专题02 三种方法求二次函数解析式-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题02三种方法求二次函数解析式 题型01利用待定系数法求二次函数解析式 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图所示的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由图象可知函数与坐标轴的交点坐标，设，代入整理即可． 【详解】解：由图象可得函数与x轴的交点坐标为和， 可设， ∵函数与y轴的交点坐标为， ∴， 解得：， ∴，整理可得， 故选：C． 【例1-2】（23-24九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图像过点，两点，对称轴为直线，这个二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式， 利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，则可设交点式，然后把代入求出的值即可．解题的关键是掌握：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 设抛物线解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为，即． 故答案为： 【例1-3】（21-22九年级上·北京·开学考试）抛物线过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握求函数最值的方法． （1）将代入求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式，根据函数增减性求解． 【详解】（1）解：将代入得： 解得， ； （2）， 时，y随x增大而减小， 时y取最大值， 时y取最小值， 把代入得， 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法是解答本题的关键． 根据题意，抛物线的顶点坐标为，得到对称轴经过点，列出式子，求出答案． 【详解】解：由题意得： 抛物线的顶点坐标为， 对称轴经过点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为： ． 故选： 【变式1-2】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）与抛物线形状相同，开口向上，顶点为的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线．据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线形状相同，开口向上， ∴所求抛物线的． ∵顶点为， ∴所求抛物线为． 故答案为：． 【变式1-3】（22-23九年级上·广东惠州·期中）如图，已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了待定系数法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求得解析式． （1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． 【详解】（1）将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； （2）、， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． 题型02利用平移求二次函数解析式 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·湖北荆州·期中）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为： 故选：D 【例2-2】（23-24九年级上·浙江台州·期末）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关键是抓住顶点的平移，确定平移后抛物线的顶点坐标，结合平移的性质即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点为，顶点向右平移3个单位，再向上平移2个单位，平移后的顶点坐标为； 由于平移不改变图形的大小与形状，所以平移后的抛物线解析式为； 故答案为：． 【例2-3】（24-25九年级上·浙江·假期作业）将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：， 将其向左平移3个单位得到： ， 再将向下平移2个单位得到： ． 【变式演练】 【变式2-1】（2024九年级上·全国·专题练习）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移与几何变换，熟练掌握并利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减进行分析是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移2个单位所得抛物线的解析式为：． 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移1个单位所得抛物线的解析式为：，即． 故选：C． 【变式2-2】（22-23九年级上·福建莆田·期中）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把二次函数转化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律进行解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得抛物线的解析式为， 故答案为： 【变式2-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）将抛物线向右平移3个单位长度后经过点，求a的值和平移后抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．写出平移后抛物线的解析式，然后将点代入可以求得相应的a的值，得到抛物线解析式． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度后抛物线的解析式为：， 把点代入，得， 解得． 则该抛物线解析式为： 题型03利用对称求二次函数解析式 【典例分析】 【例3-1】（2023九年级·全国·专题练习）先将抛物线关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若抛物线关于轴作轴对称变换，则图象上所有的点横坐标不变纵坐标互为相反数，据此即可解答． 【详解】抛物线关于轴作轴对称变换， 则所得抛物线为，即． 故选：C． 【点睛】此题考查了抛物线的轴对称变换，解题的关键是找到对称轴，并熟知关于轴、轴的对称点的坐标特征． 【例3-2】（九年级上·全国·单元测试）抛物线关于轴对称所得的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答． 【详解】∵抛物线y=x2﹣4x+3关于x轴对称所得的抛物线的解析式为﹣y=x2﹣4x+3，∴所求解析式为：y=﹣x2+4x﹣3． 故答案为y=﹣x2+4x﹣3． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点． 【例3-3】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若两个抛物线关于轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线的“对称抛物线”的解析式． (3)在（2）的条件下，是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质． （1）将点代入，求出即可求解； （2）求出顶点的对称点为，设抛物线的解析式为，再将抛物线与x轴的交点为或代入，即可求解析式； （3）由题意可知，则，根据是第二象限内抛物线上的一个动点知-3＜x≤0，得，当时，W有最大值3． 【详解】（1）将点代入， ∴， 解得， ∴； （2）∵， ∴顶点为， ∴顶点关于x轴的对称点为， 设抛物线的解析式为，， ∵抛物线经过点或， ∴， ∴； （3）如图，    ∵点是第二象限内抛物线上的一个动点， 设M的横坐标为m，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为． 【变式演练】 【变式3-1】（2024九年级·江苏·专题练习）已知抛物线C：，则该抛物线关于y轴对称后的抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于y轴对称点的特点． 由函数关于y轴对称点的特点是∶纵坐标不变，横坐标变为相反数，故把原抛物线上的顶点变换后，化简后可得关于y轴对称的抛物线解析式． 【详解】解∶， 抛物线的顶点 与关于轴对称， 顶点坐标是， 抛物线的函数解析式为的，即． 故答案为∶ 【变式3-2】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线与轴交点的横坐标为和1，且过点．求此抛物线关于轴对称后所得到的抛物线解析式． 【答案】． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换问题．先求得点关于轴对称的对称点，再利用两点式求出已知抛物线的解析式即可． 【详解】解：∵点关于轴对称的对称点为， 设新抛物线的解析式为：， ∵该抛物线经过点， ， 解得：， 即新抛物线的解析式为：． 【变式3-3】（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）如图， 抛物线 的图象与x轴相交于点A，B，与y轴交于点 C，直线经过点A，与y轴交于点D，点C与点 D关于x轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第三象限内抛物线上的一个动点，过点 P作x轴的垂线交直线AD于点 F，当的面积最大时，求点 F和点 P 的坐标． 【答案】(1) (2)点F的坐标为，点P的坐标为． 【分析】本题考查了一次函数和抛物线与轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式．也考查了一次函数和二次函数的性质，属二次函数与一次函数综合题目． （1）先利用一次函数解析式确定，，再利用对称性得到，然后利用待定系数法求抛物线解析式； （2）设，则，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：当时，，则； 当时，，解得，则， 点与点关于轴对称， ， 把，代入得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：设，则， ∴，                                     ∴ ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的面积最大， 此时，点F的坐标为，点P的坐标为． 一、单选题 1．（22-23九年级上·云南昭通·阶段练习）将抛物线向右移动1个单位，再向下移动7个单位，得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图像的平移．熟练掌握在平面直角坐标系中函数图像平移的规律是解答此题的关键． 根据在平面直角坐标系中函数图像平移的规律：左加右减，上加下减；即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线向右移动 1 个单位，再向下移动 7 个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：， ∴． 故选：D． 2．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）将抛物线沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答即可． 【详解】解：根据题意，得 翻折后抛物线的解析式的解析式为：． 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．总结：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为相反数．关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数．关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）（已知顶点坐标）已知抛物线的顶点坐标是，且当时，，则这条抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的顶点坐标是，设抛物线的解析式为，再由当时，，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 当时，， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，告诉了顶点，采用顶点式，将抛物线解析式设为是解题的关键． 4．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，由图知抛物线顶点：，故设，又因为交轴于，代入解析式即可． 【详解】解：图知抛物线顶点：， 故设， 又抛物线交轴于， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 故选：C． 5．（22-23九年级上·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握根据平移的规律“左加右减，上加下减”得出函数解析式是解题的关键．根据平移规律求解，即可解题． 【详解】解：抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度， 平移后的抛物线解析式为， 故选：B． 6．（23-24九年级上·广东珠海·期中）若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点坐标可设二次函数的解析式为，再将已知点的坐标代入求解即可； 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将点代入得， 解得， 所以该二次函数的解析式为． 故选：A； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 二、填空题 7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）如果一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且顶点坐标是，则它的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，确定，根据顶点坐标是，设，结合，确定解析式即可． 【详解】∵抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同， ∴， ∵顶点坐标是， 设， ∵， ∴ 故答案为：． 9．（23-24九年级上·广东东莞·期中）已知二次函数的图像经过点，则该函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】把点代入二次函数中，求出的值即可得出答案． 【详解】解：把点代入中， 得， 解得， ∴该函数的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解二次函数解析式方法进行求解，是解决本题的关键． 10．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数图象的对称轴是直线，且图象过点和点，则此函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】由于对称轴是直线，且图象过点和点，利用顶点公式用待定系数法得到二次函数的解析式． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 11．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）将抛物线 向上平移1个单位，再向左平移1个单位得到的抛物线的解析式是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．根据解析式平移的规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位，再向左平移1个单位， 得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）已知抛物线的顶点坐标为，且图象过点，则此抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设此抛物线的解析式为，然后把代入求出即可，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】∵抛物线的顶点坐标为， ∴设此抛物线的解析式为， ∵图象过点， ∴，解得：， ∴此抛物线的解析式为 故答案为： 三、解答题 13．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图像以轴为对称轴作轴对称变换得到新的二次函数，请求出新二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴二次函数的解析式为． （2）解：∵， ∴二次函数的顶点为． ∴将该二次函数的图象沿轴进行轴对称变换，得到的新二次函数线的顶点为， ∴新的二次函数的解析式是，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，正确的理解题意是解题的关键． 14．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，已知二次函数的图象经过点和点．    (1)求该二次函数的解析式及顶点坐标； (2)点（其中）与点D均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求m的值及点D的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)，点 D的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键． （1）用待定系数法（将图像上两点坐标代入解析式即可），配方确定出顶点坐标； （2）将点代入二次函数解析式求出m的值，进而即可求得． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点， 得：， 解得：， 二次函数的解析式为：， ， 二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：点函数图象上， ， 解得：， ， 舍去， ， 点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线， ． 15．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）已知二次函数 的图象为抛物线C． (1)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围； (2)将抛物线C先向左平移 2 个单位长度、再向上平移 1个单位长度后，所得抛物线为． 请直接写出抛物线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，平移的规律，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向．进而根据抛物线性质解题即可． （2）根据平移规律：上加下减，左加右减，则可以写出平移后的解析式． 【详解】（1）解：把化为：． ∴当时， y取的最大值2． 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y的取值范围为； 当时，y的取值范围为； ∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为；． （2）解：∵抛物线C： 向左平移2个单位长度，则：， 即： 再向上平移1个单位长度，则： 即： ∴抛物线的函数式为：． 16．（23-24九年级上·江西上饶·期中）如图，抛物线与轴相交于点，，且过点． (1)求的值和该抛物线顶点的坐标； (2)若抛物线平移后，顶点为原点，应怎么平移？并写出平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，此时， 【分析】本题考查了利用待定系数法求函数解析式及二次函数图象与函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解本题的关键． （1） 把代入即可求得的值，利用配方法即可求得顶点坐标； （2）根据顶点的坐标为，平移后，顶点为原点，结合平移规律即可知需要将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，进而可确定解析式为． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴， ∴顶点的坐标为； （2）∵顶点的坐标为， 要使平移后，顶点为原点， ∴需要将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位， 此时，． 17．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C的顶点坐标为______． (2)当时，求y的取值范围； (3)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移规律； （1）将二次函数化成顶点式，即可求解； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，可得，，由开口方向向上时，距离对称轴越大的点对应的函数值越大，即可求解； （3）由二次函数平移规律得，即可求解； 理解“抛物线的开口方向向上时，距离对称轴越大的点对应的函数值越大；”，二次函数解析式在平移中的变化规律： “左加右减，上加下减；”是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 顶点， 故答案为：； （2）解：由（1）得抛物线的对称轴为直线， ， ， ，， ， ， ； （3）解：由题意得 ． 18．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示，直线过和两点，它与二次函数的图像在第一象限内交于点，若的面积为． (1)求点的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)能否将抛物线上下平移，使平移后的抛物线经过点？ 【答案】(1) (2) (3)故能将抛物线向下平移个单位长度，使平移后的抛物线经过点 【分析】此题考查二次函数图像与几何变换，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积是解题的关键； （1）有题意直线过点和两点，根据待定系数法求出直线的解析式，再根据的面积为求出点的纵坐标，然后将其代入直线的解析式，即可求出点坐标； （2）把点的坐标代入，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）设将抛物线上下平移后抛物线为，把点坐标代入，求出的值即可； 【详解】（1）设直线的解析式为： 直线过和两点， ，， ，， ， 的面积为， ， ， ， 解得：， 点的坐标为： （2）把点代入， 得， 解得：， 故二次函数解析式为： （3）设将抛物线上下平移后解析式为：， 把点代入，得， 解得：， 故能将抛物线向下平移个单位长度，使平移后的抛物线经过点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02三种方法求二次函数解析式 题型01利用待定系数法求二次函数解析式 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图所示的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图像过点，两点，对称轴为直线，这个二次函数的解析式为 ． 【例1-3】（21-22九年级上·北京·开学考试）抛物线过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求y的取值范围． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）与抛物线形状相同，开口向上，顶点为的抛物线解析式为 ． 【变式1-3】（22-23九年级上·广东惠州·期中）如图，已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 题型02利用平移求二次函数解析式 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·湖北荆州·期中）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24九年级上·浙江台州·期末）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的函数解析式为 ． 【例2-3】（24-25九年级上·浙江·假期作业）将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式． 【变式演练】 【变式2-1】（2024九年级上·全国·专题练习）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23九年级上·福建莆田·期中）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得抛物线的解析式为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）将抛物线向右平移3个单位长度后经过点，求a的值和平移后抛物线的解析式． 题型03利用对称求二次函数解析式 【典例分析】 【例3-1】（2023九年级·全国·专题练习）先将抛物线关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（九年级上·全国·单元测试）抛物线关于轴对称所得的抛物线的解析式是 ． 【例3-3】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若两个抛物线关于轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线的“对称抛物线”的解析式． (3)在（2）的条件下，是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，求的最大值． 【变式演练】 【变式3-1】（2024九年级·江苏·专题练习）已知抛物线C：，则该抛物线关于y轴对称后的抛物线的函数解析式为 ． 【变式3-2】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线与轴交点的横坐标为和1，且过点．求此抛物线关于轴对称后所得到的抛物线解析式． 【变式3-3】（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）如图， 抛物线 的图象与x轴相交于点A，B，与y轴交于点 C，直线经过点A，与y轴交于点D，点C与点 D关于x轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第三象限内抛物线上的一个动点，过点 P作x轴的垂线交直线AD于点 F，当的面积最大时，求点 F和点 P 的坐标． 一、单选题 1．（22-23九年级上·云南昭通·阶段练习）将抛物线向右移动1个单位，再向下移动7个单位，得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）将抛物线沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）（已知顶点坐标）已知抛物线的顶点坐标是，且当时，，则这条抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·广东珠海·期中）若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为 ． 8．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）如果一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且顶点坐标是，则它的解析式是 ． 9．（23-24九年级上·广东东莞·期中）已知二次函数的图像经过点，则该函数的解析式为 ． 10．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数图象的对称轴是直线，且图象过点和点，则此函数的解析式为 ． 11．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）将抛物线 向上平移1个单位，再向左平移1个单位得到的抛物线的解析式是 12．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）已知抛物线的顶点坐标为，且图象过点，则此抛物线的解析式为 ． 三、解答题 13．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图像以轴为对称轴作轴对称变换得到新的二次函数，请求出新二次函数的解析式． 14．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，已知二次函数的图象经过点和点．    (1)求该二次函数的解析式及顶点坐标； (2)点（其中）与点D均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求m的值及点D的坐标． 15．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）已知二次函数 的图象为抛物线C． (1)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围； (2)将抛物线C先向左平移 2 个单位长度、再向上平移 1个单位长度后，所得抛物线为． 请直接写出抛物线的函数解析式． 16．（23-24九年级上·江西上饶·期中）如图，抛物线与轴相交于点，，且过点． (1)求的值和该抛物线顶点的坐标； (2)若抛物线平移后，顶点为原点，应怎么平移？并写出平移后抛物线的解析式． 17．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C的顶点坐标为______． (2)当时，求y的取值范围； (3)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的解析式． 18．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示，直线过和两点，它与二次函数的图像在第一象限内交于点，若的面积为． (1)求点的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)能否将抛物线上下平移，使平移后的抛物线经过点？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$