程； （2）AB的中位线所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据题意求出直线的斜率，应用点斜式，求直线方程即可. 根据题意，由于中位线与平行，运用点斜式求直线方程，即可得到答案. 【详解】（1）由题意得，， 故直线的方程为， 即 （2）因为中点的坐标为， 因为边的中位线与平行且过中点， 所以直线的斜率为3， 故直线方程为， 即. 18. 已知空间三点 （1）求向量，的夹角 （2）求以为边的平行四边形面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用两个向量的坐标内积即可求出向量，的夹角； （2）利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 ∵，，， ∴，， ∴， 又两向量夹角的范围是，故. 故向量，的夹角为 【小问2详解】 ，∴ ∴ ∴以，为边的平行四边形的面积为 故所求平行四边形的面积为. 19. 已知点和直线： （1）试把直线的一般式方程改写成点斜式方程，并据此求出直线过定点M的坐标； （2）试求：点到直线的距离最大值 【答案】（1），定点 （2） 【解析】 【分析】（1）按照直线点斜式方程的形式将直线化为点斜式，再找定点即可解得. （2）当时到直线距离最大，再根据点到直线距离公式即可解得. 【小问1详解】 由题将直线一般方程改写成点斜式方程得： ， 当时，， 故直线过定点. 【小问2详解】 由题当时，点到直线的距离最大， 故， 即， 解得， 则直线， 则距离最大值为. 20. 四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点.证明：DE//平面PFB； 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量线性运算坐标表示证明线面平行即可. 【详解】因为为正方形，平面， 所以， 以D为原点，建立如图所示的坐标系， 由题意得，，，. ，，， ∴＝＋， ∴平面PFB. 又∵平面PFB， ∴平面PFB. 21. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】用向量法证明线线垂直后再由线面垂直定理即可证得 【详解】证明：如图，取为坐标原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为2， 则， ， ∴，，， 而， ， ∴，，即 而平面， ∴平面. 22. 在三棱锥中，，，点O、D分别是、的中点，底面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 【解析】 【分析】本题是一道关于求直线与平面所成角的题目，解答本题的关键是掌握线面角的求法； 根据已知条件可得，，，建立平面直角坐标系，设，即可得到各点坐标；接下来求出平面的一个法向量，然后利用向量的数量积公式进行解答即可. 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则，， 可求得平面的法向量为， 所以 设与平面所成角为，则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $