精品解析：新疆泽普县职业技术高中2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

新疆泽普县职业技术高中2019-2020学年高二上学期期末考试卷 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在规定区域. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共16小题，每小题2分，共32分） 1. 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知中，，，，以AC为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 3. 直线与圆交于M、N两点，且M、N关于直线对称，则弦MN长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知等差数列前3项和为6，，则（ ） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 5. 若圆截直线所得弦长为2，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 对于函数，，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 7. 圆心在轴上，半径为2，且过点圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在等差数列中，已知，则该数列前11项和（ ） A. 58 B. 88 C. 143 D. 176 9. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A. 72 B. 48 C. 27 D. 36 10. 甲、乙、丙三个社区居民的人数之比为，新冠疫苗接种率分别为，，，则这三个社区的居民总体的新冠疫苗接种率为（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 12. 在等比数列中，，，则等于（ ）. A. 32 B. 16 C. 12 D. 8 13. 已知数列是等比数列，且，，则（ ） A. 15 B. 24 C. 32 D. 64 14. 若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 15. 已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 16. 在棱长为2的正方体中，P为底面正方形ABCD内一个动点，Q为棱上的一个动点，若，则PQ的中点M的轨迹所形成图形的面积是（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 17. 已知平面向量，，且，则__________. 18. 抛物线焦点到准线的距离等于__________. 19. 不论为何值，直线恒过定点__________. 20. 已知各项不为0等差数列满足，数列是等比数列，且，则的值等于__________. 21. 已知，，，则__________. 22. 设正项等比数列的前项和为，若，，则公比__________，__________. 23. 在等差数列中，为其前项和，若且A，B，C三点共线，则__________. 24. 如图①，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图②），则图①中的水面高度为__________. 三、解答题（本题共4小题，每小题9分，共36分） 25. 如图，在四棱锥中，平面，，，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F. （1）求证：平面； （2）求证：. 26. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点P的极坐标为. （1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）若与交于M，N两点，求的值. 27. 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数）.将曲线C上的点按坐标变换得到曲线，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系设A点的极坐标为. （1）求曲线的极坐标方程； （2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值. 28. 设是数列的前项和.已知，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新疆泽普县职业技术高中2019-2020学年高二上学期期末考试卷 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在规定区域. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共16小题，每小题2分，共32分） 1. 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意形成空间图形，再根据几何体与其外接球之间的等量关系，从而求球的半径，即可求解. 【详解】该几何体为圆锥. 边长为2的正三角形是此几何体的外接圆的大圆上的内接三角形. 则球的半径. 则此几何体的外接球的体积. 故选：C. 2. 已知中，，，，以AC为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合球的表面积公式即可求解. 【详解】旋转体的轴截面如图所示， O为内切球的球心，过O作的垂线，垂足分别为. 则内切球的半径为. 所以，. 所以，解得. 所以旋转体的内切球的表面积为：. 故选：B. 3. 直线与圆交于M、N两点，且M、N关于直线对称，则弦MN的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线与圆的两交点关于直线对称，求得参数，从而求得圆的圆心与半径，再利用圆的弦长公式即可得解. 【详解】因为直线与圆的两交点关于对称， 所以直线的斜率为1，且圆心在上， 则，，所以， 所以圆的方程可化为，圆心为，半径为， 直线方程为，所以圆心到直线的距离， 所以弦长. 故选：C 4. 已知等差数列的前3项和为6，，则（ ） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求得，进而得到公差，再利用等差数列通项公式即可得解. 【详解】因为等差数列前项和为， 所以，则， 又，所以，则， 所以. 故选：C. 5. 若圆截直线所得弦长为2，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再利用点线距离公式与圆的弦长公式得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】圆可化为， 所以圆的圆心为，半径为且，则， 则圆心到直线距离为， 又因为圆截直线所得弦长为2， 所以，即，则. 故选：C. 6. 对于函数，，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】关于轴对称， 可以是奇函数也可以是偶函数。 关于轴对称无法推出是奇函数. 是奇函数时，的图象关于轴对称， 是奇函数可以推出的图象关于轴对称. 所以是必要而不充分条件. 故选：B. 7. 圆心在轴上，半径为2，且过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设出圆的标准方程，再将点代入计算即可得解. 【详解】根据题意，设圆的标准方程为， 将点代入，得，则， 则圆的标准方程为. 故选：B 8. 在等差数列中，已知，则该数列前11项和（ ） A. 58 B. 88 C. 143 D. 176 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得解. 【详解】因为是等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C. 9. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A. 72 B. 48 C. 27 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】利用三视图还原几何体，再利用棱柱的体积公式即可得解. 【详解】由三视图知几何体是一个直三棱柱， 三棱柱的底面是一个直角三角形，直角边长分别是4，6， 三棱柱的侧棱与底面垂直，且侧棱长是3， 所以其体积为. 故选：D. 10. 甲、乙、丙三个社区居民的人数之比为，新冠疫苗接种率分别为，，，则这三个社区的居民总体的新冠疫苗接种率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设甲、乙、丙三个社区居民的人数分别为：3k，5k，2k，即可算出. 【详解】设甲、乙、丙三个社区居民的人数分别为：3k，5k，2k， 则新冠疫苗接种人数分别为：1.2k，1.3k，0.6k， 故这三个社区的居民总体的新冠疫苗接种率为, 故选：C. 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用错位相减法求得数列的通项公式，再利用等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 两式相减得，即， 又，所以， 所以， 所以 所以 . 故选：B. 12. 在等比数列中，，，则等于（ ）. A. 32 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的片段和性质即可得解. 【详解】因为是等比数列， 所以，，，成等比数列， 又，， 所以，则. 故选：B. 13. 已知数列是等比数列，且，，则（ ） A. 15 B. 24 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】利用利用等比数列的通项公式求得公比，进而求得，从而得解. 【详解】因为数列是等比数列，，， 所以，即，解得， 则. 故选：C. 14. 若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质与求和公式求出，从而得解. 【详解】因， 所以，则. 故选：B 15. 已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及等比数列的通项公式求出公比,从而得解. 【详解】设各项都是正数的等比数列的公比为, 由题意得：,即, 解得，或 所以 故选：A. 16. 在棱长为2的正方体中，P为底面正方形ABCD内一个动点，Q为棱上的一个动点，若，则PQ的中点M的轨迹所形成图形的面积是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体和球的几何特征确定M的轨迹，利用球的表面积公式得到答案. 【详解】∵P为底面正方形内一个动点，为棱上的一个动点， ∴QA⊥面ABCD，而AP面ABCD，则QA⊥AP， ∵M为PQ的中点，∴， 故的中点的轨迹所形成图形是以A为球心，1为半径的球面在正方体内部的部分， 即M的轨迹是以A为球心，半径为的球面的八分之一， 其面积， 故选：B. 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 17. 已知平面向量，，且，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】通过两向量垂直求得m的值，可得的坐标，再由向量模的计算公式求解 【详解】因为，，且， 所以，得， 所以，， 所以， 故答案为：5 18. 抛物线的焦点到准线的距离等于__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先将抛物线方程转化为标准方程，求得焦点坐标与准线方程，从而得解. 【详解】因为抛物线方程是，转化为标准方程得：， 所以抛物线开口方向向上，焦点坐标为，准线方程为：， 所以焦点到准线的距离等于. 故答案为： 19. 不论为何值，直线恒过定点__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线过定点的求法进行求解即可. 【详解】直线可化为， 令，解得， 所以直线经过定点. 故答案为：. 20. 已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则的值等于__________. 【答案】8 【解析】 【分析】通过等差数列和等比数列的通项公式和性质求得结果。 【详解】因为各项不为0的等差数列满足， 所以,又不为0，解得，所以， 所以. 故答案为：8. 21 已知，，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用转化法，结合向量内积的运算法则求得，再利用向量夹角的公式即可得解. 【详解】由可得， 则，即，解得， 所以. 故答案为：. 22. 设正项等比数列的前项和为，若，，则公比__________，__________. 【答案】 ①. 2 ②. 63 【解析】 【分析】利用等比数列的片段和性质，结合等比数列的定义即可得解. 【详解】因为数列为正项等比数列， 故，且，，成等比数列且公比为， 所以，则. 所以，解得. 故答案为：2，63. 23. 在等差数列中，为其前项和，若且A，B，C三点共线，则__________. 【答案】2013 【解析】 【分析】根据已知条件，推出，即可求解 【详解】因为，且A，B，C三点共线 所以, 所以 故答案为：2013 24. 如图①，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图②），则图①中的水面高度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先在图②中，利用体积比是相似比的三次方求得水形成的小“圆锥”与圆锥形容器的体积比，从而得到图①中无水部分形成的小“圆锥”和大圆锥形容器的体积比为，再次利用相似比的性质即可得解. 【详解】在图②中，水形成的小“圆锥”的高为，圆锥形容器的高为， 所以小“圆锥”与圆锥形容器的相似比为， 所以小“圆锥”与圆锥形容器的体积比为， 则在图①中，无水部分形成的小“圆锥”和大圆锥形容器的体积比为， 设水面高度为，则小“圆锥”和大圆锥形容器的高的比为，即相似比为， 所以它们的体积比为，解得. 故答案为：. 三、解答题（本题共4小题，每小题9分，共36分） 25. 如图，在四棱锥中，平面，，，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定定理即可得证； （2）利用线面平行的判定定理证得平面，再线面平行的性质定理即可得证. 【小问1详解】 因为平面平面ABCD，所以， 因为平面PAC， 所以平面PAC. 【小问2详解】 因为，平面，平面， 故平面， 又过的平面分别与PA，PB交于点E，F， 即平面平面，平面， 所以，所以. 26. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点P的极坐标为. （1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）若与交于M，N两点，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据使用加减消元法消去参数得到曲线方程，再利用极坐标与直角坐标的对应关系得到直角坐标方程. （2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，使用参数得几何意义即可求解. 【小问1详解】 由曲线参数方程（为参数）可得（为参数）， 再左右同平方后两式相加，整理可得，曲线普通方程为. 由可得，， 则，又， 所以的直角坐标方程为. 【小问2详解】 因为，所以点P的直角坐标为. 因为点P在l上，所以l的参数方程可设为：（t为参数）. 将其代入C的普通方程，得. 设为方程的实数根，则. 所以. 27. 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数）.将曲线C上的点按坐标变换得到曲线，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系设A点的极坐标为. （1）求曲线的极坐标方程； （2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把曲线的参数方程化为普通方程，然后利用变换得出的普通方程，再化为极坐标方程，从而得解； （2）把点极坐标化为直角坐标，设出直线的标准参数方程，代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理求得，再利用直线参数方程中参数的几何意义即可得解. 【小问1详解】 因为曲线的参数方程为，（为参数）， 所以曲线的普通方程为， 由，得，代入曲线的普通方程得到， 所以曲线的普通方程为， 则曲线的极坐极方程为，即. 【小问2详解】 因为A点的极坐标为， 所以点的直角坐标为，又直线的倾斜角为， 故可设直线的参数方程为，即， 代入中，得，整理得， 易知，设两点对应的参数为，则， 所以. 28. 设是数列的前项和.已知，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由，得，两式相减可得数列递推公式，由此可判断是等比数列，从而可求得. (2)先表示出，然后利用错位相减法可求得前项和. 【小问1详解】 因为， 所以当时，，得； 当时，， 所以当时，，即， 又， 所以是以为首相，为公比的等比数列. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 的前项和， ， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$