第03讲 数列求通项（5大核心题型）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第03讲 数列求通项 目录 题型一：重点考查累加法 1 题型二：重点考查累乘法 2 题型三：重点考查与（或）的关系求通项 3 题型四：重点考查构造法 4 题型五：重点考查倒数法 5 题型一：重点考查累加法 典型例题 例题1．（22-23高二上·陕西榆林·阶段练习）已知数列的各项均为正数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（    ） A．43 B．46 C．37 D．36 例题3．（2024·广东·二模）数列满足，． (1)求数列的通项公式； 精练核心考点 1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列中，，则 ． 3．（23-24高二下·广东佛山·期末）数列满足，且，则数列的前2024项和为 . 题型二：重点考查累乘法 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·北京·期中）数列中，若，，则 . 例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的通项公式． 精练核心考点 1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 3．（23-24高二上·福建宁德·期中）已知，则数列的通项公式是 ． 题型三：重点考查与（或）的关系求通项 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 例题2．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和，则它的通项公式 ． 例题3．（23-24高二下·北京怀柔·阶段练习）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 精练核心考点 1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式是 ． 2．（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列的前n项和为，且，则数列通项公式 ． 3．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列的前n项和为． (1)求，，. (2)求这个数列的通项公式． 题型四：重点考查构造法 典型例题 例题1．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）设数列的前项和为，若，，则 ． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为 . 例题3．（23-24高二·全国·课后作业）在数列中，，，，则该数列的通项公式 ． 精练核心考点 1．（23-24高二上·山西太原·阶段练习）若且，则 ． 2．（23-24高二上·广西南宁·期中）数列满足，且，则 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求的通项公式． 题型五：重点考查倒数法 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 例题2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高二上·上海·课前预习）已知数列满足，且（为正整数），通过计算、、，是否能猜想其通项公式？ 精练核心考点 1．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 3．（23-24高二上·全国·单元测试）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 数列求通项 目录 题型一：重点考查累加法 1 题型二：重点考查累乘法 4 题型三：重点考查与（或）的关系求通项 7 题型四：重点考查构造法 10 题型五：重点考查倒数法 12 题型一：重点考查累加法 典型例题 例题1．（22-23高二上·陕西榆林·阶段练习）已知数列的各项均为正数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累加法结合等差数列求和公式即可. 【详解】当时，， ， ， 以上累加有， 则，且也适合上式，则. 故选：B. 例题2．（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（    ） A．43 B．46 C．37 D．36 【答案】C 【分析】由递推公式用累加法公式求出，再求即可. 【详解】法一：由题得， 所以. 法二：由题，， 所以. 故选：C. 例题3．（2024·广东·二模）数列满足，． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解； 【详解】（1）因为，所以， 又 因此是以为首项，1为公差的等差数列， 设的前n项和为，则， 又由， 得，， 当时，经检验也满足， ∴． 精练核心考点 1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将数列递推式整理裂项，运用累加法和裂项相消法求和，得到数列通项即得. 【详解】由可得， 则有， . 故. 故选：C. 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列中，，则 ． 【答案】29 【分析】根据累加法求得，即可求得． 【详解】根据题意，， ，满足该式， 所以，则， 故答案为：29． 3．（23-24高二下·广东佛山·期末）数列满足，且，则数列的前2024项和为 . 【答案】 【分析】由运用迭代法求出，则，利用裂项相消法即可求得的前2024项和. 【详解】由可得， 则， 则， 故数列的前2024项和为. 故答案为：. 题型二：重点考查累乘法 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，得，，． 由累乘法，得， 即， 又，所以． 故选：C． 例题2．（23-24高二下·北京·期中）数列中，若，，则 . 【答案】 【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得. 【详解】由题意，，可得，所以， 所以. 故答案为：. 例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据之间的关系进行求解即可； （2）运用累乘法进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，，符合上式， 所以的通项公式是． （2）因为，所以当时，， 所以，，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘， 得，即， 所以． 当时，，符合上式． 所以数列的通项公式是． 精练核心考点 1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累乘法计算出答案. 【详解】 故选：B 2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据累乘法求数列通项公式即可. 【详解】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 3．（23-24高二上·福建宁德·期中）已知，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【分析】由已知递推式可得，然后利用累乘法可求得结果. 【详解】由，得， 所以， 所以，，，……，（）， 所以， 所以，因为，所以， 因为也满足上式， 所以， 故答案为： 题型三：重点考查与（或）的关系求通项 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据的关系即可作差求解. 【详解】由可得， 两式相减可得， 当时，， 故， 故答案为： 例题2．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和，则它的通项公式 ． 【答案】． 【分析】由与的关系，化简可得所求通项公式． 【详解】由，可得时，； 当时，． 此时，当 综上，可得． 故答案为：． 例题3．（23-24高二下·北京怀柔·阶段练习）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用分类整合思想先令求，再令，求得； （2）由二次函数结合数列的取值得出的最大值. 【详解】（1）由数列的前n项和， ①当时，； ②当时， ； 当时，不满足，所以数列. （2）因为；因为， 所以当时，有最大值为． 精练核心考点 1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【分析】分解因式化简条件式得，利用与的关系计算即可. 【详解】由可得， 所以（舍），， 当时，， 当时，， 将代入，， 所以的通项公式是 故答案为：． 2．（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列的前n项和为，且，则数列通项公式 ． 【答案】 【分析】利用结合已知条件求解. 【详解】当时，； 当时，， 因为不符合上式， 所以. 故答案为： 3．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列的前n项和为． (1)求，，. (2)求这个数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分别令代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，令，则， 令，则， 令，则， 所以. （2）因为， 当时，， 当时，， 且也满足上式， 所以. 题型四：重点考查构造法 典型例题 例题1．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）设数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】1536 【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，求出，再由计算可得. 【详解】因为，，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 则. 故答案为： 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到是为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式. 【详解】因为， 设，即， 根据对应项系数相等则，解得，故， 所以是为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 故答案为： 例题3．（23-24高二·全国·课后作业）在数列中，，，，则该数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】构造数列，结合等比数列的通项公式，即可求得. 【详解】因为数列中，，即， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 则，解得. 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高二上·山西太原·阶段练习）若且，则 ． 【答案】/ 【分析】由递推关系式可得，知数列为等比数列，由等比数列通项公式可求得，进而得到结果. 【详解】由得：， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，. 故答案为：. 2．（23-24高二上·广西南宁·期中）数列满足，且，则 ． 【答案】15 【分析】通过对变形可知，进而可知数列是以1为首项，公比为4的等比数列，计算即得结论． 【详解】∵，∴， 又∵， ∴数列是以1为首项，公比为4的等比数列， ∴，∴， 又∵满足上式，∴，∴， 故答案为：15． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求的通项公式． 【答案】 【分析】符合类型的标准形式，故构造为等比数列即可求解. 【详解】解：由可得：， 因为，所以， 所以是以1为首项3为公比的等比数列， 所以， 所以． 题型五：重点考查倒数法 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 例题2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒数法可得，结合等差数列的定义和通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，得， 所以. 故选：A 例题3．（24-25高二上·上海·课前预习）已知数列满足，且（为正整数），通过计算、、，是否能猜想其通项公式？ 【答案】能，. 【分析】通过计算，能归纳猜想出的通项公式，再利用取倒数法证明猜想. 【详解】因为，， 所以，，， 所以能猜想出的通项公式为． 证明如下：因为， 所以， 所以， 又因为，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，得证. 精练核心考点 1．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，得解. 【详解】由得：， 又，数列是以1为首项，为公差的等差数列， ， ，， ， 故选：D． 2．（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 【答案】 【分析】将变形可得数列为等差数列，再借助等差数列求解即得. 【详解】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 3．（23-24高二上·全国·单元测试）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】在等式两边取到数，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式. 【分析】因为数列满足，且，则， ，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边取倒数可得，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，，所以，. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$