空间向量与立体几何：边长缺失问题专项训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何：边长缺失问题专项训练 空间向量与立体几何：边长缺失问题专项训练 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点， (1)求证：EF⊥平面PBC； (2)若，，二面角的正弦值为，求BC． 2．（23-24高二上·广东广州天河区·期末）已知四棱锥的底面为等腰梯形，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 3．（23-24高二上·广东惠州博罗县·期末）如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面. (1)证明：四点共面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求长. 4．（23-24高二下·湖南长沙·期末）由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. (1)求证：平面； (2)若二面角的正切值为，求平面与平面夹角的大小. 5．（23-24高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求线段的长度． 6．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 7．（23-24高二上·福建南平·期末）如图，在四棱锥中，平面，为的中点. (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长. 8．（23-24高二上·福建福州·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，是的中点. (1)求证：； (2)已知二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$空间向量与立体几何：边长缺失问题专项训练 空间向量与立体几何：边长缺失问题专项训练 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点， (1)求证：EF⊥平面PBC； (2)若，，二面角的正弦值为，求BC． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面ABC，平面。所以， 因为是的直径，知， 因为，且平面，所以平面， 由分别是的中点，所以，所以平面． （2）以为原点，所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，且， 所以，， 易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则 则，即，∴， 取，得，，则， 因为二面角的正弦值为，则其余弦值为， 所以，化简得， 又因为，所以， 解得：，即， 所以，即. 2．（23-24高二上·广东广州天河区·期末）已知四棱锥的底面为等腰梯形，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）平面，平面，， 过点作，交于点， 四边形为等腰梯形， 由，得，则， 所以，， 由，平面，得平面， 平面，所以； （2）四边形为平行四边形，，， ，， 两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，即， 设平面的一个法向量，则， 令，则，即， 平面与平面夹角的余弦值为， 则有，解得， 等腰梯形的面积为， 故. 所以四棱锥的体积为2. 3．（23-24高二上·广东惠州博罗县·期末）如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面. (1)证明：四点共面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求长. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）连接，因为， 所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，， 在半圆上，是弧中点，所以， 所以，又， 所以，所以四点共面. （2）法1：直棱柱中，以为原点，建立如图空间直角坐标系，    设，则， 设面的法向量为，则，取，所以， ， 设面的法向量为，则，取，所以， 平面与平面所成夹角，即与夹角或其补角， 所以，解得，所以 法2：设，由（1）知四点共面，则面面.    取中点，连接，则，而面，面， 故，，面，则平面， 过作于，又平面，所以平面， 过作于，连接，则，又是锐角. 所以是平面与平面所成的夹角，则， 所以在Rt中，， 在中，根据等面积法， 在中，. 所以. 所以，解得，即， 所以. 4．（23-24高二下·湖南长沙·期末）由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. (1)求证：平面； (2)若二面角的正切值为，求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）法一：将几何体补成四棱柱， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 又， 故，， 故四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 平面. 法二：∵四边形是菱形， ∴⊥， 又平面，平面， ∴，， 故两两垂直， 以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 其中， 则，设， 由得， 由得， 则， 设平面的法向量为， 则，取，得， ， 又平面， 平面. （2）设，取的中点，则， 又四边形是菱形，， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 故面， 因为平面， 则， 因为且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 又，故四边形为平行四边形， 故，，故. 所以为二面角的平面角. 则，其中，故， 故， 设平面的法向量为， 则取，得， ， 平面与平面夹角的余弦值为， 平面与平面夹角为. 5．（23-24高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)6. 【详解】（1）由题意知平面，又平面， 所以， 因为四边形是平行四边形，且， 所以四边形为正方形，所以， 因为平面， 所以平面． 又平面，所以， 因为，所以， 又因为平面， 所以平面． （2）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设，则， 所以， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则，所以， 设二面角的大小为， 则，解得， 所以线段的长为6． 6．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①或；②不存在点，理由见解析 【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，， 平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直角空间坐标系， 设，则，由， ，，， 则，，因，则，， 所以， ①设平面的法向量为，由，，得： ，可取 设直线与平面所成角为， 则有：，， 即：，化简得：， 解得或，即或. ②如图，假设在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上， 由，得，所以， 所以， 又得，，所以， 由得，即， 亦即（*）， 因为，所以方程（*）无实数解， 所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上. 7．（23-24高二上·福建南平·期末）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）因为平面，且平面， 所以，又，即， 以分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由，为的中点， 得，，，， 所以，， 所以，，    所以. （2）由（1）可得，，，， ，所以，，， ， 设平面的法向量为， 所以 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为. 则，取，得 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以，整理得， 解得或（舍） 即线段的长为. 8．（23-24高二上·福建福州·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，是的中点. (1)求证：； (2)已知二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由平面，又平面，则， 又是菱形，则，又，面 所以平面，又平面， 所以. （2）设，连接，因为是的中点，所以， 又平面，所以平面， 分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 设，因为， 则， 所以， 由（1）知平面的一个法向量为， 设面的一个法向量为，由，得到， 令，可得，即， 因为二面角的余弦值为，则， 解得，则， 设与平面所成的角为，又， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$