专题4.2 同角三角函数关系和诱导公式（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（安徽专用）

专题4.2 同角三角函数关系和诱导公式 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：同角三角函数的平方关系 5 考点二：同角三角函数的商数关系 6 考点三：三角函数的诱导公式 7 考点四：三角函数诱导公式的应用 8 【考纲要求】 1.理解同角三角函数的基本关系式：，. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式. 【考向预测】 1.根据同角三角函数基本关系求三角函数值 2.利用诱导公式求任意角的三角函数 3.综合利用同角三角函数基本关系和诱导公式的化简、求值 【知识导图】 【知识清单】 1.同角三角函数的基本关系式： 1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系： （1）商数关系： （2）平方关系： 说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如： ， ， ，，，(，，，三式之间可以互相表示)； 2.诱导公式 口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是中整数的奇偶性，把看作锐角) ；. ①.公式（一）：与 ；； ②.公式（二）：与 ；； ③.公式（三）：与 ；； ④.公式（四）：与 ；； ⑤.公式（五）：与 ；； ⑥.公式（六）：与 ；； ⑦.公式（七）：与 ；； ⑧.公式（八）：与 ；； 【考点分类剖析】 考点一：同角三角函数的平方关系 例1．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知是第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知，那么的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 【变式探究】2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 例3．已知，是方程的两根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知且α为第二象限角，则m的允许值为（    ） A． B． C． D．或 【变式探究】2．设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 【变式探究】3．已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 例4．方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 考点二：同角三角函数的商数关系 例1．已知，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式探究】1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式探究】2．若，则（    ） A． B． C．或 D．或3 例2．已知，则（    ） A．4 B． C． D．3 【变式探究】1．已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式探究】2．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 例3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知，则（　　） A． B． C． D． 例4．若，则（    ） A． B．-3 C． D．3 【变式探究】1．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知，则（    ） A． B． C． D． 考点三：三角函数的诱导公式 例1．的值是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．的值为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．的值为（      ） A． B． C． D． 【变式探究】3．（    ） A． B． C． D． 例2．与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．若，则（    ） A． B． C． D．1 【变式探究】2．已知，则cosα的值为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 例3．已知，则等于（    ） A．a B．－a C． D． 【变式探究】1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 例4．（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．的值为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．tan585°=（    ） A．− B．− C． D． 【变式探究】4．（    ） A． B． C． D． 考点四：三角函数诱导公式的应用 例1．在锐角三角形ABC中，下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 【变式探究】若，则属于第__________象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 例2．已知集合，，则与的关系是 A． B． C． D． 【变式探究】已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 例3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知，则（    ） A． B． C．- D． 【变式探究】2．若，则（    ） A． B． C． D． 例4．对于，下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．下列化简不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．（   ） A． B．0 C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 同角三角函数关系和诱导公式 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：同角三角函数的平方关系 5 考点二：同角三角函数的商数关系 9 考点三：三角函数的诱导公式 12 考点四：三角函数诱导公式的应用 17 【考纲要求】 1.理解同角三角函数的基本关系式：，. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式. 【考向预测】 1.根据同角三角函数基本关系求三角函数值 2.利用诱导公式求任意角的三角函数 3.综合利用同角三角函数基本关系和诱导公式的化简、求值 【知识导图】 【知识清单】 1.同角三角函数的基本关系式： 1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系： （1）商数关系： （2）平方关系： 说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如： ， ， ，，，(，，，三式之间可以互相表示)； 2.诱导公式 口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是中整数的奇偶性，把看作锐角) ；. ①.公式（一）：与 ；； ②.公式（二）：与 ；； ③.公式（三）：与 ；； ④.公式（四）：与 ；； ⑤.公式（五）：与 ；； ⑥.公式（六）：与 ；； ⑦.公式（七）：与 ；； ⑧.公式（八）：与 ；； 【考点分类剖析】 考点一：同角三角函数的平方关系 例1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数关系中平方和关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以． 故选：B 【变式探究】1．已知是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角的三角函数基本关系式先求出余弦值，再求正切值即得. 【详解】因是第二象限角，且，故， 则. 故选：B. 【变式探究】2．已知是第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角基本关系式可以求得. 【详解】因为是第三象限角，且， 所以， 所以， 故选：B. 例2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数关系式求得，代入即可求解. 【详解】因为，所以， 又，即，解得， 所以. 故选：B. 【变式探究】1．已知，那么的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方关系求出，则，代入即可求解. 【详解】，则， 解得或（舍去）， 故，. 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，需熟记公式，属于基础题. 【变式探究】2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要求，就需要把条件里的转化为消去，所以利用已知条件解出，两边平方再根据同角三角函数间的基本关系化简可得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可． 【详解】由已知变形为，解得； 两边平方得：， 化简得：即， 由题知，所以即． 故选：． 【点睛】此题考查学生灵活运用三角函数中的恒等变换，是一道基础题．学生做题的思路是把正弦转换为余弦． 例3．已知，是方程的两根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用韦达定理，结合三角函数的平方关系求解. 【详解】由Δ≥0知，a≤. 又 由(1)2得：sinαcosα＝－， ∴＝－， ∴a＝－. 故选：C 【变式探究】1．已知且α为第二象限角，则m的允许值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据平方关系列方程解得m的值，再根据象限角范围确定选项. 【详解】或 因为α为第二象限角，所以，因此 故选：C 【点睛】本题考查同角三角函数关系以及三角函数符号，考查基本分析求解能力，属中档题. 【变式探究】2．设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 【答案】C 【分析】由解得或，然后对、分别进行讨论，即可得出结果. 【详解】因为，，且， 所以，解得或， 若，则，，此时所在象限是第四象限； 若，则，，此时所在象限是第二象限， 所以为第二象限或第四象限角. 故选：C. 【变式探究】3．已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据同角平方和关系即可结合角的范围求解. 【详解】由可得或， 由于为第二象限角，所以， 故当时，不符合要求， 则符合要求， 故选：D 例4．方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的平方关系化简已知式可取得，即可得出答案. 【详解】由可得：， 解得：，所以. 故选：B. 【变式探究】．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系化简可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则，所以，. 故选：D. 考点二：同角三角函数的商数关系 例1．已知，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据题意结合同角三角关系分析求解. 【详解】因为，显然，所以. 故选：B. 【变式探究】1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用“商的关系”直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 【变式探究】2．若，则（    ） A． B． C．或 D．或3 【答案】A 【分析】化简方程，通过角度正弦值和余弦值的关系，即可求出的值. 【详解】由题意， 即 ∵， ∴，解得：（舍）或， 故选：A. 例2．已知，则（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】C 【分析】首先求出，再将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 【变式探究】1．已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】化弦为切，代入求值. 【详解】. 故选：B 【变式探究】2．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算即得. 【详解】由，得. 故选：A 例3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】弦化切即可求解. 【详解】， 故选:B. 【变式探究】1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角齐次式求解即得. 【详解】因为 故 故选:C. 【变式探究】2．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再分子分母同除以余弦的平方，得到关于正切的关系式，代入求值. 【详解】由得，，所以 故选：D 例4．若，则（    ） A． B．-3 C． D．3 【答案】B 【分析】利用同角三角函数关系式中的商关系进行求解即可. 【详解】由， 故选：B 【变式探究】1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解. 【详解】由可得， 解得：， 故选：C. 【变式探究】2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把已知等式的分子分母同时除以即得解. 【详解】由题得， 所以. 故选：C 【点睛】方法点睛：类似这种对称分式的化简，一般将分式的分子分母同时除以. 考点三：三角函数的诱导公式 例1．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可. 【详解】. 故选：B. 【变式探究】1．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可. 【详解】. 故选：C. 【变式探究】2．的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】由诱导公式可得，. 故选：B. 【变式探究】3．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简后即可求值. 【详解】. 故选：A 例2．与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简已知函数，再利用诱导公式逐项化简判断. 【详解】依题意，， 对于A，，A是； 对于B，，B不是； 对于C，，C不是； 对于D，，D不是. 故选：A 【变式探究】1．若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据诱导公式即可. 【详解】. 故选：A. 【变式探究】2．已知，则cosα的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简计算即得. 【详解】由可得，， 即. 故选：A. 【变式探究】3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简已知式和所求式，代入计算即得. 【详解】由可得，，即， 则. 故选：B. 例3．已知，则等于（    ） A．a B．－a C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式五化简计算即得. 【详解】因. 故选：A. 【变式探究】1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式可得解. 【详解】由诱导公式可得， 又， 故选：A. 【变式探究】2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式即可求得答案. 【详解】由，可得. 故选：C. 【变式探究】3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据利用诱导公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 例4．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切的诱导公式计算． 【详解】． 故选：C． 【变式探究】1．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的诱导公式即可求解. 【详解】解：. 故选：A. 【变式探究】2．tan585°=（    ） A．− B．− C． D． 【答案】C 【分析】直接根据诱导公式求解即可. 【详解】， 故选：C. 【变式探究】4．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将大角化小角，根据诱导公式可得，然后根据，以及两角和的正切公式，可得结果. 【详解】 则 由 所以 则 故选：B 【点睛】本题考查诱导公式，以及特殊角的转化，还考查两角和的正切公式，关键在于计算，属基础题. 考点四：三角函数诱导公式的应用 例1．在锐角三角形ABC中，下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题得A+B＞，利用诱导公式化简即得解. 【详解】由题得A+B＞， 所以 故答案为D 【点睛】本题主要考查诱导公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 【变式探究】若，则属于第__________象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】先利用诱导公式和同角三角函数的关系对化简，得，从而可得，进而可求得答案 【详解】解：由，得 ， ， 所以， 所以，所以属于第三象限的角， 故选：C 例2．已知集合，，则与的关系是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析: ，因此，故答案为C． 考点：1、三角函数的诱导公式；2、集合间的关系． 【变式探究】已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据诱导公式进行化简，然后对原式进行齐次化，转化为只含有的代数式，代入计算可知结果为选项B. 【详解】利用诱导公式化简： 已知角的终边经过点，可得，且. 分子分母同时除以： . 故选：B 例3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据结合诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 【变式探究】1．已知，则（    ） A． B． C．- D． 【答案】A 【分析】因为，由诱导公式可得选项. 【详解】. 故选：A. 【变式探究】2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察到，代入原式，利用诱导公式求解. 【详解】因为, 所以， 故选：A. 例4．对于，下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式化简即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选:D. 【变式探究】1．下列化简不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案. 【详解】A选项， ，所以A选项正确. B选项， ，B选项正确. C选项，，C选项正确. D选项，，D选项错误. 故选：D 【变式探究】2．（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式化简即可. 【详解】， 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$