专题03 解题技巧专题：全等三角形中动点多解与新定义型问题（5大考点）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题03 解题技巧专题：全等三角形中动点多解与新定义型问题 目录 【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】 1 【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】 7 【考点三 全等三角形中的动点最值问题】 13 【考点四 全等三角形中的动点综合问题】 19 【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】 28 【典型例题】 【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，存在某一时刻，与全等． 2．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，，，动点从点出发（不含点）以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，且始终保持，当点运动 秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知是的高，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离点的方向运动，连接，设运动时间为秒；（1）当为 秒时，的面积为；（2）当为 秒时，．    【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】 例题：（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，点M，N分别是边上的点，且M，N两点满足，交于点P，过点P作交延长线于点Q，交于点F，与交于点E，若，则下列结论：①连接，则平分；②；③；④．成立的是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【考点三 全等三角形中的动点最值问题】 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 2．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，平分，若M，N为边上的动点，那么的最小值为 ．    4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边上的中线，是的平分线，，，若E，F分别是边和上的动点，则的最小值是 ． 【考点四 全等三角形中的动点综合问题】 例题：（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)求线段的长； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为l秒，的面积为S，请用含t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，等腰三角形中，，，D是的中点，M是上的动点，N是上的动点．M点由B向C运动，同时，N点由C向A运动．    (1)M点的运动速度为 /秒，t秒后，=_________cm（用含t的代数式表示） (2)M点的运动速度为 /秒，且N点的速度与M的速度相等，若t秒后，，问与全等吗？请说明理由，并求出t的值． (3) M点的运动速度为 /秒，若N点的速度与M点的速度不相等，当N的运动速度为多少时，能使与全等？ 2．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l上一动点，连接，，且． (1)【问题解决】如图①，当点P在线段上时，若，，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）； (2)【问题探究】如图②，当点P在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知中，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时． ①请写出和之间的数量关系为 ，位置关系为 ； ②求证：； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明． (3)拓展延伸：如图③，当点在的 延长线上且其他条件不变时，若，求线段的长．并求的面积． 【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【变式训练】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 4．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 解题技巧专题：全等三角形中动点多解与新定义型问题 目录 【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】 1 【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】 7 【考点三 全等三角形中的动点最值问题】 13 【考点四 全等三角形中的动点综合问题】 19 【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】 28 【典型例题】 【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 【答案】或5 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴ ∴ ∴ ∵点P的运动时间为每秒3个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴ ∴ ∴ ∴（秒） 综上所述，当t的值为或5秒时，与全等． 故答案为：或5． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，存在某一时刻，与全等． 【答案】1或 【分析】主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：①当，时，， ， ， ， ， ，解得：， ， ， ②当，时，， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，存在某一时刻，与全等， 故答案为：1或 2．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，，，动点从点出发（不含点）以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，且始终保持，当点运动 秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 【答案】1或3或4 【分析】设点P运动时间为t秒，根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出t值即可． 【详解】解：∵， ∴， 设点P运动时间为t秒， ∵，， ∴当时， ， ∴， 解得：（舍）或； 当时， ， ∴， 解得：或； 综上：1秒或3秒或4秒时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：1或3或4． 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 故答案为：或． 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知是的高，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离点的方向运动，连接，设运动时间为秒；（1）当为 秒时，的面积为；（2）当为 秒时，．    【答案】 或； 2或4 【分析】（1）根据面积公式列出方程，求出的值，分两种情况分别求出t的值即可； （2）假设，根据全等三角形的对应边相等得出，分别用含t的代数式表示和，得到关于t的方程，从而求出t的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． 若D在B点右侧，则， ∴ ； 若D在B点左侧，则， ∴； 综上所述：当t为秒或秒时，的面积为； 故答案为：或； （2）动点E从点C沿射线方向运动2秒或当动点E从点C沿射线的反向延长线方向运动4秒时，． 理由如下： ①当E在射线上时，D必在上，则需．如图所示，    ∵， ∴， ∴， ∵在和中，， ∴； ②当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，则需．如图，    ∵， ∴， ∴， ∵在和中，， ∴． 综上可知，当或时． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及面积的计算；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质，注意分类讨论． 【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】 例题：（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，点M，N分别是边上的点，且M，N两点满足，交于点P，过点P作交延长线于点Q，交于点F，与交于点E，若，则下列结论：①连接，则平分；②；③；④．成立的是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 先证明可得，再证明可得，进而证明得到即可判定①；由可得，然后证明即可判定②；由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的性质即可判定③；先证明可得，再证明可得，然后证明可得，再说明，最后根据线段的和差及等量代换即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴， ∴. ∵，, ∴，即②正确； ∴, ∵，， ∴, ∵, ∴, ∴，即平分，故①正确； ∵， ∴，， ∵，, ∴,即③正确； ∴ ∴， ∴, ∴， ∵，， ∴,即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， 如图：连接 ∵,, ∴， ∴, ∵, ∴, ∴,即④正确． 故选D． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义；根据证明，再利用三角形全等的性质证明，，进而得出，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解此题的关键． 【详解】解：平分交于， ， 在和中， ， ，故④正确； ，故②③正确； ，于， ，， ， ，故①正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 3．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据已知条件无法判定与相等，进而可对结论进行判断； 先根据角平分线的定义得，进而得，，，据此可对结论进行判断； 先证和全等得，然后根据平角的定义得，据此可对结论进行判断； 根据为的高得：，，根据已知条件无法判定与相等，对此可对结论进行判断． 此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面积公式． 【详解】根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确； 是的角平分线， ， 为的高，， ，， 又， ， 结论正确； 由结论正确得：， 平分， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， 即：， 结论正确； 为的高， ，， 根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确． 综上所述：正确的结论是． 故选：B． 【考点三 全等三角形中的动点最值问题】 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接ME， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，BE取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识．在射线上取一点，使得．过点作于．利用等积法求得，证明，推出，推出，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：在射线上取一点，使得．过点作于． ∵， ∴， 平分， ， ，， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线且与重合时，的值最小，最小值， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，平分，若M，N为边上的动点，那么的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】如图，在上取，连接，可证，得，于是．过点C作于点F，，即的最小值为．由等积法求得． 【详解】解：如图，在上取，连接， ∵， ∴． ∴． ∴． 过点C作于点F，， 即的最小值为． ∵ ∴，解得． ∴的最小值为．    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，垂线段最短；理解垂线段最短是解题的关键． 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边上的中线，是的平分线，，，若E，F分别是边和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质等等，过点C作于G，延长交于H，连接，证明得到，，再证明得到，则当共线且时最小，即此时最小，最小值为的长；由三角形中线的性质得到，则点C到的距离为，则可利用等面积法求出． 【详解】解：如图所示，过点C作于G，延长交于H，连接， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线且时最小，即此时最小，最小值为的长； ∵为边上的中线， ∴， ∴点C到的距离为， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【考点四 全等三角形中的动点综合问题】 例题：（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)求线段的长； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为l秒，的面积为S，请用含t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5； (2)，； (3)或时，与全等； 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识： （1）只要证明即可解决问题； （2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段上时，，②当点Q在射线上时，时； （3）分两种情形求解即可①如图2中，当时，，②如图3中，当时，；再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， ， ∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 由题意得， ，， ①当点Q在线段上时，，如图， ∴； ②当点Q在射线上时，，如图， ∴； （3）解：存在，理由如下， ①如图2中，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ②如图3中，当时， ∵，， ， ∴， ∴， ∴，解得， 综上所述，或时，与全等． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，等腰三角形中，，，D是的中点，M是上的动点，N是上的动点．M点由B向C运动，同时，N点由C向A运动．    (1)M点的运动速度为 /秒，t秒后，=_________cm（用含t的代数式表示） (2)M点的运动速度为 /秒，且N点的速度与M的速度相等，若t秒后，，问与全等吗？请说明理由，并求出t的值． (3) M点的运动速度为 /秒，若N点的速度与M点的速度不相等，当N的运动速度为多少时，能使与全等？ 【答案】(1) (2)与全等，理由见解析， (3)秒 【分析】（1）由题意知，，根据，求解即可； （2）由题意知，，由，可知，由，可得，证明，则，即，计算求解即可； （3）由题意知，，，设N的运动速度为秒，则，由题意知，分，两种情况求解；然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 故答案为： （2）解：与全等，理由如下： 由题意知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即，解得，； （3）解：由题意知，，， 设N的运动速度为秒，则， 由题意知，分，两种情况求解： 当时，，， ∴，， 解得，，， ∴N的运动速度为秒； 当时，，，（舍去）； ∴当N的运动速度为秒时，能使与全等． 【点睛】本题考查了列代数式，等边对等角，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用．熟练掌握全等三角形的判定条件，并分类讨论是解题的关键． 2．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l上一动点，连接，，且． (1)【问题解决】如图①，当点P在线段上时，若，，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）； (2)【问题探究】如图②，当点P在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)＝ (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）可证明≌，从而得出结果； （2）可证明≌从而得出，进而得出结论； （3）证明≌，从而得出，从而得出． 【详解】（1）∵，， ∴≌， ∴， 故答案为：＝； （2），理由如下： ∵，， ∴≌， ∴. ∵， ∴； （3），理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴≌， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知中，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时． ①请写出和之间的数量关系为 ，位置关系为 ； ②求证：； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明． (3)拓展延伸：如图③，当点在的 延长线上且其他条件不变时，若，求线段的长．并求的面积． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)不成立，存在的数量关系为，理由见解析 (3)， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用,等腰直角三角形的性质： （1）①根据条件，，，，判定，即可得出和之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到； （2）根据已知条件，判定，得出，再根据，即可得到； （3）根据条件判定，得出，进而得到，最后根据，，即可求得线段的长，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）①如图1，由题意，，，，，， ， 在和中， ， ， ，， ，即； 故答案为：，； ②由①得， ， ； （2）不成立，存在的数量关系为． 理由：如图，由同理可得， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图3，由(1)同理可得， 在和中， ， ， ， ， ，， ． ， ，即 ． 【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点，      在和中， ， 与为积等三角形． 【变式训练】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，详见解析 (2)45 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识， （1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可； （2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”字形图形即可求出的度数； （3）由（1）可知，可得，根据证明，可得，进而可证结论成立； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）． 理由：∵和是“同源三角形”， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵和是“同源三角形”， ∴． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45； （3）由（1）可知， ∴，． ，的中点分别为， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ； 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）①延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论； ②连接，过点作与延长交于点，根据等腰三角形性质证明即可得到答案． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：①延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ；    ②连接，过点作与延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ．    【点睛】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练理解“边垂角”的定义是解题的关键． 4．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；，证明见解析； (2)是的“旋补中线”， 证明见解析 【分析】（1）材料：三角形三边关系可得，进而可得中线的取值范围； 探索一：延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （2）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”． 【详解】（1）解：材料：由题意得：，，， 由三角形三边关系可得：，即， ∴， 故答案为：； 探索一：； 证明：如图1，延长至点E使，连接，    ∵是的“旋补中线”， ∴是的中线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的“旋补中线”， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）是的“旋补中线”； 证明：如图，作于H，作交延长线于F，    ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴是的“旋补中线”． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$