精品解析：2022年山东省青岛市局属学校九年级数学中考模拟试题

北师大版九年级数学中考模拟试题——4 （考试时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1. 4的平方根是（ ） A B. 2 C. D. 2. 下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是( ) A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ②④ 3. 下列各图中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，C、D是圆上两点，，则等于 （ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 在每一象限内，随的增大而增大 C. 若，则 D. 图象位于第二、四象限内 6. 益阳市某年6月上旬的最高气温如下表所示： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高气温（℃） 30 28 30 32 34 32 26 30 33 35 那么这10天的最高气温的平均数和众数分别是（　　） A. 32，30 B. 31，30 C. 32，32 D. 30，30 7. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部向左转的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如右图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是(　　) A B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 计算：___． 10. 甲、乙两支足球队，每支球队队员身高数据的平均数都是1.70米，方差分别为S甲2=0.29，S乙2=0.35，其身高较整齐的是_____球队． 11. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为_________． 12. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为____． 13. 如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为_____． 14. 如图，已知直线l：，过点作y轴垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过 点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点；…；按此作法继续下去，则点的坐标为_____ 三、作图题（本小题题满分4分） 15. 用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 为美化校园，学校准备建造一个圆形的养鱼池（如图），使得的三个顶点都落在圆形养鱼池的边上，请在图中画出这个圆形鱼池． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）化简： ； （2）用配方法求二次函数的顶点坐标． 17. 在“六·一”儿童节来临之际，某妇女儿童用品商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成20份），并规定：顾客每购物满100元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得80元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可直接获得15元的购物券．转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由． 18. 如图是我市某学校的爱心捐款活动，全校同学纷纷拿出自己的零花钱，捐款给贫苦地区．对部分学生捐款情况进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中共调查了多少名学生？ （2）求捐款20元的学生人数，并补完整频数分布直方图； （3）求捐款50元的人数在扇形中的圆心角度数； （4）若该校捐款金额不少于50000元，请估算该校捐款同学的人数至少有几名？ 19. 如图，一游客在某城市旅游期间，沿街步行前往某电视塔观光，他在A处望塔顶C的仰角为，继续前行后到达B处，此时望塔顶C的仰角为．已知这位游客的眼睛到地面的距离约为，假若游客所走路线直达电视塔底，请你计算这座电视塔大约有多高?（结果保留整数，， ，，E，F分别是两次测量时游客眼睛所在的位置．） 20. 一名运动员掷铅球，铅球刚出手时点A离地面的高度为，铅球运行时距离地面的最大高度是，此时铅球沿水平方向行进了．已知铅球运行的路线是抛物线．现以铅球出手点A所在的铅垂线的方向为y轴正方向，铅垂线与地面的交点为O点，铅球的落地点为C点，射线为x轴的正方向，建立直角坐标系，如图所示． （1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）求铅球落地时运行的水平距离． 21. 如图，在中，，过点C的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你理由； （3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 22. 某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． （1）分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； （2）扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ （3）扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ （4）当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 23. 阅读探究 小明遇到这样一个问题：在中，已知，，的长分别为，，，求的面积． 小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的3个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法， （1）图1中的面积为________． 实践应用 参考小明解决问题的方法，回答下列问题： （2）图2是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为，，的格点． ②面积为________（写出计算过程）． 拓展延伸 （3）如图3，已知，以，为边向外作正方形和正方形，连接．若，，，则六边形的面积为________（在图4中构图并填空）． 24. 已知：如图，在ΔABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于D．直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1 cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，直线PM交BC于P，交AC于M ；过点P作PQ⊥AB，交AB于Q，交AD于N ，连接QM．设运动时间是t（s）（0＜t ＜6），解答下列问题： （1）当t为何值时，QM∥BC? （2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），试求出y与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使y的值最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版九年级数学中考模拟试题——4 （考试时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1. 4的平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，根据平方根的性质，即可求解．熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根等于0；负数没有平方根是解题的关键． 【详解】解：4的平方根是． 故选：C． 2. 下列几何体各自三视图中，只有两个视图相同的是( ) A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】分别分析四个几何体的三视图，从中找出只有两个视图相同的几何体，可得出结论． 【详解】①正方体的主、左和俯视图都是正方形； ②圆锥主、左视图是三角形，俯视图是圆； ③球体的主、左和俯视图都是圆形； ④圆柱的主、左视图是长方形，俯视图是圆； 只有两个视图相同的几何体是圆锥和圆柱． 故选：D 【点睛】本题考查了简单几何体三视图，三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体，画出的平面图形． 3. 下列各图中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A、C、D都既是轴对称图形，也是中心对称图形；B、只是轴对称图形． 故选B． 4. 如图，是的直径，C、D是圆上两点，，则等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．根据补角的定义，求出，再根据圆周角定理，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B． 5. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 在每一象限内，随的增大而增大 C. 若，则 D. 图象位于第二、四象限内 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．进行判断即可．掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：A、反比例函数的图象必经过点，原说法正确，不合题意； B、，在每一象限内，随的增大而增大，原说法正确，不符合题意； C、若，则，原说法错误，符合题意； D、，函数的图象分别位于第二、四象限，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 6. 益阳市某年6月上旬的最高气温如下表所示： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高气温（℃） 30 28 30 32 34 32 26 30 33 35 那么这10天的最高气温的平均数和众数分别是（　　） A. 32，30 B. 31，30 C. 32，32 D. 30，30 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数，平均数定义就可以解答 【详解】解：平均数是：（30+28+30+32+34+32+26+30+33+35）÷10＝31； 30出现3次是最多的数，所以众数为30． 故选B． 【点睛】此题主要考查算术平均数和众数，难度不大，就是要小心别弄错数字 7. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部向左转的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，通过列表法列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部向左转的情况占总情况的多少即可．解题的关键在于能熟练掌握列表法或树状图法求解概率． 【详解】解：列表得： 直 左 右 右 （直，右） （左，右） （右，右） 左 （直，左） （左，左） （右，左） 直 （直，直） （左，直） （右，直） ∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部向左转的有一种， ∴两辆汽车经过这个十字路口全部向左转的概率是 故选：A． 8. 二次函数的图象如右图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知二次函数的图象开口方向可以知道的取值范围，对称轴可以确定的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， 对称轴在轴的左侧， ∴， ∴， ∴反比例函数在第二、四象限，正比例函数在第二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数、正比例函数的图象与性质，判断出的符号是解题的关键． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 计算：___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，先化简负整数指数幂，零指数幂，立方根，再运算减法，即可作答． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 10. 甲、乙两支足球队，每支球队队员身高数据的平均数都是1.70米，方差分别为S甲2=0.29，S乙2=0.35，其身高较整齐的是_____球队． 【答案】甲． 【解析】 【详解】试题分析：根据方差的意义判断．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 解：∵S甲2＜S乙2， ∴甲队整齐． 故填甲． 考点：方差；算术平均数． 11. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设乘公交车平均每小时走x千米，则乘私家车平均速度是每小时千米，则乘公交车花的时间为小时，乘私家车所花的时间为小时，再利用乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，列方程即可. 【详解】解：设乘公交车平均每小时走x千米，则乘私家车平均速度是每小时千米，则 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设适当的未知数，表示需要的代数式，确定相等关系都是解本题的关键. 12. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质结合菱形的性质可得∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果. 【详解】解：∵AECF为菱形， ∴∠FCO=∠ECO， 由折叠的性质可知， ∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°， ∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°， 在Rt△EBC中，EC=2EB， 又EC=AE，AB=AE+EB=3， ∴EB=1，EC=2， ∴ 故答案为： 【点睛】解题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长． 13. 如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中的已知信息，可以推出AB=4，再根据余弦定义可以计算出，，通过即可作答． 【详解】解：根据题意可知，DA=2，∴AB=2DA=4， 又∵以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E， ∴AE=AB=4， ∵四边形ABCD是矩形，在Rt△ADE中， ， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了余弦的定义以及扇形的面积计算，其中根据矩形的性质以及余弦定义求出是解题的关键，本题属于基础题． 14. 如图，已知直线l：，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过 点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点；…；按此作法继续下去，则点的坐标为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的规律问题、勾股定理、解直角三角形及含直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的规律问题、勾股定理及含直角三角形的性质是解题的关键． 根据所给直线解析式得到直线与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点、的坐标，通过相应规律得到点的坐标． 【详解】解：∵，且轴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴直线与x轴的夹角为，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， 同理可得， …… ∵， ∴的纵坐标为， ∴； 故答案为：． 三、作图题（本小题题满分4分） 15. 用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 为美化校园，学校准备建造一个圆形的养鱼池（如图），使得的三个顶点都落在圆形养鱼池的边上，请在图中画出这个圆形鱼池． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，画三角形的外接圆，如图，作、的垂直平分线，两线交于点，可知，以为半径作圆，即为所求．掌握三角形的外心的性质，垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，即为所求． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）化简： ； （2）用配方法求二次函数的顶点坐标． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，求二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握分式的运算法则和利用配方法把二次函数解析式化为顶点式． （1）根据分式的混合运算法则计算即可； （2）利用配方法把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， ∴二次函数的顶点坐标为． 17. 在“六·一”儿童节来临之际，某妇女儿童用品商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成20份），并规定：顾客每购物满100元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得80元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可直接获得15元的购物券．转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由． 【答案】直接转转盘，见解析 【解析】 【分析】本题考查概率公式的应用，首先求得转转盘可能得到的购物券钱数，再和直接获得15元购物券作比较即可求得答案．涉及到概率所求情况数与总情况数之比，解本题的关键是求出转转盘可能得到的购物券钱数． 【详解】解：直接转转盘，理由： 整个圆周被分成了20份， 则获得80元购物券的概率为，获得50元购物券的概率为，获得20元购物券的概率为=， 则转转盘所获得的购物券为：（元） ∵， ∴直接转转盘． 18. 如图是我市某学校的爱心捐款活动，全校同学纷纷拿出自己的零花钱，捐款给贫苦地区．对部分学生捐款情况进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中共调查了多少名学生？ （2）求捐款20元的学生人数，并补完整频数分布直方图； （3）求捐款50元的人数在扇形中的圆心角度数； （4）若该校捐款金额不少于50000元，请估算该校捐款同学的人数至少有几名？ 【答案】（1）50名 （2）12名，见解析 （3） （4）2809名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出有关进一步解题的信息． （1）用捐款5元、10元及20元的人数的和除以其所占的百分比即可； （2）用总人数减去其他小组的频数即可求得捐款20元的人数后补全条形统计图即可； （3）用捐款50元的人数除以总人数后乘以即可得到答案． （4）算得50人的总钱数，然后计算人数即可． 【小问1详解】 解：（名） 答：在这次调查中共调查了50名学生； 【小问2详解】 （名），如图： 【小问3详解】 答：捐款50元的人数在扇形中的圆心角度数为． 【小问4详解】 （元） （人） 答：该校捐款同学的人数至少有2809名． 19. 如图，一游客在某城市旅游期间，沿街步行前往某电视塔观光，他在A处望塔顶C的仰角为，继续前行后到达B处，此时望塔顶C的仰角为．已知这位游客的眼睛到地面的距离约为，假若游客所走路线直达电视塔底，请你计算这座电视塔大约有多高?（结果保留整数，， ，，E，F分别是两次测量时游客眼睛所在的位置．） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三角形中的应用，根据和、和可以求得、的长度，根据可以求出的长度，即可解题．本题中求、的长度是解题的关键． 【详解】解：延长交于， 设， 在中，，即：，得， 在中，，即：，得 ∵，即：，解得： ∴ 答：这座电视塔大约高． 20. 一名运动员掷铅球，铅球刚出手时点A离地面的高度为，铅球运行时距离地面的最大高度是，此时铅球沿水平方向行进了．已知铅球运行的路线是抛物线．现以铅球出手点A所在的铅垂线的方向为y轴正方向，铅垂线与地面的交点为O点，铅球的落地点为C点，射线为x轴的正方向，建立直角坐标系，如图所示． （1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）求铅球落地时运行的水平距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且抛物线过，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）求出时，求得的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且抛物线过， 则设，将代入可得， 解得： ∴抛物线所对应的函数解析式为：； 【小问2详解】 令 解得，（舍） 答：铅球落地时运行的水平距离是． 21. 如图，在中，，过点C的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，见解析 （3）当时，四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，结合证明四边形是平行四边形即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （3）当时，求出，结合菱形的性质求出，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，在中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 22. 某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． （1）分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； （2）扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ （3）扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ （4）当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 【答案】（1）； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法分别得出一次函数以及反比例函数解析式即可； （2）当代入，求出的值，进而得出答案； （3）当代入，求出的值，进而得出答案； （4）利用分别得出的值，进而得出答案． 【小问1详解】 解：当时，由题意设，将代入得： ， 故在扩建改造期间的函数关系式为：； 当时，当时，，则； 即扩建改造工程完工后与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， ∴扩建改造工程完工后从第16个月开始，该企业月利润才能不低于190万元； 【小问3详解】 扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， 则， ∴扩建改造工程完工后经过9个月，该企业月利润才能不低于174万元； 【小问4详解】 对于，当时，， 对于，当时，， 所以资金紧张期的有第3、4、5、6、7、8、9这7个月，该厂资金紧张期共有7个月． 23. 阅读探究 小明遇到这样一个问题：在中，已知，，的长分别为，，，求的面积． 小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的3个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法， （1）图1中的面积为________． 实践应用 参考小明解决问题的方法，回答下列问题： （2）图2是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为，，的格点． ②的面积为________（写出计算过程）． 拓展延伸 （3）如图3，已知，以，为边向外作正方形和正方形，连接．若，，，则六边形的面积为________（在图4中构图并填空）． 【答案】（1）；（2）①作图见详解；②8；（3）在网格中作图见详解；31． 【解析】 【分析】（1）根据网格可直接用割补法求解三角形的面积； （2）①利用勾股定理画出三边长分别为、、，然后依次连接即可；②根据①中图形，可直接利用割补法进行求解三角形的面积； （3）根据题意在网格中画出图形，然后在网格中作出，，进而可得，得出，进而利用割补法在网格中求解六边形的面积即可． 【详解】解：（1）△ABC的面积为：， 故答案为：； （2）①作图如下（答案不唯一）： ②的面积为：， 故答案为：8； （3）在网格中作出，， 在与中， ， ∴， ∴， ， 六边形AQRDEF的面积=正方形PQAF的面积+正方形PRDE的面积+的面积 ， 故答案为：31． 【点睛】本题主要考查勾股定理、正方形的性质、割补法求解面积及二次根式的运算，熟练掌握勾股定理、正方形的性质、割补法求解面积及二次根式的运算是解题的关键． 24. 已知：如图，在ΔABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于D．直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1 cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，直线PM交BC于P，交AC于M ；过点P作PQ⊥AB，交AB于Q，交AD于N ，连接QM．设运动时间是t（s）（0＜t ＜6），解答下列问题： （1）当t为何值时，QM∥BC? （2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），试求出y与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使y的值最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t=．（2）y=-t2+t+；（3）；（4）4． 【解析】 【详解】试题分析：（1）QM∥BC，可以得到△BQP∽△QPM，∴QP2=BP•QM，CP=t，AB=AC=10cm，BC=12cm，利用三角函数的比值即可以求得答案． （2））由△PND∽△BQP∽△ABD，得到，即：，∴DN=，同理，PM=，根据四边形的面积等于△ACD的面积-△PDN的面积-△PCM的面积可以得到答案． （3）由（2）的解析式，求顶点坐标可以得到答案． （4）若点M在线段PQ垂直平分线上，则MQ=MP，构造关于t的方程，得到答案． 试题解析：（1）因为QM∥BC， ∴△BQP∽△QPM， ∴QP2=BP•QM，∠B=∠QPM， ∵AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于D， ∴CD=BD=6cm，=8cm，sinB=， 又∵CP=t， ∴BP=12-t， ∴QP=，QM=， ∴()2="(12-t)(" )， 解得：t=． （2）∵△PND∽△BQP∽△ABD， ∴， 即：， ∴DN=， 同理，PM=， 所以y=×6×8- (6-t)• -t•t=-t2+t+ （3）由y=-t2+t+=- (x-)2+， 所以当t=时存在最大值． （4）若点M在线段PQ的垂直平分线上， 则有MQ=MP 由（1）（2）知道，QM=，PM=， 所以=， 解得：t=4． 考点：相似形综合题． 第1页/共1页 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