精品解析：福建省厦门市第十一中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷

福建省厦门市第十一中学2023−2024学年九年级上学期开学考试模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. B. C. D. 2. 要使二次根式有意义，则x的值不可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知某二次函数，当时，随的增大而减小当时，随的增大而增大，则该二次函数的解析式可能是（     ） A. B. C. D. 4. 对一组数据：，描述正确的是（ ） A. 中位数是 B. 平均数是5 C. 众数是6 D. 方差是7 5. 将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移1个单位 6. 某学校连续三年组织学生向山区捐送图书，第一年共捐书400本，三年共捐书1525本．设该校捐书本数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. 1525（1﹣x）2＝400 B. 400（1+x）2＝1525 C. 400＋400（1+x）＋400（1+x）2＝1525 D. 400x2＝1525 7. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 平行四边形中，，若一边上的高为4，则该平行四边形的面积为（ ） A. 20 B. 16 C. 15 D. 12 9. 已知点，点，下列关于点P与点Q的位置关系说法正确的是（　　） A. 点P在点Q的右边 B. 点P在点Q的左边 C. 点P与点Q有可能重合 D. 点P与点Q的位置关系无法确定 10. 已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积是2，则c的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么k的取值范围为 ________． 12. 某组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是___________． 13. 如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ____________________． 14. 如图所示为函数的图象，根据图象提供的信息，当时，y的取值范围是____________． 15. 如图，的周长为，，且，则的长为________． 16. 如图，在菱形中，，．点P为边上一点，且不与点C，D重合，连接，过点A作，且，连接，，则四边形的面积为__________． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. （1）计算： （2）解方程：． 18. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式； （2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 19. 先化简，再求值：已知，其中x满足． 20. 某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现随机抽查了八年级20位同学捐款情况，并绘制出如下的统计表和统计图．根据上述信息，回答下列问题： 捐款（元） 20 50 100 150 200 人数（人） 4 8 2 1 （1）______，______； （2）学生捐款数目的众数是_______元，中位数是_______元，平均数是______元； （3）若该校有学生1500人，估计该校学生共捐款多少元？ 21. 如图，在中，D，E分别是边，的中点． （1）求作：平行四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，若，，，求证：四边形是菱形． 22. 已知、分别是关于的一元二次方程与的一个根，且． （1）当，时，求与的值； （2）用只含字母、的代数式表示； （3）当时，函数满足，，，求的取值范围． 23. 为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉．如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为27m． （1）若矩形地的面积为，求的长； （2）当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少? 24. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计警戒线之间的宽度 素材1 图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米． 素材2 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．如图3，测得相关数据如下：米，米，米，米． 素材3 为确保安全，拟在石拱桥下面的，两处设置航行警戒线，要求如下： ①游船底部在，之间通行； ②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为米． 问题解决 任务1 确定拱桥形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的解析式． 任务2 设计警戒线之间的宽度 求的最大值． 25. 已知抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D． （1）如图1，若， ①则D的坐标为___________； ②当时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为___________． （2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，的面积为． ①求证：． ②连接、、、，若，，试判断的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门市第十一中学2023−2024学年九年级上学期开学考试模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程中项的系数确定二次项的系数即可． 【详解】解：∵一元二次方程中的二次项为： ， ∴一元二次方程的二次项系数是． 故选． 【点睛】本题考查了一元二次方程的二次项的系数，正确识别二次项是解题的关键． 2. 要使二次根式有意义，则x的值不可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 四个选项中，只有D选项不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握二次根式的被开方数是非负数． 3. 已知某二次函数，当时，随的增大而减小当时，随的增大而增大，则该二次函数的解析式可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线开口方向和对称轴． 【详解】解：当时，随的增大而减小当时，随的增大而增大， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 抛物线满足条件． 【点睛】本题考查抛物线的增减性．抛物线的增减性与开口方向、对称轴有关． 4. 对一组数据：，描述正确的是（ ） A. 中位数是 B. 平均数是5 C. 众数是6 D. 方差是7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数和众数，根据方差，中位数，平均数和众数的定义进行求解判断即可． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为，处在最中间的数为6， ∴中位数为6，故A不符合题意； ∵数字6出现的次数最多， ∴众数是6，故C符合题意； 平均数为，故B不符合题意； 方差为，故D不符合题意； 故选：C． 5. 将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移1个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，熟记“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位得：， 抛物线再向下平移1个单位得：， 故选：B． 6. 某学校连续三年组织学生向山区捐送图书，第一年共捐书400本，三年共捐书1525本．设该校捐书本数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. 1525（1﹣x）2＝400 B. 400（1+x）2＝1525 C. 400＋400（1+x）＋400（1+x）2＝1525 D. 400x2＝1525 【答案】C 【解析】 【分析】表示出每一年的捐书数量，根据等量关系三年共捐书1525本列方程即可． 【详解】根据题意得：， 故选：C． 【点睛】考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，勾股定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，求出的长度是解题的关键．作轴于M，再利用旋转的性质求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，利用勾股定理列式求出，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可． 【详解】解：作轴于M， ∵点B的坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ 故选：B． 8. 平行四边形中，，若一边上的高为4，则该平行四边形的面积为（ ） A. 20 B. 16 C. 15 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的性质，求出，进而可得出答案． 【详解】解：如图所示：平行四边形中，，一边上的高为4， ∵，即， ∴， ∴平行四边形的面积为， 故选：D． 9. 已知点，点，下列关于点P与点Q的位置关系说法正确的是（　　） A. 点P在点Q的右边 B. 点P在点Q的左边 C. 点P与点Q有可能重合 D. 点P与点Q的位置关系无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，配方法的应用，根据题意，点，点，两点纵坐标相等，得是平行于轴的一条直线，点与点根据横坐标大小即可确定左右的位置，再由作差法得到，这个式子正负即可确定，从而得到答案． 【详解】解：点，点，两点纵坐标相等， 是平行于轴的一条直线上，点与点根据横坐标大小即可确定左右的位置， ， ∴， 点在点的右边， 故选：A． 10. 已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积是2，则c的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】依据题意得到三个关系式：，，，运用完全平方公式即可得到c的值．考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键． 【详解】解：∵点在“勾股一次函数”的图象上， ∴，即， 又∵，，分别是的三条边长，，的面积是2， ∴，即， 又∵， ∴， 即∴， 解得（负值舍去）， 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么k的取值范围为 ________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．由于与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①，，的图象在一、二、三象限； ②，，的图象在一、三、四象限； ③，，的图象在一、二、四象限； ④，，的图象在二、三、四象限； ⑤，，的图象在一、三象限； ⑥，，的图象在二、四象限． 根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，说明常数项小于0，即，即可确定k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ， 解得， 故答案为：． 12. 某组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据方差公式可直接得出答案． 【详解】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据的平均数是2， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了方差公式，一般地设n个数据，的平均数为，则方差． 13. 如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ____________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据且列式求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 14. 如图所示为函数的图象，根据图象提供的信息，当时，y的取值范围是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数的图象经过点求出函数解析式，再次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴函数， ∴当时，函数有最小值， 当时， ， 当时， ， 所以，当时，的取值范围是 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是熟记二次函数的性质并根据函数图象判断出二次函数取值范围内的增减性． 15. 如图，的周长为，，且，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】设，，利用勾股定理得出，根据已知的周长可得，问题随之得解． 【详解】∵， ∴设，， ∴在中，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，掌握勾股定理是解答本题的关键． 16. 如图，在菱形中，，．点P为边上一点，且不与点C，D重合，连接，过点A作，且，连接，，则四边形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由菱形的性质可知是等边三角形，过点C作于点G，过点P作于点H，可得，继而得出，根据勾股定理求出长度，再证明四边形是平行四边形，依据进行求解即可． 【详解】如图，连接， ∵四边形是菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， 过点C作于点G，过点P作于点H， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定与性质以及三角形面积公式等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程-配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据平方差公式和二次根式的乘法法则计算各项，再进行加减运算即可； （2）直接利用配方法求解即可． 【详解】（1）解： （2） 移项： 配方： ， ， 18. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式； （2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先列表，然后描点、连线即可． 【小问1详解】 解：把点，代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 19. 先化简，再求值：已知，其中x满足． 【答案】； 【解析】 【分析】先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把数代入求值． 【详解】解：原式＝ 原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20. 某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现随机抽查了八年级20位同学捐款情况，并绘制出如下的统计表和统计图．根据上述信息，回答下列问题： 捐款（元） 20 50 100 150 200 人数（人） 4 8 2 1 （1）______，______； （2）学生捐款数目的众数是_______元，中位数是_______元，平均数是______元； （3）若该校有学生1500人，估计该校学生共捐款多少元？ 【答案】（1），； （2）50，50，74 （3）111000元 【解析】 【分析】（1）根据捐款50元人数8人÷总人数20人得所占百分比，可求得得值，本次接受随机抽样调查的学生人数20人减去表格中的已知数据，可求得得值； （2）利用众数、中位数的意义和求法分别得出答案即可，根据加权平均数计算公式即可得出答案； （3）用（2）得到的平均数乘以1500即可求解． 【小问1详解】 捐款50元所占百分比：， ∴，． 【小问2详解】 ∵在这组数据中，50出现了8次，出现的次数最多， ∴学生捐款数目的众数是50元； ∵按照从小到大排列，第10、11个数据都是50， ∴中位数为50元； 这组数据的平均数为：（元）． ∴学生捐款数目的平均数是74． 【小问3详解】 元 答：估计该校学生共捐款111000元． 【点睛】本题考查扇形统计图，用样本估计总体，加权平均数，中位数，众数等，熟练掌握扇形统计图特点和各个概念是解题的关键． 21. 如图，在中，D，E分别是边，的中点． （1）求作：平行四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，若，，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 平行四边形即为所求： （2） 证明：∵在中，分别是边，的中点，且， ， ，， ， 是直角三角形，且， 又， ， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心、长为半径画弧，交延长线于点，再连接即可得； （2）先根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据平行线的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、三角形中位线定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握平行四边形和菱形的判定是解题关键． 22. 已知、分别是关于的一元二次方程与的一个根，且． （1）当，时，求与的值； （2）用只含字母、的代数式表示； （3）当时，函数满足，，，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，，，为常数）的解和性质，同时考查了从结论的反面思考问题的方法和代数式的变形能力． （1）由已知求出，根据方程根的定义将，，的值代入方程即可求解； （2）根据方程根的定义将，的值代入方程消去c求解得到，再利用，消去，即可求出只用字母、表示代数式； （3）将（2）结论代入方程可得，由可得，继而可得，根据的取值范围即可确定的取值范围，据此求解即可． 【小问1详解】 解：因为，分别是关于的一元二次方程与的一个根， 所以， 由， 则时，得， 把，，代入方程组可得， ， 解得：， ，； 【小问2详解】 解：由（1）中的方程组①②，得： ， ， 由，得， 故， 所以， 从而； 【小问3详解】 解：把代入（1）中的方程组②，可得， 由，且， 得， 整理可得：， ， ， 由得， 当时，， 由得，， ∴， ∴． 23. 为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉．如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为27m． （1）若矩形地的面积为，求的长； （2）当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少? 【答案】（1） （2）时，最大面积是 【解析】 【分析】（1）根据等量关系式：，列出方程进行求解，并检验根是否符合实际意义，即可求解； （2）设，面积为，则有（），列出函数解析式，根据的取值范围求出最值即可． 【小问1详解】 解：设，则有（），由题意得 ， 整理得：， 解得：，， ， 解得：， （不合题意，舍去）， ， 答：的长为． 【小问2详解】 解：设，面积为，则有（），由题意得 由（1）同理可求， ， 当时， ， 故当时，矩形地的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据等量关系式列出方程及函数解析式，并进行正确求解是解题的关键． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计警戒线之间的宽度 素材1 图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米． 素材2 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．如图3，测得相关数据如下：米，米，米，米． 素材3 为确保安全，拟在石拱桥下面的，两处设置航行警戒线，要求如下： ①游船底部在，之间通行； ②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为米． 问题解决 任务1 确定拱桥形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的解析式． 任务2 设计警戒线之间的宽度 求的最大值． 【答案】【任务1】，【任务2】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决； 任务1：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，得到点的坐标为，顶点为，利用待定系数法求出即可； 任务2：过点作于点，得到米．由题意可知，当最大时，点的纵坐标为．令，解方程，得出，由米得到米，游船底部在，之间通行，即可求得的最大值． 【详解】解：任务1： 以D为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示． ， 点的坐标为，顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入得， ， ． 任务2： 过点E作于点M， ∵，米 ∴米 ∴米． 由题意可知，当最大时， 点E的纵坐标为． 令，得， 解得， ∵米， ∴米， ∵游船底部在，之间通行， ∴的最大值为（米）． 25. 已知抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D． （1）如图1，若， ①则D的坐标为___________； ②当时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为___________． （2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，的面积为． ①求证：． ②连接、、、，若，，试判断的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由． 【答案】（1）①；② （2） ①证明：∵， ∴， 当时，，则； 当时，； 解得：或， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入， 解得：， ∴直线的解析式为 ∵点P到x轴的距离为d，，则， 又∵的面积为， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离，又Q为射线上一点， ∴； ②的形状不会随着n的变化而变化，理由： 如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， 则直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∵，直线的解析式为； ∴， ∵， ∴，，， ∴,， ∴是等腰直角三角形， 即 的形状不会随着n的变化而变化． 【解析】 【分析】（1）①化为顶点式，即可求解； ②根据抛物线开口向下，对称轴，当时，抛物线的最小值为3，最大值为4，，即可得出； （2）①得出，根据平行线间的距离相等，即可得证； ②证明得出，则，进而得出，，，根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：①当，则抛物线解析式为， ∴， 故答案为：． ②∵抛物线开口向下，对称轴， 当时，， ∴当时，， 解得：或， ∵当时，抛物线的最小值为3，最大值为4，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，一次函数与二次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，平行线之间的距离，勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $