5.2解一元一次方程 课件--2024-2025学年人教版数学七年级上册

5.2解一元一次方程(1)—— 合并同类项与移项 合并同类项解一元一次方程 例1 解方程：16 x －9 x ＝－15－20. 解：合并同类项，得 ⁠． 系数化为1，得 ． 7 x ＝－35　 x ＝－5　 1. 解方程： b － b ＋ b ＝ ×6－1. 解：合并同类项，得 ⁠． 系数化为1，得 ⁠． b ＝3　 b ＝ 　 先移项，再合并同类项解一元一次方程 2. 移项：把等式一边的某项 后移到另一边，叫作移项． 例2 用适当的数或式子填空，使所得的结果仍是等式． (1)若2 x ＋7＝10，则2 x ＝10－ ⁠； (2)若5 x ＝4 x ＋7，则5 x － ＝7； (3)若3 x －2＝ x ＋1，则3 x － ＝1＋ ． 变号　 7　 4 x 　 x 　 2　 3. 通过移项将下列方程变形，正确的是(　C　) A． 由5 x －7 y ＝2，得5 x ＝2－7 y B． 由6 x －3＝ x ＋4，得3－6 x ＝4＋ x C． 由8－ x ＝ x －5，得－ x － x ＝－5－8 D． 由 x ＋9＝3 x －1，得3 x － x ＝－1＋9 C 例3 解方程：－ x －4＝3 x . 解：移项，得 ⁠． 合并同类项，得 ⁠． 系数化为1，得 ． － x －3 x ＝4　 －4 x ＝4　 x ＝－1　 4. 解方程： －8 x ＝3－ x . 解：移项，得－8 x ＋ x ＝3－ . 合并同类项，得－ x ＝ . 系数化为1，得 x ＝－ . 解一元一次方程的步骤：①移项(含未知数的项移到方程 的 边，常数项移到方程的 边)；②合并同类项；③系数化为 1(方程两边同时除以一次项的 )． 左　 右　 系数　 列方程解决问题 例4 【人教七上P121练习T3改编】某种药含有甲、乙、丙三种药材， 这三种药材的质量比为2∶3∶7.现在要配制1 440 g这种药，这三种药材分 别需要多少？ 解：设这三种药材分别需要2 x g，3 x g，7 x g. 由题意，得2 x ＋3 x ＋7 x ＝1 440. 解得 x ＝120. 所以2 x ＝240，3 x ＝360，7 x ＝840. 答：这三种药材分别需要240 g，360 g，840 g. 5. 有一列数，按一定规律排列成3，－9，27，－81，243，…，其中 某三个相邻数的和是15 309，这三个数分别是多少？ 解：设这三个相邻数为 x ，－3 x ，9 x . 由题意，得 x －3 x ＋9 x ＝15 309. 合并同类项，得7 x ＝15 309. 系数化为1，得 x ＝2 187. 所以－3 x ＝－6 561，9 x ＝19 683. 答：这三个数分别是2 187，－6 561，19 683. 1． 解下列方程时，合并同类项不正确的是(　C　) A． 5 x －4 x ＝1，合并同类项，得 x ＝1 B． 3 x －5 x ＝－2，合并同类项，得－2 x ＝－2 C． 2 x －3 x －4 x ＝1，合并同类项，得 x ＝1 D． x ＋ x ＝2，合并同类项，得 x ＝2 C 2． (2023·海南)若代数式 x ＋2的值为7，则 x 等于(　C　) A． 9 B． －9 C． 5 D． －5 C 3． (2024·佛山一模)方程2 x －1＝4 x ＋1的解为(　A　) A． －1 B． 0 C． 1 D． 2 A 4． 解下列方程： (1)3 x ＝6 x ＋18； (1)解：移项，得3 x －6 x ＝18. 合并同类项，得－3 x ＝18. 系数化为1，得 x ＝－6. (2)2 x －7 x ＋8 x ＝9－12＋1； (2)解：合并同类项，得3 x ＝－2. 系数化为1，得 x ＝－ . (3)0.4 y ＋2.8－3.6 y ＝1.6－1.7 y . (3)解：移项，得0.4 y －3.6 y ＋1.7 y ＝1.6－2.8. 合并同类项，得－1.5 y ＝－1.2. 系数化为1，得 x ＝0.8. 5． 当 x ＝1时， x ＋5 b －8与 bx 互为相反数，求 b 的值． 解：当 x ＝1时， x ＋5 b －8＝5 b －7， bx ＝ b . 由题意，得5 b －7＋ b ＝0. 移项，得5 b ＋ b ＝7. 合并同类项，得6 b ＝7. 系数化为1，得 b ＝ . 6． 把一批图书分给七年级(11)班的同学阅读，若每人分3本，则剩余 20本；若每人分4本，则缺25本，这个班有多少名学生？ 解：设这个班有 x 名学生． 由题意，得3 x ＋20＝4 x －25. 移项，得3 x －4 x ＝－25－20. 合并同类项，得－ x ＝－45. 系数化为1，得 x ＝45. 答：这个班有45名学生． 7． 小明在解方程8－3 x ＝ ax ＋4时，把方程右边的“＋4”看成了“－ 4”，解得 x ＝3，则 a 的值是(　C　) A． －3 B． －1 C． 1 D． 3 C 8． 阅读理解【阅读材料】已知 ax2＋ bx ＋ c 是关于 x 的多项式，记 为 P ( x )．我们规定： P ( x )的导出多项式为2 ax ＋ b ，记为 Q ( x )．例如： 若 P ( x )＝3 x2－2 x ＋1，则 P ( x )的导出多项式 Q ( x )＝2×3 x －2＝6 x － 2；若 P ( x )＝5 x2＋4 x ，则 P ( x )的导出多项式 Q ( x )＝2×5 x ＋4. 【类比探究】(1) P ( x )＝ x2－4 x ，则它的导出多项式 Q ( x )＝ ⁠ ⁠； 【拓展应用】(2)设 Q ( x )是 P ( x )的导出多项式．若 P ( x )＝2 x2＋3(2 x －1)，求关于 x 的方程 Q ( x )＝0的解． 2 x － 4　 (2)因为 P ( x )＝2 x2＋3(2 x －1)＝2 x2＋6 x －3， 所以 Q ( x )＝4 x ＋6.所以4 x ＋6＝0. 解得 x ＝－ . 课后作业 1． 在解方程2x＋1＝3x－2时，下列移项正确的是(　D　) A． 2x－3x＝－2＋1 B． 2x＋3x＝－2－1 C． 1－2＝3x－2x D． 1＋2＝3x－2x D 2． 方程2x－1＝3x＋2的解是(　D　) A． x＝1 B． x＝－1 C． x＝3 D． x＝－3 D 3． 如果3xy3n-1与xyn+1是同类项，那么n的值为(　B　) A． 2 B． 1 C． －1 D． 0 B 4． 如果x＝m是关于x的方程x－m＝1的解，那么m的值是(　C　) A． 0 B． 2 C． －2 D． －6 C 5． 解下列方程： (1)5y－2y＝6＋3； 解：合并同类项，得3y＝9. 系数化为1，得y＝3. (2)2x－8＝10－4x； 解：移项，得2x＋4x＝10＋8. 合并同类项，得6x＝18. 系数化为1，得x＝3. (3)1－x＝x＋； 解：移项，得－x－x＝－1. 合并同类项，得－x＝－. 系数化为1，得x＝. (4)15%x－9%＝7%x＋0. 31. 解：方程可化为0.15x－0.09＝0.07x＋0.31. 移项，得0.15x－0.07x＝0.31＋0.09. 合并同类项，得0.08x＝0.4. 系数化为1，得x＝5. 6． 定义：a*b＝ab＋a＋b，若3*x＝27，则x的值是 ⁠． 6　 7． 【人教七上P124练习T3改编】小新出生时父亲30岁，现在父亲年 龄是小新年龄的6倍，求现在小新的年龄． 解：设现在小新的年龄是x岁． 根据题意，得30＋x＝6x. 解得x＝6. 答：现在小新的年龄是6岁． 8． 已知y1＝3x＋8，y2＝x＋3. 若y1的值与y2的值相等，求x的值． 解：由题意，得3x＋8＝x＋3. 解得x＝－2. 9． 转化思想方程++＋…＋＝2 024的解是多少？ 解：方程裂项，得 (1-)x＋(-)x＋(-)x＋…＋(-)x＝2 024. 整理，得(1-+-+-+…+-)x＝2 024. 化简，得(1-)x＝2 024，即x＝2 024. 系数化为1，得x＝2 025. 5.2解一元一次方程(2)—— 去括号 用去括号法则化简： (1)7＋(4 x －5)＝ ； (2)5 a －(6＋7 a )＝ ⁠； (3)－5(3 x ＋4)＋6＝ ； (4)2( m －3 n )－10( m ＋2 n )＝ ⁠． 2＋4 x 　 －2 a －6　 －15 x －14　 －8 m －26 n 　 去括号 例1 解方程3( x ＋4)＝－2( x －1)时，去括号正确的是(　D　) A． 3 x ＋4＝－2 x ＋1 B． 3 x ＋4＝－2 x －2 C． 3 x ＋12＝－2 x ＋1 D． 3 x ＋12＝－2 x ＋2 D 1. 解方程2(3 x －1)－( x －4)＝1时，去括号正确的是(　D　) A． 6 x －1－ x －4＝1 B． 6 x －1－ x ＋4＝1 C． 6 x －2－ x －4＝1 D． 6 x －2－ x ＋4＝1 D 利用去括号解一元一次方程 例2 解下列方程： (1)－2( x ＋5)＝8 x ； 解：去括号，得 ⁠. 移项，得 ⁠. 合并同类项，得 ⁠. 系数化为1，得 ⁠. －2 x －10＝8 x 　 －2 x －8 x ＝10　 －10 x ＝10　 x ＝－1　 (2)2( x －1)－3( x ＋2)＝12. (2)解：去括号，得2 x －2－3 x －6＝12. 移项，得2 x －3 x ＝12＋2＋6. 合并同类项，得－ x ＝20. 系数化为1，得 x ＝－20. 2. 解下列方程： (1)5 x －2(3－2 x )＝3( x ＋1)； (1)解：去括号，得5 x －6＋4 x ＝3 x ＋3. 移项，得5 x ＋4 x －3 x ＝3＋6. 合并同类项，得6 x ＝9. 系数化为1，得 x ＝ . (2)－2× ＋3 x ＝5－ . (2)解：去括号，得－ x ＋2＋3 x ＝5－ x ＋2. 移项，得－ x ＋3 x ＋ x ＝5＋2－2. 合并同类项，得3 x ＝5. 系数化为1，得 x ＝ . 解一元一次方程的步骤 ①去括号(括号前的系数要乘以括号里的 )；②移项；③合并 同类项；④系数化为1. 各项　 列方程解决问题 例3 已知 A ＝ x ＋3， B ＝2－ x .当 x 取何值时， A 比 B 的2倍大5? 解：由题意，得 x ＋3－2(2－ x )＝5. 去括号，得 x ＋3－4＋2 x ＝5. 移项及合并同类项，得3 x ＝6. 系数化为1，得 x ＝2. 所以当 x ＝2时， A 比 B 的2倍大5. 3. 当 x 取何值时，8 x 比3 x ＋2的3倍小1? 解：由题意，得8 x ＝3(3 x ＋2)－1. 去括号，得8 x ＝9 x ＋6－1. 移项及合并同类项，得－ x ＝5. 系数化为1，得 x ＝－5. 所以当 x ＝－5时，8 x 比3 x ＋2的3倍小1. 1． 方程－2(2 x ＋1)＝ x 去括号正确的是(　D　) A． －4 x ＋1＝－ x B． －4 x ＋2＝－ x C． －4 x －1＝ x D． －4 x －2＝ x D 2． 将 y ＝2 x －1代入3 x － y ＝4，去括号后，可得(　A　) A． 3 x －2 x ＋1＝4 B． 3 x ＋2 x ＋1＝4 C． 3 x ＋2 x －1＝4 D． 3 x －2 x －1＝4 3． 已知 x ＝3是方程 x ( m －1)＝6的解，则 m ＝ ⁠. A 3　 4． 解下列方程： (1)3(2 x －1)＝－15； (1)解：去括号，得6 x －3＝－15. 移项，得6 x ＝－15＋3. 化简，得6 x ＝－12. 系数化为1，得 x ＝－2. (2)2 x －3＝－3( x ＋1)． (2)解：去括号，得2 x －3＝－3 x －3. 移项，得2 x ＋3 x ＝－3＋3. 合并同类项，得5 x ＝0. 系数化为1，得 x ＝0. 5． 解下列方程： (1)5( x ＋1)＝3( x －1)＋2； (1)解：去括号，得5 x ＋5＝3 x －3＋2. 移项及合并同类项，得2 x ＝－6. 系数化为1，得 x ＝－3. (2)3 x －7( x －1)＝2( x ＋3)． (2)解：去括号，得3 x －7 x ＋7＝2 x ＋6. 移项，得3 x －7 x －2 x ＝6－7. 合并同类项，得－6 x ＝－1. 系数化为1，得 x ＝ . 6． 若 ＝ x ＋2，则 x 的值为(　C　) A． 或－ B． － 或 C． 或 D． － 或－ C 7． 整体思想已知方程1－2×(2 024 x －2 025)＝ ，则整式2－3×(2 025－2 024 x )的值为 ⁠． 3　 8． 【人教七上P125例6改编】一架飞机在两城市之间飞行，风速为25 km/h，顺风飞行需要2.8 h，逆风飞行需要3 h，求无风时飞机的平均飞行 速度和两城市之间的距离． 解：设无风时飞机的平均飞行速度为 x km/h. 根据题意，得2.8( x ＋25)＝3( x －25)． 解得 x ＝725. 所以3×(725－25)＝2 100(km)． 答：无风时飞机的平均飞行速度为725 km/h，两城市之间的距离为2 100 km. 9． 新定义定义一种新运算“⊕”： a ⊕ b ＝2 a － ab ，例如：1⊕(－3) ＝2×1－1×(－3)＝5. (1)求(－2)⊕3的值； 解：(1)因为 a ⊕ b ＝2 a － ab ， 所以(－2)⊕3＝2×(－2)－(－2)×3＝2. (2)若(－3)⊕ x ＝( x ＋1)⊕5，求 x 的值． (2)因为 a ⊕ b ＝2 a － ab ， 所以(－3)⊕ x ＝2×(－3)－(－3)· x ＝－6＋3 x ， ( x ＋1)⊕5＝2( x ＋1)－5( x ＋1)＝－3 x －3. 所以－6＋3 x ＝－3 x －3.解得 x ＝ . 课后作业 1． 解方程3－(x－6)＝5(x－1)时，去括号正确的是(　C　) A． 3－x＋6＝5x＋5 B． 3－x－6＝5x＋1 C． 3－x＋6＝5x－5 D． 3－x－6＝5x－1 C 2． 如果3(x－2)与2(3－x)互为相反数，那么x的值是 ⁠． 0　 3． 解下列方程： (1)4x－3＝2(x－1)； 解：去括号，得4x－3＝2x－2. 移项，得4x－2x＝－2＋3. 合并同类项，得2x＝1. 系数化为1，得x＝. (2)2x－(x＋2)＝－x＋3； 解：去括号，得2x－x－＝－x＋3. 移项，得2x－x＋x＝3＋. 合并同类项，得x＝. 系数化为1，得x＝. (3)9－2(x＋3)＝x－(3＋6x)． 解：去括号，得9－2x－6＝x－3－6x. 移项，得－2x－x＋6x＝－3－9＋6. 合并同类项，得3x＝－6. 系数化为1，得x＝－2. 4． 设M＝2x－2，N＝2x＋3，有2M－N＝1，则x的值为(　A　) A． 4 B． 0. 4 C． －0. 4 D． －2. 5 A 5． 【人教七上P126练习T3】编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20m．已知编织1个大号中国结需用绳4 m，编织1个小号中国结需用绳3 m．问这两种中国结各编织了多少个． 解：设大号中国结编织了x个，则小号中国结编织了(6－x)个． 根据题意，得4x＋3(6－x)＝20.解得x＝2. 所以6－x＝4. 答：大号中国结编织了2个，小号中国结编织了4个． 6． 已知x＝2是方程2－(a－x)＝2x的解，求关于y的方程a(y－5)－2 ＝a(2y－3)的解． 解：把x＝2代入方程，得2－(a－2)＝4. 解得a＝－4. 把a＝－4代入方程a(y－5)－2＝a(2y－3)， 得－4(y－5)－2＝－4(2y－3)．解得y＝－. 5.2解一元一次方程(3)—— 去分母 写出下列各数的最小公倍数：(1)2，3，4： ；(2)3，6， 8： ⁠． 12　 24　 利用去分母解一元一次方程 例1 解方程： ＝ . 解：方程两边都乘 ⁠，去分母，得 ⁠． 去括号，得 ⁠． 移项及合并同类项，得 ⁠． 系数化为1，得 ． 12　 4(2 x －1)＝3( x －3)　 8 x －4＝3 x －9　 5 x ＝－5　 x ＝－1　 1. 解方程： ＝ . 解：去分母，得4(2 x －1)＝3( x －3)． 去括号，得8 x －4＝3 x －9. 移项，得8 x －3 x ＝－9＋4. 合并同类项，得5 x ＝－5. 系数化为1，得 x ＝－1. 解一元一次方程的步骤①去分母(每项乘各分母的 ⁠ )；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. 最小公倍 数　 例2 解方程： ＝1. 解：去分母，得2(1－ x )－( x －2)＝6. 去括号，得2－2 x － x ＋2＝6. 移项，得－2 x － x ＝6－2－2. 合并同类项，得－3 x ＝2. 系数化为1，得 x ＝－ . 2. 解方程： x － ＝ . 解：去分母，得6 x －3( x －1)＝4－2( x ＋2)． 去括号，得6 x －3 x ＋3＝4－2 x －4. 移项及合并同类项，得5 x ＝－3. 系数化为1，得 x ＝－ . 列方程解决问题 例3 当 m 为何值时，代数式 与2 m － 互为相反数？ 解：由题意，得 ＋2 m － ＝0. 去分母，得3(7－ m )＋12 m －2(5 m －1)＝0. 去括号，得21－3 m ＋12 m －10 m ＋2＝0. 移项，得－3 m ＋12 m －10 m ＝0－21－2. 合并同类项，得－ m ＝－23. 系数化为1，得 m ＝23. 所以 m 的值为23. 3. 当 k 为何值时，代数式 的值比 的值小1? 解：由题意，得 - ＝1. 去分母，得3(3 k ＋1)－2( k ＋1)＝6. 去括号，得9 k ＋3－2 k －2＝6. 移项，得9 k －2 k ＝6＋2－3. 合并同类项，得7 k ＝5. 系数化为1，得 k ＝ . 所以 k 的值为 . 1． 解方程 －1＝ ，去分母时方程两边应乘(　C　) A． 4 B． 6 C． 12 D． 20 C 2． 在解方程 ＋ x ＝ 时，方程两边同时乘以6，正确的是 (　B　) A． 2 x －1＋6 x ＝9 x ＋1 B． 2( x －1)＋6 x ＝3(3 x ＋1) C． 2( x －1)＋ x ＝3(3 x ＋1) D． ( x －1)＋ x ＝3(3 x ＋1) B 3． (2024·深圳模拟)下列变形，正确的是(　C　) A． 由3 x ＋6＝23－2 x ，移项，得3 x －2 x ＝23＋6 B． 由2 x －( x ＋10)＝5 x ，去括号，得2 x － x ＋10＝5 x C． 由4 x －7 x ＋2 x ＝3，合并同类项，得－ x ＝3 D． 由3 x ＝3－ ，去分母，得9 x ＝3－(2 x －1) C 4． 解下列方程： (1) ＝ ； (1)解：去分母，得3( x ＋5)＝2(2 x －1)． 去括号，得3 x ＋15＝4 x －2. 移项，得3 x －4 x ＝－2－15. 合并同类项，得－ x ＝－17. 系数化为1，得 x ＝17. (2) ＝2－ . (2)解：去分母，得3( x －3)＝12－(2 x ＋6)． 去括号，得3 x －9＝12－2 x －6. 移项，得3 x ＋2 x ＝12－6＋9. 合并同类项，得5 x ＝15. 系数化为1，得 x ＝3. 5． 解方程： ＝2－ . 解：去分母，得 3( y －1)＋(5 y －5)＝24－4(5 y ＋4)． 去括号，得3 y －3＋5 y －5＝24－20 y －16. 移项，得3 y ＋5 y ＋20 y ＝24－16＋3＋5. 合并同类项，得28 y ＝16. 系数化为1，得 y ＝ . 6． 数学文化我国古代数学名著《算法统宗》中，有一道“群羊逐草” 的问题，大意是：牧童甲在草原上放羊，乙牵着一只羊来，并问甲：“你 的羊群有100只吗？”甲答：“如果在这群羊里加上同样的一群羊，再加上 一群的一半，一群的四分之一，再加上你的一只，就是100只．”问牧童 甲赶着多少只羊？若设这群羊有 x 只，则下列方程中正确的是(　B　) B A． x －1＝100 B． x ＋ x ＋ x ＋ x ＋1＝100 C． x ＋1＝100 D． x ＋ x ＋ x ＋ x －1＝100 7． 若方程 ＝ x －2与3 n － ＝3( x ＋ n )－2 n 的解相同，求( n －3)2的值． 解： ＝ x －2. 去分母，得6 x －9＝10 x －30. 移项及合并同类项，得4 x ＝21. 系数化为1，得 x ＝ . 把 x ＝ 代入，得3 n － ＝3( + n )－2 n . 解得 n ＝8. 所以( n －3)2＝25. 可选讲《培优专题特训》 培优专题6 利用一元一次方程的解求待定 字母的值 课后作业 1． 下列解方程去分母正确的是(　D　) A． 由－1＝，得2x－1＝3－3x B． 由-＝1，得2x－2－x＝－4 C． 由－1＝，得2y－15＝3y D． 由＝＋1，得3(y＋1)＝2y＋6 D 2． 解下列方程： (1)＝； 解：去分母，得3(3x－5)＝4x. 去括号，得9x－15＝4x. 移项及合并同类项，得5x＝15. 系数化为1，得x＝3. (2)－1＝. 解：去分母，得3(2x＋1)－15＝5(x－2)． 去括号，得6x＋3－15＝5x－10. 移项，得6x－5x＝－10－3＋15. 合并同类项，得x＝2. 3． 解下列方程： (1)-＝1； 解：化为同分母，得-＝. 去分母，得0.1x－0.16＋0.5x＝0.06. 移项，得0.1x＋0.5x＝0.06＋0.16. 合并同类项，得0.6x＝0.22. 系数化为1，得x＝. (2)－2－＝－. 解：去分母，得5(3x＋1)－20－(3x－2)＝－2(2x＋3)． 去括号，得15x＋5－20－3x＋2＝－4x－6. 移项，得15x－3x＋4x＝－6－5＋20－2. 合并同类项，得16x＝7. 系数化为1，得x＝. 4． 当a＝ 时，代数式与a＋1的值互为相反数． 2　 5． 【人教七上P129练习T3改编】小王和同学计划周末去公园玩，在 A码头租一艘小艇，逆流而上，划行速度约为4千米每小时．到B地后沿原 路返回，速度增加了50%，回到A码头比去时少花了20分钟．求A，B两 地之间的路程． 解：设A，B两地之间的路程为x千米． 依题意，得-＝. 解得x＝4. 答：A，B两地之间的路程为4千米． 6． 整体思想在解方程3(x＋1)－(x－1)＝2(x－1)－(x＋1)时，可先 将(x＋1)，(x－1)分别看成两个整体再进行移项、合并同类项，得方程(x ＋1)＝(x－1)，再继续分解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法 解方程：5(2x＋3)－(x－2)＝2(x－2)－(2x＋3)． 解：移项，得5(2x＋3)＋(2x＋3)＝2(x－2)＋(x－2)． 合并同类项，得(2x＋3)＝(x－2)． 去分母，得22(2x＋3)＝11(x－2)． 去括号，得44x＋66＝11x－22. 移项及合并同类项，得33x＝－88. 系数化为1，得x＝－. $$