18.2.1矩形（第一课时）教学设计-2023-2024学年人教版（2012）数学八年级下册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 春季 课题 18.2.1矩形（1） 教科书 书 名：数学教材 出版社：人民教育出版社 教学目标 1．理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别和联系． 2．探索并证明矩形的性质，会用矩形性质解决相关问题． 3．探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要结论． 教学重难点 教学重点： 矩形不同于一般平行四边形的特殊性质的发现、证明与初步应用． 教学难点： 1．能从矩形与平行四边形之间特殊与一般的关系出发，探究矩形的性质． 2．能从矩形出发研究直角三角形中的有关问题． 教学过程 1.提出问题，形成概念 引言 对几何图形的研究，我们常常按照从一般到特殊的思路进行．比如研究了一般三角形后，我们研究了把边特殊化得到的等腰三角形、把角特殊化得到的直角三角形．对于平行四边形，我们也延续这样的思路进行研究． 问题1 前面我们已经学习了平行四边形的知识，现在请你用6根火柴拼一个平行四边形． 师生活动：学生动手操作，用6根火柴拼出一个平行四边形． 追问1：拼平行四边形的过程蕴含了什么数学道理． 设计意图：复习平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 追问2：结合拼出的平行四边形，说一说平行四边形都有哪些性质． 师生活动：学生从边、角、对角线的角度回顾平行四边形的性质． 设计意图：通过复习，再次明确对矩形性质的研究和平行四边形一样，都是从“边-角-对角线”三个方面展开的． 追问3：观察小组内几位同学所拼的平行四边形的形状一样吗？这些平行四边形有什么共同点？ 师生活动：学生发现大家所拼的平行四边形的形状是不同的，但是所有的平行四边形的边长都分别相同． 设计意图：通过观察，体会平行四边形的不稳定性．为进一步探索矩形形成的条件做准备． 问题2 在推动D点的过程中，平行四边形的形状不断改变．在这个过程中，会有什么样的特殊图形产生呢呢？ 师生活动：教师对实物进行动态演示．让学生观察从一般的平行四边形到矩形的变化过程，进而得出矩形的定义． 追问1：图形的哪些条件发生了变化？哪些条件没有变化呢？ 师生活动：推动D点的过程中，图形的形状发生了改变，但始终是平行四边形．边的长度没有变化，内角的度数发生了改变． 设计意图：通过动态观察，引导学生体会边长确定时平行四边形的边、角、对角线的变化特点及制约关系，为矩形的定义和性质的学习打下基础． 追问2：结合从一般的平行四边形到矩形的变化过程，思考矩形出现的条件，并试着给矩形下一个定义． 师生活动：在推动 D 点的过程中，当平行四边形的一个内角变为直角时，平行四边形就变成了矩形．由此，发现了平行四边形和矩形之间的关系．师生共同归纳出矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．教师引导学生用几何语言表达矩形的定义． 设计意图：借助实物的动态变化，让学生直观感知角的变化带来平行四边形的改变．通过观察、操作和思考，学生在探究中自然而然地形成了矩形的概念，并在学习矩形知识的基础上建构起新旧知识之间的联系，明确矩形是特殊的平行四边形． 2.探究性质，深化认知 矩形是常见的图形．门窗框、书桌面、教科书封面等都有矩形的形象．矩形在实际生活中大量存在，也被广泛应用，这是因为矩形有一些特殊的性质．你认为矩形有哪些性质呢？我们又如何研究矩形的性质呢？ 问题3 矩形是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴． 师生活动：学生对折矩形纸片，折痕两侧的部分能够完全重合，因此矩形是轴对称图形．它有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线. 设计意图：探究矩形的轴对称性，为后面继续探索矩形的其他性质做好铺垫． 问题4 矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的特殊性质呢？请利用手中的学具（矩形纸片）进行探究． 师生活动：在平行四边形变化为矩形的过程中，边的条件没有发生变化，而角和对角线的条件发生了变化．因此，矩形性质的特殊性体现在矩形的角和对角线上． 猜想1：矩形的四个角都是直角． 猜想2：矩形的对角线相等． 设计意图：通过动手实践，引导学生用轴对称的观点探究矩形的性质． 追问：你能证明这些猜想吗？ 师生活动：性质1的证明相对简单，让学生在定义的基础上进行口述证明即可． 证明矩形的对角线相等方法多样，如直接运用勾股定理进行证明，利用三角形全等证明线段相等，利用轴对称构造等腰三角形三线合一进行证明，等等．充分挖掘，鼓励学生尝试不同的证明方法，完整书写利用全等的证明过程．对于利用勾股定理与构造图形转化的证明思路由学生口述完成即可． 总结矩形的性质： 边：矩形的对边平行且相等； 角：矩形的四个角都是直角； 对角线：矩形的对角线相等且互相平分． 设计意图：引导学生证明猜想，得到定理．再次体会几何研究的“观察——猜想——证明”过程． 问题5 在前面的学习中，我们利用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，类似地，你能利用矩形的性质，探究直角三角形的一些特殊性质吗？ 思考：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？ 师生活动：学生分小组讨论，交流后得出结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 设计意图：理解直角三角形与矩形的关系，进一步体会用特殊四边形的性质研究特殊三角形的策略，得到直角三角形斜边上中线的性质．在求线段长或线段的倍分关系时，这个结论常常被用到． 3.运用性质，解决问题 例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形对角线的长． 师生活动：教师先引导学生分析解题思路．因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质．根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．在此基础上写出解题过程． 变式归纳： 1. 矩形中有直角三角形，也有等腰三角形．只要出现60°或120°的夹角，则往往会出现等边三角形．． 2.不改变运算结果，题目中“∠AOB＝60°”这个条件，还可以换成其他什么条件呢？． 3.过点A作∠BAD的平分线交BC于点E，连接OE，求∠BOE． 设计意图：运用矩形的性质解决问题，体会矩形与直角三角形、等腰（边）三角形之间的关系． 例2 如图，四边形ABCD是矩形，AE∥BD ，且交CB的延长线于点E．求证：∠EAB＝∠CAB ． 师生活动： 根据上一题的经验，我们知道△OAB是等腰三角形，故两底角相等，再由AE∥BD这个已知条件，得内错角相等，最后通过等量代换，可证出结论． 有的同学先证明了四边形AEBD是平行四边形，得AE＝BD，然后根据矩形的对角线AC、BD相等，证明出△AEC是等腰三角形，最后根据三线合一，证明出∠EAB＝∠CAB． 设计意图：可用多种方法证明结论，有利于拓宽学生思维，使矩形性质在与其他各类相关知识综合运用中融会贯通． 4.归纳整理，形成体系 通过本节课的学习，你有哪些收获呢？请参照学习目标，回顾本节课所学的主要内容，并在小组内交流分享． 1．学习了矩形的定义．对几何图形的研究都是按照从一般到特殊的思路进行的．这节课我们学习的矩形，就是通过把平行四边形的角进行特殊化得到的． 2．学习了矩形的性质．矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有“四个角都是直角”、“对角线相等”的特殊性质．对矩形性质的学习，我们经历了“操作观察—提出猜想—证明结论”这三个阶段．这也是几何学习中非常重要的研究过程． 3．根据矩形的性质，我们得到了一个关于直角三角形斜边上的中线的性质．三角形和四边形有着密切的联系．我们利用三角形全等证明了矩形的对角线相等；同时，我们也利用矩形的性质研究了直角三角形的性质． 设计意图：通过小结，梳理本节课所学内容，总结方法，体会思想． 学科网（北京）股份有限公司 $$