直线与方程及圆与方程专题解答题-天津市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题汇编

直线的方程、圆与方程专题复习 知识点回顾 《直线与方程》 一、直线l的倾斜角α与斜率k的对应关系 直线情况 垂直于y轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0，且随着α的增大而增大 不存在 k<0，且随着α的增大而增大 二、直线方程的5种形式 三、两条直线平行 1.对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 四、两直线垂直：如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 五、两点间距离公式的理解 (1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝. (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝. 六、点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 七、两平行线的距离：两平行线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝ 《圆与方程》 一、圆的标准方程：(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示． (3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)、半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆 圆的一般方程：(1)圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程． 其中圆心为，圆的半径为r＝． (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ①D2＋E2－4F＞0时表示圆． ②D2＋E2－4F＝0时表示点． ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形 二、直线与圆的位置关系的判断 1. 代数法：通过联立直线与圆的方程组成方程组，根据方程组解的组数来判断，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. 2. 几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 3. 定点法：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交. 该法有一定的局限性，若定点在圆上或在圆外，则需利用代数法或几何法进行讨论. 三、圆与圆的位置关系及其判断 1. 代数法：设两圆的方程分别为C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)， C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)，联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到 的是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断)，计算判别式Δ的值，按下列表中的标准进行判断. 2. 几何法：设两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，按下列表中的标准进行判断. 专题练习 一、解答题 1．（23-24高二上·天津宁河·期中）已知的三个顶点为，，，为的中点．求： (1)所在直线的方程； (2)边上中线所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线的方程． 2．（23-24高二上·天津武清·期中）已知方程表示一个圆. (1)求实数m的取值范围； (2)求圆的周长的最大值. 3．（23-24高二上·天津静海·期中）已知的三个顶点，，. (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 4．（23-24高二上·天津河东·期中）已知点； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 5．（23-24高二上·天津滨海新·期中）已知的三个顶点坐标分别是. (1)求边所在的直线的一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程； (3)求边上的高所在直线的一般式方程. 6．（23-24高二上·天津河西·期中）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆C的标准方程. (2)过点作圆的切线，求切线方程 (3)求x轴被圆所截得的弦长 7．（23-24高二上·天津滨海新区·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值； (3)若过点作圆的切线，求该切线方程． 8．（23-24高二上·天津河北·期中）已知圆C过点A(8，-1)，且与直线 相切于点B(3， 4). (1)求圆C的方程; (2)过点P(-3，0)的直线与圆C交于M，N两点， 若为直角三角形，求的方程. 9．（23-24高二上·天津宁河·期中）已知圆过两点，，且圆心P在直线上． (1)求圆P的方程； (2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程． 10．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知直线过原点，且与平行． (1)求直线的方程； (2)求与间的距离； (3)若圆经过点,，并且被直线平分，求圆的方程． 11．（23-24高二上·天津河西·期中）已知定点，，动点满足．设动点的轨迹是曲线，直线l恒过点 (1)求曲线的方程； (2)当直线l与曲线相交于M，N两点，且时，求l的方程． 12．（23-24高二上·天津蓟州·期中）已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程． 13．（23-24高二上·天津红桥·期中）在直角中，是直角，顶点，的坐标分别为，，圆是的外接圆． （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程． 14．（23-24高二上·天津河东·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 15．（23-24高二上·天津武清·期中）已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． (1)求圆的方程； (2)从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 16．（23-24高二上·天津静海·期中）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线方程为与圆相交于两点，求. 17．（23-24高二上·天津河西·期中）已知圆C：，其中． (1)已知圆C与圆：外切，求m的值； (2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值． 18．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知圆的圆心在轴上，且过点和 (1)求圆的方程； (2)直线和圆C交于A､B两点求弦长； (3)若实数满足圆的方程，求的最大值 参考答案 1．(1)； (2)； (3). 【详解】（1）∵ ，， ∴ 直线的斜率， ∴ 直线的方程为，即； （2）∵ ，，为的中点， ∴ 点的坐标为，又， ∴ 直线的方程为，即； （3）∵ 直线的斜率，的中点的坐标为， ∴ 边上的垂直平分线的斜率为， 直线的方程为， 2．(1) (2) 【详解】（1）原方程可化为， 若方程表示一个圆，则，解得， 即实数m的取值范围是. （2）圆的半径，当且仅当时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为. 3．(1) (2) 【详解】（1）直线的斜率为， 直线的方程为， 即. （2）由（1）知直线的斜率为， 所以由垂直关系可得边高线的斜率为， 因为上的高过点， 所以上的高线方程为, 化为一般式可得：. 4．(1) (2)或 【详解】（1）直线的斜率： ， 故过点且与平行的直线方程斜率. 且故直线方程为：，即. （2）过点且在轴和轴上截距相等的直线方程, 当截距为0时, 直线过原点，直线方程为：，即； 当截距不为0时,由截距相等可设直线方程为：， 代入得， 故直线方程为即. 综上得：直线方程为或 5．(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由， 得所在的直线的斜率， 所以所在的直线的方程：，即， 所以边所在的直线的一般式方程：； （2）由， 得的中点坐标为，所在的直线的斜率， 所以中线所在直线的方程：，即， 所以中线所在直线的一般式方程为； （3）由得，边的斜率， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以上的高所在直线的方程为：， 即， 所以边上的高所在直线的一般式方程为. 6．(1) (2)或 (3) 【详解】（1）设圆心，则， 所以， 解得，所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为； （2）当切线斜率不存在时，切线方程为，圆心到直线的距离为，满足条件； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 所以，解得，所以直线方程为， 所以切线方程为或； （3）因为圆心到轴()的距离为，且， 所以， 所以轴被圆所截得的弦长为. 7．(1) (2) (3)或 【详解】（1）设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 解得： 所以圆的标准方程为. （2）因为圆心到直线的距离为 ， 所以直线与圆相离， 所以的最小值为. （3）易知斜率存在，由条件可知，圆心到直线的距离为5 根据点到直线的距离公式得：，解得. 所以直线方程为. 8．(1) (2)或 【详解】（1）设圆心坐标为，又直线与圆相切，所以：， 设分别代表直线，的斜率，所以有：， 由题意得：，所以有：， 结合，并联立得：， 解之得：， 所以：圆的半径， 所以：圆的方程为：. （2）因为为直角三角形且，所以， 圆心到直线的距离：， 易知直线的斜率存在，记为，又直线过点， 设直线方程的方程为：， 即：， 因为圆心到直线的距离为：， 整理得：，解之得：或， 所以直线方程的方程为：或. 9．(1) (2)或 【详解】（1）依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为， 因为圆P过两点，， 所以，解得， 所以圆P的方程为. （2）由（1）可知，圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1， 此时满足题意； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，即， 当时，圆心到直线的距离， 即有，解得， 此时直线的方程为，即为. 综上，直线的方程为或. 10．(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，直线与平行， 则有斜率为， ． 又因其过原点，所以方程为． （2）方程为， 所以与间的距离为．  ． （3）设圆心 由于直线平分圆，所以圆心在直线上，即． 又，所以有． 联立，解得． 所以 所以圆的方程为． 11．(1) (2)或 【详解】（1）设动点，由得， ， 化简得，， 所以曲线的方程为. （2）由(1)可知，曲线表示以点为圆心，为半径的圆， 设圆心直线的距离为， 由弦长公式解得，. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心直线的距离为满足题意； 若直线的斜率存在并设为，由点斜式， 整理得， ，解得. 所以的直线方程为. 综上所述，的直线方程为或. 12．(1)； (2)或 【详解】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为； （2）设圆心到直线到的距离为，则，解得；当直线l斜率不存在时，易得，此时圆心到的距离，符合题意； 当直线l斜率存在时，设，即，则，解得，即， 故直线l的方程为或. 13．（1）（2）或． 【详解】解：（1）∵在直角中，是直角，顶点，的坐标分别为，， ∴是直径，则的中点，即圆心， 半径， 则圆的方程为． （2）∵， ∴点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，到圆心的距离．此时满足直线和圆相切， 当直线斜率存在时，设为，则切线方程为， 即， 则圆心到直线的距离， 即，平方得， 即， 则，此时切线方程为， 综上求过点且与圆相切的直线的方程为或． 14．（1）（2）或 【详解】解：（1）设的中点为，则， 由圆的性质得， 所以，得， 所以线段的垂直平分线方程是， 设圆的标准方程为，其中，半径为， 由圆的性质，圆心在直线上，化简得， 所以圆心，， 所以圆的标准方程为； （2）由（1）设为中点，则，得， 圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程，即， 由题意得，解得； 故直线的方程为， 即； 综上直线的方程为或. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题. 15．(1) (2)或 【详解】（1）解：圆心到直线的距离为， 所以，圆的半径为， 因此，圆的方程为. （2）解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为，且直线与圆相切，合乎题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由题意可得，解得，此时，切线的方程为. 综上所述，所求切线的方程为或. 16．(1)或 (2) 【详解】（1）圆方程可化为，则圆心，半径为1， 由，可得点在圆外， 当过点的直线斜率存在时，设l的方程为， 即， 则圆心到直线l的距离为，解得， 的方程为，即， 当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切， 的方程为或； （2）直线方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 17．(1)； (2). 【详解】（1）解：由圆，可得， 则圆心，半径， 由圆，可得圆心，半径， 因为两圆外切， 则， 解得． （2）解：圆的圆心坐标为，半径为． 圆心到直线的距离， 又直线与圆相交所得的弦长为， ，解得． 的值为． 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）设圆心，所以， 解得， 所以圆心的方程为； （2）圆心到直线的距离是， 所以； （3）设点在圆上，， 即，所以， 易知当直线与圆相切时可取最大最小值， 所以，整理得，解得， 所以的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$