1.2 充要条件（教学设计）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2023修订版·拓展模块一上册）

1.2 充要条件教学目标 1．能根据命题及其逆命题的真假判断命题中所给条件与结论之间的逻辑关系； 2．知道判断 p 是 q 的什么条件，既要通过命题的真假判断 p 是不是 q 的充分条件，还要通过逆命题的真假判断 p 是不是 q 的必要条件，养成严谨的数学思维习惯； 3．能利用充要条件解决一些生活和生产实践中的简单实际问题，培养和提升逻辑推理等核心素养．教学重难点 教学重点：根据命题及其逆命题的真假判断命题中所给条件与结论之间的逻辑关系． 教学难点：命题、逆命题的真假判断．教材分析 本课在学生学过的充分条件和必要条件基础上进行持续思考，引入充要条件的有关概念；通过选择学生熟悉的案例、已学过的知识、易判断的命题，降低问题的难度，着重学习如何判断 p 与 q 之间的逻辑关系．教学工具 教学课件 教学过程 （一）情境导入 一般地，若命题“如果p，那么q ”是真命题，即由p可以推出q，则称p是q的充分条件，记作p⇒q． 若命题“如果p，那么q”是假命题，即由p不能推出q，则称p不是q的充分条件，记作p⇏q ． 一般地，若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是真命题，则称p是q的必要条件，记作p⇐q． 若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是假命题，则称p不是q的必要条件，记作p⇍q ． 如图所示电路中，“开关S1闭合”与“灯L1亮”还有什么关系呢？ 由于命题“如果开关S1闭合，那么灯B亮”是真命题，它的逆命题“如果灯L1亮，那么开关S1闭合”也是真命题，所以“开关S1闭合”既是“灯L1亮”的充分条件，也是“灯L1亮”的必要条件． 【设计意图】以原有问题的另一种关系探究中引出新问题. （二）探索新知 一般地，若命题“如果p, 那么q”是真命题，其逆命题“如果q， 那么p”也是真命题， 即p⇒q且p⇐q，则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件，也称p与q等价，记为p⇔q ． “情境与问题”中“开关S1闭合”是“灯L1亮”的充要条件． 【设计意图】归纳概念；突出强调符号使用规范. （三）典例剖析 例1. 判断下列命题中的条件p是否为结论q的充要条件． （1）p：设， ， q：； （2） p：三角形三边相等， q：三角形三角相等； （3）p：函数的图象关于y轴对称，q：函数 ． 解 （1）因为“， ， 那么”是；而其逆命题“，，那么”也是真命题，所以p是q的充要条件； （2）由“三角形三边相等”可得三角形是正三角形，则有三角形的三个内角都是 ，即“三角形三边相等”是“三角形三角相等”的充分条件； 又由“三角形三角相等”可得三个内角都是 ，故三角形是正三角形， 则有“三角形三边相等”，即“三角形三边相等”是“三角形三角相等”的必要条件.综上可得，“三角形三边相等”是“三角形三角相等”的充要条件. （3）函数图象关于 轴对称，函数可以是 ，也可以不是，所以此命题是假命题，函数的图象关于轴对称，所以逆命题是真命题，所以p是q的必要不充分条件. 例2. 下列命题中的条件是结论的什么条件？ （1）若a，b都是偶数，则a＋b是偶数； （2）若x＝1，则x2－2x＋1＝0 ； （3）如果 ，那么 ． 解 （1）a，b都是偶数可推出a＋b是偶数；当a＋b是偶数时，a，b可以都是奇数，所以p是q的充分不必要条件； （2）若x＝1，则x2－2x＋1＝0 成立，所以原命题是真命题；当x2－2x＋1＝0时，解得x＝1 ，所以逆命题是真命题；所以p是q的充要条件； （3）当时，，故原命题是假命题；当时，，所以逆命题是假命题，所以p是q的既不充分又不必要条件. 充要条件的判断方法 直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． 【设计意图】例1帮助学生初步认识到要“双向”考虑问题；例2延续例 1 加深认识，判断条件直接关系需要“双向”确认. （四）巩固练习 1．给出下列各组条件： ①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；②p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|； ③p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根； ④p：x＞2或x＜－1，q：x＜－1． 其中p是q的充要条件的有 (　　) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 解: 对于①由p ⇏ q知，p一定不是q的充要条件．对于②，由|x|＋|y|＝|x＋y|知x，y要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零，能得到xy≥0，故是充要条件．对于③，方程x2－x－m＝0有实数解，判别式Δ＝1＋4m≥0，即m≥－ ，所以q ⇏ p，∴p是q的充分不必要条件．对于④，因为p ⇏ q，所以p不是q的充要条件，故只有②是，故选A． 2．判断下列命题的条件p是否为 q的充要条件． ①在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC； ②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； ③p：|x|＞3，q：x2＞9． 解: ①在△ABC中，显然有∠A＞∠B⇔BC＞AC， 所以p是q的充要条件． ②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件． ③由于p：|x|＞3⇔q：x2＞9，所以p是q的充要条件． 【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺. （五）归纳总结 【设计意图】培养学生反思学习过程的能力 （六）布置作业 练习1.2；习题1.2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$