精品解析：湖南省衡阳市华泰职业学校2022—2023学年高一上学期分班考试数学试题

华泰职业学校20级分班考试试卷 （考试时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为了得到函数图象，只需要将的图象（ ） A. 向上平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向右平移个单位 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 直线与直线位置关系是（ ） A. 垂直 B. 重合 C. 平行 D. 相交而不垂直 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于向量的说法中，正确的是（ ）. A. 相等的两个向量一定是共线向量 B. 方向相反的两个向量互为相反向量 C. 所有的单位向量都相等 D. 与同一向量共线的两个向量一定共线 8. 函数的单调递增区间是（ ）. A. B. C. D. 9. 设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 点的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 某学校有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该学校学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取男生的人数为__________. 12. 展开式中含项为__________. 13. 已知，，则角是第__________象限角. 14. 已知向量，，，且，则__________. 15. 已知函数为奇函数，.若，则____________ 三、解答题（本大题共7小题，其中第21、22小题为选做题.每小题10分，满分60分） 16. 等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，，求n. 17. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. （1）用E表示取到蛋黄粽的个数，求E的分布列； （2）求选取2个粽子都为同一种粽子的概率. 18. 已知函数 （1）画出的图象； （2）若，求的取值范围. 19. 如图，在三棱柱中，底面，D为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求三棱柱的体积． 20. 已知椭圆：的焦点为、，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）直线过点且及垂直，及椭圆C相交于M，N两点，求MN的长. 注意：请考生在第21，22题中选择一题作答.如果两题都做，，则按所做的第121题计分，作答时，请写清题号. 21. 的内角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，且. （1）求角B； （2）若，，求a的值. 22. 某企业拟生产产品A和产品B，生产一件产品A需要新型材料2千克，用3个工时：生产一件产品B需要新型材料1千克，用2个工时，生产一件产品A的利润为1600元，生产一件产品B的利润为1000元，现有新型材料200千克，问该企业在不超过360个工时的条件下，如何规划生产，才能使企业获得的总利润最大？并求出总利润的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华泰职业学校20级分班考试试卷 （考试时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的求法求解即可. 【详解】因为集合 则集合. 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的概念即可判断. 【详解】由解得或， 所以由不能推出， 若，则， 所以由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ） A. 向上平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加，右减”的平移规律判断选项. 【详解】根据平移规律可知，只需向左平移个单位得到. 故选：B 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的求解方法求解. 【详解】不等式， 解得或. 所以不等式的解集为或. 故选：C. 5. 直线与直线的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 重合 C. 平行 D. 相交而不垂直 【答案】C 【解析】 【分析】将直线转化为斜截式方程，再分析直线的位置关系即可. 【详解】因为直线可化为， 所以两直线斜率相等，截距不相等， 所以两直线的位置关系是平行. 故选：C. 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根底数为非负求解. 【详解】要使函数有意义，须使，即，故定义域为. 故选：B． 7. 下列关于向量的说法中，正确的是（ ）. A. 相等的两个向量一定是共线向量 B. 方向相反的两个向量互为相反向量 C. 所有的单位向量都相等 D. 与同一向量共线的两个向量一定共线 【答案】A 【解析】 【分析】根据单位向量、相等向量、相反向量和共线向量的概念即可判断. 【详解】对A：方向相同，模长相等的向量为相等向量，方向相同或相反的向量为共线向量， 所以相等向量一定是共线向量，故A项正确； 对B：方向相反，模相等的向量才是相反向量，故B项错误； 对C：单位向量的方向是任意的，所以所有的单位向量不一定相等，故C项错误； 对D：零向量和任意向量共线，因此都和零向量共线的两个向量可能不共线，也可能共线，故D项错误. 故选：A. 8. 函数的单调递增区间是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出二次函数图像的对称轴，并根据开口方向即可求解. 【详解】二次函数函数图像对称轴，并且开口向上， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B 9. 设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面的位置关系可判断A；举反例判断B、C；由面面垂直的判定定理可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：若，，则或，故选项A不正确； 对于B：如图，平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，但与相交，故选项B不正确； 对于C：如图，在正方体中，平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，， 但，故选项C不正确； 对于D：若，，可得或，若，因为，由面面垂直的判定定理可得；若，可过作平面与相交，则交线在平面内， 且交线与平行，由可得交线与垂直，由面面垂直的判定定理可得，故选项D正确； 故选：D. 10. 点的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的标准方程得到圆心坐标与半径，分类讨论直线斜率存在与不存在的情况，结合点到直线的距离公式，勾股定理，三角形的面积公式即可得解. 【详解】由圆可得圆心坐标为，半径为. 直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为. . 则. 当直线斜率存在时，设直线的方程为即. 所以圆心到直线的距离为，. 则. 当时，此时，的面积最大为. 综上所述的面积最大为. 故选：. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 某学校有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样方法，从该学校学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取男生的人数为__________. 【答案】25 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义求出各层抽样比，再按抽样比求出抽样男生的人数即可. 【详解】抽取比例为：， 所以抽取的男生人数为：. 故答案为：25. 12. 展开式中含的项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】二项展开式通项公式可知：， 令，解得， 所以展开式中含的项为. 故答案为：. 13. 已知，，则角是第__________象限角. 【答案】二 【解析】 【分析】根据三角函数值在各象限的符号即可得解. 【详解】因为，角在第一、二象限或y轴的正半轴， 又以为，角在第二、四象限， 综上，角是第二象限角. 故答案为：二. 14. 已知向量，，，且，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】由，得 ，即 ，解得， 所以. 故答案为：5. 15. 已知函数为奇函数，.若，则____________ 【答案】. 【解析】 【分析】由，得，由为奇函数得，可求得，再利用得到答案. 【详解】因为，， 所以， ， 因为为奇函数， 所以，由，得， 因为，所以. 故答案为：6. 三、解答题（本大题共7小题，其中第21、22小题为选做题.每小题10分，满分60分） 16. 在等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列前n项和为，，求n. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义与通项公式即可得解； （2）利用等差数列的求和公式列式即可得解. 【小问1详解】 因为在等差数列中，，，设其公差为， 则，得， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）可知，， 当时，有，解得. 17. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. （1）用E表示取到蛋黄粽的个数，求E的分布列； （2）求选取的2个粽子都为同一种粽子的概率. 【答案】（1）分布列见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，E的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可求解分布列. （2）2个粽子都为同一种粽子可能是两个都是蛋黄粽，也可能两个都是豆沙粽，分别求出他们的可能组合数，再比上总的可能即可. 【小问1详解】 依题意可能为0，1，2，对应的概率为 ∴ 0 1 2 【小问2详解】 依题意得，任意选取2个粽子有种可能， 选取2个粽子都为同一种粽子的，可能两个都是蛋黄粽， 也可能两个都是豆沙粽， 所以选取的2个粽子都为同一粽子的概率为. 18. 已知函数 （1）画出图象； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式画出函数的图象即可. （2）根据函数代入两个解析式联立求解即可. 小问1详解】 根据函数 当时，函数； 当时，；可得函数图象如下， 【小问2详解】 因为， 当时，有，解得； 当时，有，解得； 综上，. 19. 如图，在三棱柱中，底面，D为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求三棱柱的体积． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由线线垂直即可证明线面垂直. （2）先找到线面角，再由线面角求解的长度，再由三棱柱的体积公式求解即可. 【小问1详解】 ∵底面ABC，平面ABC， ∴， ∵，D为AC的中点， ∴， 又，平面， ∴平面. 【小问2详解】 连接， 由平面知，直线与平面所成的角为，即， 在中，由， 可得， 在中，， 可得， 从而在中，， . 20. 已知椭圆：的焦点为、，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）直线过点且及垂直，及椭圆C相交于M，N两点，求MN的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，的值，再根据求得，进而求出椭圆的方程. （2）由题意设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两交点坐标，进而求的长. 【小问1详解】 由题知，， 因为点在椭圆C上，所以， 所以， 所以椭圆C的方程为：. 【小问2详解】 由（1）知，椭圆C的方程为， ，因为直线过点且与垂直， 所以直线方程为，联立椭圆与直线方程得， 或 所以. 所以的长为. 注意：请考生在第21，22题中选择一题作答.如果两题都做，，则按所做的第121题计分，作答时，请写清题号. 21. 的内角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，且. （1）求角B； （2）若，，求a的值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解. （2）根据同角三角函数的平方关系得到，再根据的角度和边长，利用正弦定理求解. 【小问1详解】 在内，满足余弦定理，所以，， 得到 又∵题目已知，即 ∴代入得到，，即. 而，∴. 【小问2详解】 由（1）可知，∴. 题目已知，而，且， ∴ 由正弦定理可知，， ∴. 22. 某企业拟生产产品A和产品B，生产一件产品A需要新型材料2千克，用3个工时：生产一件产品B需要新型材料1千克，用2个工时，生产一件产品A的利润为1600元，生产一件产品B的利润为1000元，现有新型材料200千克，问该企业在不超过360个工时的条件下，如何规划生产，才能使企业获得的总利润最大？并求出总利润的最大值． 【答案】生产产品A40件，生产产品B120件时，总利润最大.总利润最大值为184000元. 【解析】 【分析】分别设生产产品A、B为x件和y件，总利润为T，结合线性规划思想进行解题. 【详解】根据题意，设生产产品A为x件，产品B为y件，总获利润为T， 所以利润； 又由已知条件可得，作出不等式组表示的平面区域，其阴影部分的整数点为x、y所能取到的值. 由图可知，当直线经过M点时，直线在y轴上的截距最大，此时T取最大值. 计算可得M点坐标为，即当生产产品A40件，产品B120件时，总利润最大， 最大利润（元）. 故生产产品A40件，产品B120件时，其总利润最大值为184000元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$