精品解析：浙江省宁波市某职业高中2022-2023学年高三上学期第一次返校考数学试题

2022年宁波市某职校高三返校考考试测试卷 本试题卷共三大题，共4页.满分150分，考试时间12分钟. 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸上. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题2分，11—20小题每小题3分，共50分） 在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或未涂均不得分. 1. 若，，则集合的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 4 2. 三角形中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 用1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字五位数，恰好是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，图象经过点是（ ） A. B. C. D. 6. 四名学生与两名老师排成一排拍照，两名老师不能排在一起的不同排法共有（ ） A. 720种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 7. 已知三角形三边长分别是5，12，13，则（ ） A. B. 0 C. D. 30 8. 已知抛物线方程为，则它的焦点是（ ） A. B. C. D. 9. 若，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 10. 关于正弦函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 经过点 B. 关于直线对称 C. 关于轴对称 D. 在一个周期内，最高点与最低点的距离为 11. 关于双曲线，下列说法正确的是（ ） A. 焦距为2 B. 实轴长为4 C. 顶点是 D. 离心率为 12. 将二项式展开后，第六项的系数为（ ） A. B. C. D. 13. 已知直线，下列说法正确是（ ） A. 图象不经过第三象限 B. 在x轴上的截距是2 C. 倾斜角为 D. 与坐标轴围成的三角形面积是2 14. 设是等差数列的前n项和，若，则等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 15. 若m，n是平面的两条斜线，则关于m，n在平面的射影：①可能是两个不同的点；②可能是直线与直线外一点；③一定是两条相交直线：④可能是两条平行直线，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 17. 在中，已知，则为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 18. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 19. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 20. 双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不能确定 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 圆柱的轴截面面积为10，体积为，则它的底面半径是________． 22. 函数的定义域是________． 23. 直线与直线互相垂直，则________． 24. 不等式的解集是________. 25. 双曲线两条渐近线的夹角是，则它的离心率是________． 26. 请写出一个满足“对任意实数m，n，都成立”的函数：________． 27. 若函数的最大值为5，则________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤. 28. 已知锐角，满足，，求值． 29. 《西虹市首富》刚上映，就掀起了一波健身运动，其中步行是一种很好的健身运动．据测试，常人每行走1km消耗60卡路里，一个鸡蛋约含60卡路里，100g米饭约含116卡路里，猪肉约含8016卡路里．李明晚上比平常多吃了米饭、猪肉．李明想通过步行来消耗多吃的食物能量，他至少要行走多少路？（精确到0.1km） 30. 已知二次函数的自变量x与函数值的部分对应关系如下表所示． x 2 3 4 m 0 m 8 （1）求解析式； （2）若，求x的取值范围． 31. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为，求： （1）角B大小； （2）若，，求. 32. 已知直线l过点，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点.当三角形的面积最小时，求直线l的方程. 33. 已知数列中，，． （1）试写出数列的前5项； （2）若数列满足，求数列的前10项和． 34. 已知直角梯形中，为直角，，，将三角形沿折起到三角形（如图所示），使平面与平面互相垂直，求： （1）三棱锥的体积； （2）二面角的大小． 35. 已知半径为2的圆C过点，它的圆周恰好被直线平分． （1）求圆的标准方程； （2）若P是直线上的任意一点，过P作圆C的切线，切点为M，求线段PM的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022年宁波市某职校高三返校考考试测试卷 本试题卷共三大题，共4页.满分150分，考试时间12分钟. 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸上. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题2分，11—20小题每小题3分，共50分） 在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或未涂均不得分. 1. 若，，则集合的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集并集的概念可求. 【详解】，中必有，没有，； ，则中可能有，，，； 综上中必有，可能有，； 所以有，，，四种； 故选：. 2. 三角形中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理，充要条件的判断方法可解. 【详解】，； 反之由正弦定理可知， ，， ，，， 即“”是“”的充要条件； 故选：. 3. 若，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质结合反例可求. 【详解】当时，，，,故错； 由可得，所以，故对. 故选：. 4. 用1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的五位数，恰好是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列组合知识可求得基本事件总数和恰好是奇数的基本事件个数，再根据古典概型概率公式即可解得. 【详解】由题用五个数字组成没有重复的五位数基本事件总数为：， 其中是奇数的基本事件个数为：， 故所求概率. 故选：B. 5. 下列函数中，图象经过点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得具体函数在的函数值即可得解. 【详解】将代入相应解析式得， ，故错； ，故对； ，故错； ，故错； 故选：. 6. 四名学生与两名老师排成一排拍照，两名老师不能排在一起的不同排法共有（ ） A. 720种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】D 【解析】 【分析】根据插空法求排列数. 【详解】先将四名学生进行全排列有种排法. 再将两名老师进行插空有种排法. 所以四名学生与两名老师排成一排，两名老师不能排在一起的不同排法有； 故选：. 7. 已知三角形三边长分别是5，12，13，则（ ） A. B. 0 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法即可解得. 【详解】由题， 故选：B. 8. 已知抛物线方程为，则它的焦点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程，求出值，确定开口方向，从而写出焦点坐标． 【详解】把抛物线方程化为标准方程 抛物线开口向右，，所以焦点坐标为. 故选：. 9. 若，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的概念的推广判断象限角. 【详解】，即，则，，即第二象限. 故选：. 10. 关于正弦函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 经过点 B. 关于直线对称 C. 关于轴对称 D. 在一个周期内，最高点与最低点的距离为 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦函数的图象和性质分别进行判断即可. 【详解】对于，，错误， 对于，的对称轴方程为， 所以关于直线对称，正确， 对于，为奇函数，关于原点对称，错误， 对于，最高点为，最低点为， 在一个周期内，最高点与最低点的距离为，错误， 故选：. 11. 关于双曲线，下列说法正确的是（ ） A. 焦距为2 B. 实轴长为4 C. 顶点是 D. 离心率为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据双曲线性质易判断答案. 【详解】因为, 所以, 所以, 所以焦距为,实轴长为,顶点是,. 故选:CD. 12. 将二项式展开后，第六项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式的展开式可求. 【详解】由题意，，所以第六项的系数为. 故选：. 13. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 图象不经过第三象限 B. 在x轴上的截距是2 C. 倾斜角为 D. 与坐标轴围成的三角形面积是2 【答案】D 【解析】 【分析】举反例排除A，直接求出x轴上的截距判断B，利用倾斜角与斜率的定义判断C，利用截距求得三角形面积，从而判断D. 【详解】直线，点满足方程，点第三象限， 故图象经过第三象限，A错； 直线，令，则，在x轴上的截距为，故B错； 直线的斜率，而，故C错； 直线与坐标轴交点为，，则三角形面积，故D正确. 故选：D. 14. 设是等差数列的前n项和，若，则等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出等差数列前项和公式即可解得. 【详解】由题,由等差数列前项和公式得， ， 故选：A 15. 若m，n是平面的两条斜线，则关于m，n在平面的射影：①可能是两个不同的点；②可能是直线与直线外一点；③一定是两条相交直线：④可能是两条平行直线，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线在平面内的射影概念即可解得 【详解】因为题是平面的两条斜线， 所以直线与平面不垂直，其射影不可能是点，所以①②错误； 当平行时，则其射影可能是两条平行直线，③错误④正确. 故选：A. 16. 已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质解得焦距、短轴长、长轴长之间的关系，再根据离心率的公式即可求解. 【详解】由题焦距、短轴长、长轴长成等差数列， 则， 即，， 又， 则代入可得， 解得，即， 故选：B. 17. 在中，已知，则为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式，两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】在中， ， 则， 即， ， ， 解得. 所以角或角等于. 即是直角三角形. 故选：C. 18. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用与单调性判断的大小，再利用对数运算性质及幂函数的单调性比大小即可. 【详解】由题函数与均在各自定义域上为减函数， 则，即，且，即， 又， 且函数在定义域上单调递增，所以， 故. 故选：B 19. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数解析式得出单调性，再根据定义域范围即可解得. 【详解】由题, 对称轴为,开口向下， 又， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，, 当时，, 则所求函数值域为， 故选：D. 20. 双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】先把双曲线化为标准方程，再根据双曲线的对称性特征，结合点到直线的距离公式求出一个焦点到直线的距离即可. 【详解】把双曲线化为标准式， 即. 其渐近线. 即. 焦点坐标为：. 则焦点到渐近线的距离为： . 故选：C. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 圆柱的轴截面面积为10，体积为，则它的底面半径是________． 【答案】1 【解析】 【分析】设底面半径代入圆柱体积公式即可解得. 【详解】设圆柱底面半径为， 则， 解得. 故答案为：1. 22. 函数定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零可求. 【详解】解：，解得，即. 故答案为：. 23. 直线与直线互相垂直，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据两直线垂直求参数. 【详解】当不为时，直线的斜率，直线的斜率，则，无解； 当为时，直线为与，一个平行于轴，一个平行于轴，垂直；所以， 故答案为：. 24. 不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根式的性质与二次不等式的解法即可得解. 【详解】由可得，， 又，与符号相同， 故，解得或（舍去）， 故不等式的解集为. 故答案为：. 25. 双曲线两条渐近线的夹角是，则它的离心率是________． 【答案】或2 【解析】 【分析】分类讨论，根据渐近线方程求双曲线离心率. 【详解】解：如图所示有两种情况，第一种情况一条渐近线倾斜角为， 第二种情况一条渐近线倾斜角为， 所以渐近线斜率可能为或， 当双曲线焦点在轴上时，有或， 根据，得或， 或，即或； 当双曲线焦点在轴上时，有或，即或， 同理可得或； 故答案为：或2. 26. 请写出一个满足“对任意实数m，n，都成立”的函数：________． 【答案】（且）（答案不唯一） 【解析】 【分析】观察题中所给条件，发现指数函数符合其性质，写出任意指数函数即可解得. 【详解】由题指数函数（且）符合其性质： . 故答案为：（且）（答案不唯一）. 27. 若函数的最大值为5，则________． 【答案】9或 【解析】 【分析】结合诱导公式与正弦函数的性质即可求解. 【详解】 . 因为函数的最大值为5， 所以或， 解得或. 故答案为：9或. 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤. 28. 已知锐角，满足，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式与正切的和差公式可求. 【详解】解：由锐角，，得， 即， 又； . . 29. 《西虹市首富》刚上映，就掀起了一波健身运动，其中步行是一种很好的健身运动．据测试，常人每行走1km消耗60卡路里，一个鸡蛋约含60卡路里，100g米饭约含116卡路里，猪肉约含8016卡路里．李明晚上比平常多吃了米饭、猪肉．李明想通过步行来消耗多吃的食物能量，他至少要行走多少路？（精确到0.1km） 【答案】8.1km 【解析】 【分析】先求米饭和猪肉包含的卡路里，然后设行走km，列出不等式求解即可. 【详解】米饭包含卡路里； 猪肉包含卡路里； 李明需要比平时多消耗卡路里； 每行走1km消耗60卡路里，设要行走km； 则，解得； 李明至少要行走． 30. 已知二次函数的自变量x与函数值的部分对应关系如下表所示． x 2 3 4 m 0 m 8 （1）求解析式； （2）若，求x的取值范围． 【答案】（1）. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可找出二次函数的抛物线和轴交点，设二次函数方程再代入值即可解得. （2）将函数代入不等式即可解得. 【小问1详解】 由条件知，抛物线的对称轴为，与x轴交点为及. ，，. ∴. 小问2详解】 由题当. 即. 解得或. 所以的取值范围为或. 31. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为，求： （1）角B的大小； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理和三角形面积公式即可解得. （2）由正弦定理即可解得. 【小问1详解】 由已知得， 则，即， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得， 即，解得， 又因为，则角为锐角， 所以. 32. 已知直线l过点，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点.当三角形的面积最小时，求直线l的方程. 【答案】. 【解析】 【分析】利用截距式设出直线方程，再利用基本不等式解出的最小值，从而得解. 【详解】设直线为，则，，， ，，. 当且仅当，，时不等式取等号， 又，此时，， 直线方程为，即. 33. 已知数列中，，． （1）试写出数列的前5项； （2）若数列满足，求数列的前10项和． 【答案】（1），，，，． （2）2146 【解析】 【分析】（1）根据题中数列式可直接写出前五项. （2）利用已知与的关系式可得出的通项公式，再代入求前十项和即可解得 【详解】（1）由题，依次代入，则数列的前5项为： ，，，， （2）由已知得，， 数列是首项为1，公差为2的等差数列， 则 故数列的前10项和 34. 已知直角梯形中，为直角，，，将三角形沿折起到三角形（如图所示），使平面与平面互相垂直，求： （1）三棱锥的体积； （2）二面角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质得到锥体的高，根据直角梯形各边长求出三角形的面积，由高和底面积求得三棱锥的体积即可解得. （2）作辅助线，由面面垂直性质及勾股定理证出，再结合找到二面角的平面角即可解得. 【详解】（1）三棱锥体积 已知为直角，， 则三角形为等腰直角三角形， ， 又为直角梯形，且， 所以， 由可得， 又因为平面平面，且两平面交线为， 所以平面， . （2）取中点，连接， 则在等腰三角形中，， 由题可知平面平面，且两平面交线为， 所以平面，则， 且，， 所以， 则由可得：， 且由（1）可知， 则二面角的平面角即为， 又知三角形为等腰直角三角形， 故所求二面角大小为. 35. 已知半径为2的圆C过点，它的圆周恰好被直线平分． （1）求圆的标准方程； （2）若P是直线上的任意一点，过P作圆C的切线，切点为M，求线段PM的最小值． 【答案】（1）或． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据圆上点与圆心求圆的标准方程； （2）根据直线与圆的位置关系与平行线间的距离公式可求. 【小问1详解】 易知，圆心C在直线上， 设圆的方程为， 则，得或， 即圆的方程是或． 【小问2详解】 由，只要最小即可， 注意到直线与直线平行， 最小值就是两平行线间的距离． ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$